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ボルツマンの分布則
1. はじめに
2. 場合の数・確率と大数の法則
3. ボルツマンの分布則の意味
4. 演習問題
場合の数と確率
多数の古典的粒子からなる系において粒子は
平均的にどのような運動状態にあるか？
頭の体操
N個の同種の古典的粒子を｛n1,n2｝の組に
分ける分け方は何通り？
n
n
1
2
場合の数と確率
n
n
1
2
N個の粒子の並べ方：
N！
各組の中の並び方は関係ない（重複度
ni！)
N個の同種の古典的粒子を｛n1,n2｝の組に
分ける場合の数W
N!
W
n1! n2!
場合の数と確率
V
小空間V1内にｎ1個の気体
分子が，またV2内にｎ2個の
気体分子が存在する確率P
V1
N  n1  n2
N ! n1 n2
P
g1 g2
n1! n2!
Vi
gi 
V
V2
気体分子の分布
V1 1
g1  
V 2
V2 1
g2 

V 2
N = 1の場合
1
1!  1 
P1, 0 
 
1! 0!  2 
1
P0,1 
2
0
1 1
  
2 2
V
V1
V2
気体分子の分布
V
V1
N = 2の場合
2!  1 
P2, 0 
 
2! 0!  2 
1
2!  1 
P1,1 
 
1! 1!  2 
1
P0 , 2 
4
2
0
1 1
  
2 4
1
1 1
  
2 2
V2
気体分子の分布
V
V1
N = 4の場合
4
4!  1 
P4, 0 
 
4! 0!  2 
4!  1 
P3,1 
 
3! 1!  2 
3
0
1
1
  
 2  16
1
1 1
  
2 4
4!  1 
P2, 2 
 
2! 2!  2 
2
2
1 3
  
2 8
V2
気体分子の分布
N = 8の場合
8!  1 
P8,0 
 
8! 0!  2 
8
8!  1 
P7 ,1 
 
7! 1!  2 
1
1
  
 2  256
7
1
1
  
 2  32
6
2
8!  1 
P6, 2 
 
6! 2!  2 
8!  1 
P5,3 
 
5! 3!  2 
8!  1 
P4, 4 
 
4! 4!  2 
0
5
4
1
7
1
  
 2  64
3
7
1
  
 2  32
4
35
1
  
 2  128
気体分子の分布
1
P
N=1
0.5
N=2
N=4
0
N=8
0
0.5
n1/N
1
大数の法則
粒子数が多くなるほど、平均（期待値）
を外れる確率は小さくなる。
粒子数が多いと、確率が最大となる条件が
「常に」実現される。
何度も博打を打つと必ず損をする
ボルツマンの分布の意味
気体分子のエネルギーはε1、ε2 、・・・・εｒ
のいずれかの値を取るとする。
・すべての気体分子をｒ個の組に振り分ける
｛ｎ1、ｎ2、・・・・ｎｒ｝
ε1、ε2、・・・・εｒ
・各振り分け方に対する確率P を求める
・最も大きな確率を持つ振り分け方
｛ｎ1、ｎ2、・・・・ｎｒ｝の物理的意味？
εr
nr
エ
ネ
ル
ギ
ー
.
.
.
.
ε2
n2
ε1
n1
r個
ボルツマンの分布の意味
・N個の分子が｛ｎ1、ｎ2、・・・・ｎｒ｝の状態を取
る確率
N!  1 
P
 
n1!n2!  nr !  r 
N
N
1
log P  log N ! 
r
 log n1! log n2 !     log nr !
確率が最大となる条件が実現される
P
確
率
LogP
分子数
n
i
ボルツマンの分布の意味
スターリングの公式を使う
logm!  m(logm  1)
m  1
N
1
log P  log N ! 
r
 n1 (logn1  1)  n2 (logn2  1)    nr (lognr  1)
 log P

1

ni (logni  1)  (logni  1)  ni ( )
ni
ni
ni
  log ni
εr
nr  nr  nr
ε2
.
.
.
.
n2  n2  n2
ε1
n1  n1  n1
エ
ネ
ル
ギ
ー
r個
ボルツマンの分布の意味
P が最大値となる場合、ni  ni  ni だけ変化
させてものP 値は変化しないはず。（P は極値！）
 log P
 log P
 log P  
n1 
n2  
n1
n2
 log n1 n1 log n2 n2   
r
  log ni ni  0
i 1
ボルツマンの分布
エネルギー  i をもつ粒子の数 ni は
ni  n0 exp( 
i
kT
1
ここで  
kT
r
 log n n
i
i 1
i
)  exp(    i )
n0  exp( )
r
     i ni
i 1
r
r
i 1
i 1
   ni     i ni  0
ボルツマンの分布の意味
粒子数保存則
r
 n
0
i
i 1
n1  n2      nr  N
エネルギー保存則
r
  n
i 1
i
i
0
確率P が最大
n11  n2 2      nr r  E
 log P   0
ボルツマン因子
ε
（
エ
ネ
ル
ギ
ー
）
p( )  exp(
高温

kT
)
ε2
ε1
低温
p（確率）

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