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保険研究特論（保険数理）
アクチュアリー数学（第６回）
生命保険の現価、復習
早稲田大学大学院商学研究科
２０１５年５月２２日
大塚忠義
1
講義資料
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から各自事前にダウンロードしてください
2
Agenda
• 復習
生命表
利息
確定年金
• 生命保険モデル
3
ベルヌーイ試行としての死亡率
l0  100, 000
lx 1  lx  d x
lx 1
px 
lx
dx
qx 
lx
qx  px  1
死亡者dは、確率変数
であり、B(n, q)の二項
分布に従う
ｎが十分に大きいとき
はnはN（nq, npq)の正
規分布で近似すること
ができる。このときqは
N(q, pq/n)に従う
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記号の定義（1)
lx  n
n px 
lx
lx  lx  n
n qx  1  n px 
lx
n
lx  n d x  n
qx 
 n px  qx  n
lx lx  n
lx  n lx  n  lx  n  r
 n px  r qx  n
n r qx 
lx
lx  n
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年齢を確率変数とする死亡率
人は生まれたら必ず死ぬ、異なるのは
死ぬ時期 ω-1
ω-1
d
t 0
x
ω-1

t 0
  (lt  lt 1 ) l0
t 0
ω-1
t
q0   t p0  q0t
t 0
ω-1
lt dt

1
t  0 l0 lt
ω-1

t 0
t
qx  1
6
期待値
ω-1
ex =
t
t 0
ω-1
t
ω-1
e0 =
t
t 0
qx   t px : 平均余命
t 0
ω-1
t
q0   t p：平均寿命（０歳の平均余命）
0
t 0
d xはx歳の誕生日からx  1歳の
誕生日の前日までに死亡する数
逆にいうとx年（端数月数切捨て）
生きた人の数。その期待値は生存
年数の平均  寿命中位数
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連続空間上の生命関数(1)
X歳（端数月数切捨て）の死亡率を定義する
と死亡率は離散型の確率関数
時間t で定義すると死亡率は連続型の確率
関数となり、ルベーグ積分で扱うことができ
る。
同様に生命表上のすべての変数をtで表現
することが可能となる
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連続空間上の生命関数(2)
n
n
Lx   lx t dt : 定常空間上のx歳以上
t
x  n歳未満の人口
Lx : 定常空間上のx歳の人口
ω
Tx   lx t dt :定常空間上のx歳以上の人口
t
ω
ex  
t
t
px dt
金融工学のdurationはこの応用
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死力(1)
lx tを実数tのもとに定義すると微分可能
微小区間tにおける死亡率は
lx  lx t
lx t
 x : t  0としたものを死力と定義
1 lx t  lx
x  lim
t 0 l
t
x
d log lx
1 dlx


lx dx
dx
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死力(2)
死力は確率変数ではない：１を超えることも
あり得る
1
d x   lx t  x t dt
0
qx  
1
0
p

dt
t x x t
n

0
n p x e

 xt dt
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利子、利息、金利
経済学的には『将来時点における資金の
現在時点における相対的な価格』をいう
実際の金融取引においては
・金銭の時間的価値、
・金融機関の提供するサービスの対価
・債権の貸倒れに対する保証料
が合成されたものと観念される
金利と時間の関係は不可分である
利息は元本、金利、時間に依存する
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用語の確認(1)
・利子：利息、（I）：明確な区別なさそう
・利率：金利、（i）：金、貨幣以外の貸借も
存在⇔物利、米利
・元本：元金、（P）：同上
・期間、投資期間、預入期間、借入期間
(n)
・年利：利率は１年単位で表すことが慣習
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記号の定義
S  P (1  i )
n
Pv S
n
1
v
：現価率
1 i
i
d  1 v 
：割引率
1 i
(1  d )(1  i )  1
(1 
i
(k )
)  1 i
k
k
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利力(1)
転化回数kを多くする
  lim i
(k )
k 

e  1  i  (1 
i
(k )
k
)
k

e v
1
 t then : k   : t  0
k
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利力(2)
Stを時間(実数)tのもとに定義すると微分可能
微小区間tにおける利率は
St t  St
St t
 t : t  0としたものを利力と定義
St t  St
 t  lim
t 0
St t
1 dSt d log St


