平成試験問題(記述式) 27 年度数 (ページ数) ２ページ学 (注意) 解答はすべて別紙解答用紙の定められた欄に書くこと。以下の問に答えよ。 5 4 3 2 ⑴ a −12a ＋36a −81a＋1，a −6a が共に有理数となるような無理数 a を求めよ。 ⑵ −2 3 a1 ＝ 1，a2 ＝ e，an＋2 ＝ an an＋1 (n ＝ 1，2，3，…)という条件で決まる数列｛an｝の第 n 項を求めよ。ただし，e は自然対数の底とする。 ⑶ 4f((x＋2)2)−(x＋2)2f(4) ＝ αk1＋ βk2 となる。 x x→0 (4)＝ k2を満たすどんな関数 f (x)についても，lim f (4)＝ k1，f′ このとき，定数 α，βはそれぞれいくらか。スイッチを押すと， 0から n までの整数が 1つ表示される機械がある。表示される数字を X とすると，X ＝ k となる確率 P (X ＝ k)＝ Cαk (k ＝ 0，1，2，…，n)である。ただし，C は定数，0＜ α＜ 1である。 ⑴ P (X ＝ k)を αと k で表せ (k ＝ 0，1，2，…，n)。 ⑵ P (X ＜ k)＞ 1−αk であることを示せ (k ＝ 1，2，3，…，n＋1)。 ⑶ 確率 p で 1点もらえ，確率 1−p で得点がもらえない試行をえる (0＜ p ＜ 1)。この試行を独立に m 回行ったとき， l 点 (0≦ l ≦ m)もらえる確率を Qm，l(p)と表す。このとき，m，l を一定とし，p を変数とみなして以下の問に答えよ。 ⅰ y ＝ log Qm，l(p)はどのような変化をするか。p を横軸，y を縦軸とする y のグラフの概形を描け。ただし，log は自然対数である。 ⅱ ⑷ Qm，l(p)を最大にする p を求めよ。 1 α＝ 2 とする。このとき，Q2m，m(P (X ＜ k))を最大にする k(k ＝ 1，2，3，…，n)を求めよ。 1 座標平面上の 3点 A(0， 2)，B(2 6， 2)，C( 6，3 2)に対して，点 P(p，q)は線 AP，BP の垂直二等線が点 C でわるという条件を満たす点とする。ただし，q ＞ 2である。また，点 A から直線 BP へ下ろした垂線と点 B から直線 AP へ下ろした垂線が点 T(s，t)でわっているとする。このとき，以下の問に答えよ。 ⑴ 点 P の軌跡を求め，図示せよ。 ⑵ 点 T の軌跡を求め，図示せよ。関数 f1(x)＝ log fk(x)＝ 2 1 ， log f2(x)＝ 1＋ex 2 (−1)k 2 x 0 x 0 f1(t)dt ， log f3(x)＝ − x 0 f2(t)dt ， log f4(x)＝ 1 2 x 0 f3(t)dt ， … ， x sin x fk−1(t)dt (k ＝ 2，3，4，…)とする。ただし，log は自然対数である。また， k(x)＝ fk(x)× 4− cos x (k ＝ 1，2，3，…)とする。さらに，I n ＝ 2n＋1 π k＝1 −π (x)dx(n ＝ 1，2，3，…)，J ＝ k とする。このとき，以下の問に答えよ。を 1 2 ⑴ fk(x)を積わずに表せ (k ＝ 2，3，4，…)。 ⑵ I n を J で表せ (n ＝ 1，2，3，…)。 ⑶ J を K で表せ。 ⑷ I n を求めよ (n ＝ 1，2，3，…)。 2 π 0 x sin x ，＝ 4−cos x dx K π 0 sin x 4−cos x dx