変調と復調

信号処理論
変調
と
復調（直交検波）
（20150514
資料）
内容
 変調とは
 復調（検波）とは
 直交検波の例
超音波ドプラ法による血流計測
変調とは？
変調とは
波の振幅、位相、周波数が時間で変化すること。
もしくは、意図的に変化させること。
初期位相
Im
周期 T=2/

A

振幅
A
Re
時間t
変調とは？
変調とは
波の振幅、位相、周波数が時間で変化すること。
もしくは、意図的に変化させること。
変調方式
Amplitude Modulation（AM) 振幅変調
Frequency Modulation(FM) 周波数変調
Phase Modulation（PM)
位相変調
（被変調信号の例）
電波の送信
ドップラ効果をうけた音波など
信号，搬送波，被変調信号
搬送波（Carrier wave）
信号を伝送する波
被変調波(Modulated wave)
搬送波の振幅、周波数もしくは位相を
信号として時間的に変化させた波
Amplitude modulation：振幅変調
搬送波
被変調波
A
A
の場合
Im

Ac

A
Ascosst
Ac
Re
t
Ac
cos(ct+)
円の大きさが時間で変化する
変調度 m = As/Ac
被変調波の周波数スペクトル
信号波と搬送波のパワースペクトル
Signal
fs
Carrier
Carrier
fc
被変調波のパワースペクトル
f
fc-fs fc fc+fs
f
被変調波の周波数スペクトル
信号波と搬送波のパワースペクトル
Signal
fs
Carrier
Carrier
fc
変調波のパワースペクトル
f
fc-fs fc fc+fs
f
変調度と被変調波の時間波形
被変調信号
変調度
m=0.1
A
⁄
⋅
1
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
m=0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
,
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
15
2
1.5
10
1
5
0.5
m=1
m=10
0
0
-0.5
-5
-1
-10
-1.5
-2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-15
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Frequency Modulation:周波数変調
搬送波
被変調波
瞬時角周波数
Frequency Modulation:周波数変調
の場合
Im
変調指数 mf

Ac

Re
回転速度が時間で変化する
t
m=c+
m=c-
Phase Modulation:位相変調
搬送波
被変調波
被変調波の位相
Phase Modulation:位相変調
の場合
Im

Ac

Re
回転速度が時間で変化する
t
m=c+s
m=c-s
周波数変調と位相変調
Signal fs
Ascosst
t
FM ffm
Assinst
t
PM fpm
Δ ⋅
t
変調指数と被変調波の時間波形
,
被変調信号
mf=1
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
mf=5
0
-0.2
0
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-1
mf=10
最大周波数偏移
,
変調指数
-1
0
5
10
15
20
25
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
mf=20
0
-0.2
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
5
10
15
20
25
10
15
20
25
0
-0.4
0
5
-0.2
-0.4
-1
0
-1
ただし，
0.1
0
5
10
15
20
25
被変調波の周波数スペクトル
ベッセル関数
ただし，mF=mf/s
ベッセル関数
2∑
2∑
cos 2
cos 2
1
cos
信号の周波数の整数倍に複数のピークが表れる
被変調波の周波数スペクトル
cos
 狭帯域の場合（変調指数が小さい場合）
1,
⁄2 ,
パワースペクトル
≃0
A
fs
f
周波数スペクトルはAMと相似形になる！
fc
 広帯域の場合（変調指数 mf>1 の場合）
n>1 の項を無視できない
cの両翼に信号周波数だけ離れた無数の
スペクトル成分が振動しながら，小さくなる
fs
f
fc
復調（検波）とは？
復調とは
被変調信号から元の信号を取り出すこと
復調する方法：信号の直交性を利用する
（直交検波の応用例）
電波の受信
ドップラ効果を用いた流れの測定など
復調とは
被変調波
被変調波は実信号
→ 振幅と位相の変化を独立して検出することが難しい
→ 解析に適した複素信号（解析）を作り出す
振幅、位相？
t
実信号と解析信号
観測される実信号は，
複素平面上で時間的に変化する複素信号の実軸上
（もしくは虚軸上）への投影と考える
Im
Re
実信号
A(t)
(t)
Re
t
実信号と解析信号
実信号を、
実数部と虚数部が直交関係にある複素信号に変換すれば
振幅変化と位相変化を独立して判別することができる
Re
Im
実信号
t
A(t)
(t)
Re
Im
直交関係
t
実信号と解析信号
実信号を、
実数部と虚数部が直交関係にある複素信号に変換すれば
振幅変化と位相変化を独立して判別することができる
Im
A(t)
(t)
Re
In phase Quadrature
成分
成分
解析信号への変換手段

