(a) = f (a)(x − a y = f(a) + f (a)(x − a ) g(x) := f(a) + f (a)(x − a (a) = f h(x

微積分入門補足プリント No.1, No.2 第 1 章 ∼関数の近似式と Taylor の定理∼ 関数 y = f (x) のグラフ上の点 (a, f (a)) における接線の方程式は，y − f (a) = f ′ (a)(x − a) で
あった．これを変形すると
y = f (a) + f ′ (a)(x − a)
となるが，この式の右辺は x = a の近くで f (x) の値を近似していると考えられる．そこで，
g(x) := f (a) + f ′ (a)(x − a) とおいて，この g(x) を関数 f (x) の x = a における一次近似式とい
う．ここで，g(a) = f (a), g ′ (a) = f ′ (a) が成り立つことに注意しよう．関数 f (x) の x = a におけ
る n 次近似式 p(x) を考えるときも，p(k) (a) = f (k) (a), (k = 0, 1, 2, · · · , n) が成り立つものとする．
例題 1 関数 f (x) の x = a における二次近似式 h(x)，三次近似式 k(x) を求めよ．
解求める二次近似式を h(x) = A + B(x − a) + C(x − a)2 とおく．
h(a) = f (a), h′ (a) = f ′ (a), h′′ (a) = f ′′ (a) に注意すると
h(a) = f (a) = A, h′ (a) = f ′ (a) = B, h′′ (a) = f ′′ (a) = 2C
より，h(x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) +
が
f ′′ (a)
(x − a)2 を得る．同様の計算で，三次近似式 k(x)
2
k(x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) +
f ′′ (a)
f (3) (a)
(x − a)2 +
(x − a)3
2!
3!
となることが確かめられる．
定義関数 f (x) が区間 I において C n 級で，a ∈ I とするとき，多項式
p(x) =
n
∑
f (k) (a)
k!
k=0
(x − a)k を関数 f (x) の x = a における n 次近似式という．
問 1 関数 f (x) = log(1 + x) の x = 0 における一次近似式 g(x)，二次近似式 h(x) を求めよ．
問 2 関数 f (x) = sin x の x = π における三次近似式 k(x) を求めよ．
問 3 関数 f (x) = cos x の x = 0 における四次近似式 p(x) を求めよ．
1
Rolle の定理を用いた Taylor の定理の別証明を与える．
定理 1.45（Taylor の定理）関数 f (x) が [a, b] において n 回微分可能 (n ∈ N ) であるとき，
f (n−1) (a)
f (n) (c)
f (2) (a)
(b − a)2 + · · · +
(b − a)n−1 +
(b − a)n
2
(n − 1)!
n!
c−a
を満たす c ∈ (a, b) が存在する．c は θ =
, 0 < θ < 1 とおいて c = a + θ(b − a) とも表
b−a
せる．
f (n) (a + θ(b − a))
f (n) (c)
(b − a)n =
(b − a)n
Rn =
n!
n!
とおいて，Rn を Lagrange の剰余項とよぶ．
f (b) = f (a) + f ′ (a)(b − a) +
証明 Lagrange の剰余項 Rn の形に注意して，関数
F (x) = f (b) −
n−1
∑
f (k) (x)
(b − x)k − K(b − x)n
k!
k=0
を考える．ただし，K は一つの定数とする．
（この関数に Rolle の定理を用いて，定数 K を
決定するという自然な発想に基づく証明をしようというわけである．
）F (b) = 0 は明らかで
ある．次に，
n−1
∑ f (k) (a)
F (a) = f (b) −
(b − a)k − K(b − a)n = 0
k!
k=0
とおく．すなわち，定数 K はこの式を満たす．ここで， Rolle の定理を適用すると，F ′ (c) = 0
を満たす c ∈ (a, b) が存在する．すなわち
′
F (c) = −
n−1
∑ ( f (k+1) (c)
k=0
k!
(b − c)k −
)
f (k) (c)
k(b − c)k−1 + Kn(b − c)n−1 = 0
k!
(
0 = − (f ′ (c) − 0) + (f (2) (c)(b − c) − f ′ (c)) + (
+···(
f (3) (c)
(b − c)2 − f (2) (c)(b − c))
2!
)
f (n) (c)
f (n−1) (c)
(b − c)n−1 −
(b − c)n−2 ) + Kn(b − c)n−1
(n − 1)!
(n − 2)!
よって，
0=−
f (n) (c)
(b − c)n−1 + Kn(b − c)n−1
(n − 1)!
f (n) (c)
(b − c)n−1
f (n) (c)
(n − 1)!
K=
=
n(b − c)n−1
n!
を得る．F (a) = 0 であったから，
0 = F (a) = f (b) −
n−1
∑
f (k) (a)
f (n) (c)
(b − a)k −
(b − a)n
k!
n!
k=0
すなわち，
f (b) = f (a) + f ′ (a)(b − a) +
f (n−1) (a)
f (2) (a)
(b − a)2 + · · · +
(b − a)n−1 + Rn ,
2
(n − 1)!
f (n) (c)
(b − a)n
n!
を得る． [証明終]
Rn =
2
微積分入門補足プリント No.3, No.4 第 1 章 ∼関数のグラフの凹凸，近似値∼ ある区間 I 内の任意の実数 x において，f ′′ (x) > 0 であると仮定すると，Taylor の定理より
∃ x ∈ (a, x) s.t f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) +
f ′′ (c)
(x − a)2 ∀a, x ∈ I (a ̸= x)
2!