St dt
dt
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利力(3)
dSt
 t St 
dt
d log St
1

dt

dt

log
S

t
t 0
0
0 dt
S0 (1  i )
S1
 log  log
 log(1  i )
S0
S0
1
1
17
利力(4)
・利力を定義することで連続空間である時
間t上を利息を利率を定義することができ
る
・利力に時間tの添数を付すことで時間によ
る関数と定義することができる
・従来の実務では  t   として利力（利率）
は期間中不変との仮定のもと常数としてき
た
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年金(1)
・あらかじめ定めた一定の期間（年金支払
期間（ｎ）、終身、永久を含む）中、一定の
間隔（等間隔で年、月、日）をおいて継続
的に支払われる一連の金額
・確定年金：支払いに条件がない
・生命年金：条件付年金の一種、所定の人
の生存を条件に支払う
・期始払年金：年金支払期間中、一定の間
隔の始めに年金を支払う
・期末払年金：一定の間隔の終わりに年金
を支払う
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年金(2)記号の定義
an : n年期始払確定年金現価
an : n年期末払確定年金現価
sn : n年期始払確定年金終価
sn : n年期始末確定年金終価現価
f
an : f 年据置n年期始払確定年金現価
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年金(3)
n
n
1

v
1

v
an  1  v    v n 1 

1 v
d
n
1 v
2
n
an  v  v    v 
i
n
(1  i )((1  i )  1)
2
n
sn  (1  i )  (1  i )    (1  i ) 
i
n
(1  i )  1
n 1
sn  1  (1  i )  (1  i ) 
i
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年金(5)
年ｋ回分割年金（半年払、月払）
1
1
1
n
n
k
n
1
(1

i
)
(1

v
)
1

v
an ( k )  (1  v k    v k ) 
 (k )
(k )
k
i
d
1
1
n
n

1
(1  i )  1
(k )
k
k
sn  (1  (1  i )    (1  i ) 
k
i(k )
an ( k )  a1 ( k ) an
sn ( k )  s1 ( k ) Sn
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年金(6)
連続年金：年ｋ回分割年金の極限の場合
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生命保険の種類(1)
死亡保険
：被保険者が保険期間中に死亡した場合
に給付
終身保険：保険期間：終身
定期保険：保険期間：有期
生存保険
：被保険者が保険期間満了時に生存して
いた場合に給付
年金保険が含まれる
純粋な生存保険は販売されていない
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生命保険の種類(2)
生死混合保険
:被保険者が保険期間中に死亡、被保険
者が保険期間中に死亡した場合に給付
養老保険⇒定期保険+生存保険
終身保険は、定期保険と別種のものであり、
養老保険に近い
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生命保険(1)記号の定義
Ax : x歳加入の終身保険現価
1
x:n
: x歳加入n年満期の定期保険現価
1
x:n
: x歳加入n年満期の生存保険現価
A
A
Ax:n : x歳加入n年満期の養老保険現価
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Ax 
  x 1
生命保険(2)
v
t
t
t 0
qx
n 1
1
x:n
  v t qx
1
x:n
v
A
A
t
t 0
n
n
Ax:n  A
1
x:n
保険金の支払
時期は期末に
なっていること
に注意
px
A
1
x:n
27
基数(2)
Cx  v
Mx 
Rx 
x 1
dx
  x 1

t 0
Cx
  x 1

t 0
Mx
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生命保険(3)記号の定義
Mx
Ax 
Dx
1
x:n
M x  M xn

Dx
1
x:n
Dx  n

Dx
A
A
Ax:n  A
1
x:n
A
1
x:n
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連続年金と即時払保険現価
(k )
(k )
ax  ax  ax  ax  ax
分割年金、連続年金の場合は、年金の支
払額に差異が存在する
Ax  Ax
保険金の即時払いは、支払時期の差（＝
利息負担額の差）のみが存在する
どちらも実務上近似公式を使用するが、
近似の程度は基本的に異なる
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即時払生命保険モデル(1)
事実：人は一様に生まれ、冬に多く死ぬ
仮定１：死亡は誕生日からの１年間に一様
に発生する
0  t 1
lx t  lx  td x  (1  t )lx  tl x 1
t
qx  tqx
死亡者数を線形補間
31
即時払生命保険モデル(2)
1
Cx   v lx t  x t dt
x t
0
1 dlx t
  v lx t (
)dt
0
lx t dt
1
x t
1
 v d x  v dt  v
x
t
x
1
2
0
dx
lx t  tlx 1  (1  t )lx
1
 v dt 
0
t
1 v

32
基数(3)
Cx  v
Mx 
Rx 
1
x
2
dx
  x 1
C
t 0
x t
  x 1
M
t 0
x t
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即時払生命保険(3)記号の定義
Ax : x歳加入の即時払終身保険現価
1
x:n
: x歳加入n年満期の即時払定期保険現価
1
x:n
: x歳加入n年満期の生存保険現価
A
A
Ax:n : x歳加入n年満期の即時払養老保険現価
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即時払生命保険(4)
Mx
Ax 
Dx
1
x:n
M x  M xn

Dx
1
x:n
Dx  n

Dx
A
A
Ax:n  A
1
x:n
A
1
x:n
35
Question?
お疲れ様でした
36

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