ヒルベルト変換

直交検波
ヒルベルト変換の考え方
実信号と解析信号を周波数領域で考えると，
実信号の周波数スペクトル
実信号I(t)の周波数スペクトル（パワー）は
正負対象の成分が現れる
f
実信号I(t)を変形すると，
1
2
正の周波数
f
負の周波数
掛け算
解析信号の周波数成分
負の周波数を除去するステップ関数U(f)を
実信号のスペクトルにかける
→ 解析信号の周波数スペクトルの取得
解析信号の周波数スペクトル
f
ヒルベルト変換の考え方
時間領域における解析信号を得るためには，
実信号の周波数スペクトル
実信号I(t)にフィルタのインパルス応答u(t)を
畳み込む
U
0 2 0
0
f
u
∗
∗
∗
f
掛け算
解析信号の周波数スペクトル
実信号I(t)にインパルス応答が1/tである
h(t)を畳み込むことで、直交成分Q(t)を求め
ることができる
f
ヒルベルト変換のブロック図
実信号
I(t)
I(t)
ヒルベルト
フィルタ
Q(t)
フィルタのインパルス応答と伝達関数
0
0 0
0
直交検波
（前提条件）
実信号の周波数スペクトルが周波数０からある程度
離れた周波数帯に存在する場合のみに適用できる
×
○
0
f
0
f
直交検波の考え方
解析信号を得ることはx+(t)(もしくはx-(t))を得ること
解析信号
-fc
0
fc
f
直交検波の考え方
実信号をI(t)に参照信号exp(-j0t)を乗算した信号B0(t)を考える
I t
0→ c とすると，
cだけ周波数移動
-2fc
-fc
0
fc
f
直交検波の考え方
ローパスフィルタによりB0(t)の第１項を除去した信号B(t)を考える
 B(t)をベースバンド信号と呼び、実数部と虚数部はヒルベル
ト変換対の関係にある
 ベースバンド信号は厳密には求めたい解析信号A
とは異なるが，振幅，位相情報は保存されている
 ローパスフィルタはヒルベルトフィルタより実現しやすい
ローパスフィルタ
-2fc
0
f
直交検波のブロック図
cos
実信号
LPF
I
（In-phase 成分）
LPF
Q
（Quadrature成分）
混合器
sin
ヒルベルトフィルタより
実現しやすい
変調した波の直交検波
被変調信号の解析信号 S
をフーリエ変換
することで信号の振幅と位相を求めることができる
（例）振幅変調した波の直交検波
搬送波信号を
A
，伝送信号を
とすると，
被変調信号
被変調信号に直交検波を行うことで解析信号に変換し，
解析信号が伝送信号の振幅と位相情報を持っていることを示す
変調した波の直交検波
同相成分I(t)，直交成分Q(t) は？
直交成分
⋅
同相成分
⋅
ローパスフィルタで
成分を除去
変調した波の直交検波
解析信号は
0を搬送波の角周波数 c と一致させると，
解析信号
（元の伝送信号）
被変調信号
（振幅変調）
f
応用例：ドプラ現象による血流の測定
血流や臓器の動きの異常を
“周波数変化量”として評価
主な対象
腫瘍、心臓内の弁の動き
ドプラ効果
音源と観測者が同一で反射体が移動する場合(診断装置)
送信
送波周波数 f S
受波周波数 f R
送受波器
受信
ドプラ効果は２回起こる
① 反射体が観測者として見なされる
（音源から音波の送信）
② 反射体が音源として見なされる
（反射体からのエコーの受信）
移動速度 v
反射周波数 f ref
反射体
ドプラ効果
音源と観測者が同一で反射体が移動する場合(診断装置)
移動速度 v
送信
送波周波数 f S
受波周波数 f R
送受波器
反射周波数 f ref
反射体
受信
受信周波数と送信周波数の関係は？
1
2
2
ドプラシフト周波数
周波数変調（位相変調）
ドプラシフト周波数
:ドプラ周波数
: 送信周波数
ドプラシフト周波数は？（vが一定の場合）
音速約1500m/s，血流速は速くても1m/s以下
ドプラシフト周波数は送波周波数
の0.1％未満に過ぎない
(例)
送波周波数2MHz，反射体速度1m/sなら
ドプラシフト周波数は約2667Hz
ドプラシフト周波数
:ドプラ周波数
: 送信周波数
エコー信号のスペクトルは？（vが一定の場合）
fd
ドプラシフト周波数は送波
周波数の0.1％未満
fs
-fs
0
fs
f
ドプラシフト周波数の計測（直交検波）
血流による位相変化をx(t)=2v(t)st/cとし，
受波信号を sin
として，直交検波の処理を適用する
sin
受波信号
sin
受波信号
sin
参照信号
cos
参照信号
1
2
1
2
cos
血流情報
sin
血流情報
cos 2
LPFで除去
sin 2
LPFで除去
解析信号は
血流情報
解析信号の位相情報が血流の速度情報を持っている
ドプラ信号の波形
送波周波数2MHz，音速1500 m/s，反射体速度15 m/s
1
0.5
参照信号
0
-0.5
-1
1
受波信号
0.5
1
1.5
2
x 10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-5
1
x 10
0
-1
0
0.5
1
1.5
2
ドプラ信号 0
（同相信号）-1
2.5
-5
1
x 10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-5
1
ドプラ信号
（直交信号）
2.5
-5
0
-1
参照信号
＋
受波信号
0
x 10
0
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-5
x 10
血流の向きは？
血流の向きは同相成分のみ（直交成分のみ）からは
判断できない(回転の方向はわからない)
2
 遠ざかる場合（速度が負）
Im
v
2
2
反射体
音源

Re
 近づく場合（速度が正）
v
音源
反射体

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