特に，c ∈ I であるから
f (x) − f (a) − f ′ (a)(x − a) =
f ′′ (c)
(x − a)2 > 0 すなわち f (x) > f (a) + f ′ (a)(x − a)
2!
が成り立つ．これは，x = a の近くでは関数 y = f (x) のグラフが，点 (a, f (a)) における接線より
も上にあることを意味している．このとき，y = f (x) は下に凸であるという．
同様に，区間 I において f ′′ (x) < 0 が成り立つとき，∀ a ∈ I に対して，関数 y = f (x) のグラフ
は，点 (a, f (a)) における接線よりも下にある．このとき，y = f (x) は上に凸であるという．また，
関数の凹凸が変わるグラフ上の点を曲線 y = f (x) の変曲点という．
例題 2 関数 f (x) = e−2x の増減と凹凸を調べ，変曲点と極値があればそれらを求めよ．また
y = f (x) のグラフの概形を描け．
2
増減表を用いない極値の判定法については，次が成り立つ．
定理 C 2 級関数 f (x) に対して f ′ (a) = 0 であるとき，次が成り立つ．
(1) f ′′ (a) < 0 ならば f (a) は極大値 (2) f ′′ (a) > 0 ならば f (a) は極小値 3
例題 3 α ̸= 0 を定数とし，f (x) = (1 + x)α とおく．次の問いに答えよ．
(1) (
f (x))の第 n 階導関数を求めよ．
( )
( )
α
α
α
α(α − 1)(α − 2) · · · (α − k + 1)
=
= α, = 1, とおくとき，
(2) k!
k
1
0
∃ θ (0 < θ < 1) s.t (1 + x) =
α
n−1
∑(
k=0
α
k
)
(
k
x +
α
n
)
(1 + θx)α−n xn
が成り立つことを示せ．
問 4 次の近似値を（）内に指示された桁数まで求めよ．
√
π
(1) 1.004 (小数第 3 位) (2) sin 1 (小数第 6 位) (3) cos (小数第 3 位) 15
4
微積分入門補足プリント No.5 第 2 章 2.4 有理関数の積分 (概要) その 1 ∫
1
x
1
dx = tan−1 + C の応用；分母の二次式を平方完成して積分する方法
2
+a
a
a
∫
1
例 1 不定積分
dx を求めよ．
2
x − 2x + 5
公式
∫
x2
1
dx =
2
x − 2x + 5
∫
1
1
x−1
dx = tan−1
+C
2
(x − 1) + 4
2
2
p41 の手続きにしたがうと，複雑な関数の積分も計算することが可能となる．
∫
例 2 不定積分
x5 − x4 + 5x + 13
dx を求めよ．
x4 − 4x + 3
(I) 割り算を実行し，分母を因数分解する．
x5 − x4 + 5x + 13
4x2 − 2x + 16
4x2 − 2x + 16
=
x
−
1
+
=
x
−
1
+
x4 − 4x + 3
x4 − 4x + 3
(x − 1)2 (x2 + 2x + 3)
(II) 有理式の項を部分分数分解し，さらに分母の二次式を平方完成する．
4x2 − 2x + 16
x+4
−x + 4
= 2
+
4
x − 4x + 3
x + 2x + 3 (x − 1)2
=
3
1
3
(x + 1)
+
−
+
2
2
(x + 1) + 2 (x + 1) + 2 x − 1 (x − 1)2
(III) 積分を実行する．
∫ (
与式 =
=
x−1−
)
3
3
1
(x + 1)
+
+
+
dx x − 1 (x − 1)2 (x + 1)2 + 2 (x + 1)2 + 2
3
1
3
1 2
x+1
x − x − log |x − 1| −
+ log(x2 + 2x + 3) + √ tan−1 √ + C
2
x−1 2
2
2
例 3 以下の積分では，漸化式 (2.3) を用いるとよい．
∫
x+8
dx =
(x2 + 4)2
1
2
∫
2x
dx + 8
2
(x + 4)2
(
∫
(x2
1
dx
+ 4)2
∫
)
1
x
1
1
1
+8·
+
dx
= −
2
2
2
2(x + 4)
4 2(x + 4) 2 x + 4
x
1
x
1
+ 2
+ tan−1 + C
= −
2
2(x + 4) x + 4 2
2
1
x
2x − 1
+ tan−1 + C
=
2(x2 + 4) 2
2
∫
注 In =
(x2
1
dx (n ∈ N) とおくと，次の漸化式が成り立つ．
+ A)n
(
)
x
1
2n − 3
In =
In−1 , (n >
+
= 2)
A (2n − 2)(x2 + A)n−1 2n − 2
5
微積分入門補足プリント No.6 第 2 章 2.4 有理関数の積分（演習）その 2 ∫
問 4（追加） I3 =
∫
I2 =
1
dx を求めよ．まず，I1 =
2
(x + 4)3
1
1
dx =
2
2
(x + 4)
4
∫
(
∫
1
1
dx =
2
3
(x + 4)
4
I3 =
(
∫
=
=
1
x
3
+ I2
2
2
4 4(x + 4)
4
(
(1) ∫
)
(−2x)
x· 2
dx
(x + 4)3
)
(
x
1
1
=
+ I1
2
4 2(x + 4) 2
∫
(
)
x2
dx
(x2 + 4)3
1
1
1
1
x·
= I2 +
−
4
8
2(x2 + 4)2 2
∫
(
)
1
dx
(x2 + 4)2
x
x
1
x
3
=
+
tan−1
+
2
2
2
16(x + 4)
16 8(x + 4) 16
2
9x − 8
dx =
(x + 2)(x2 + 9)
∫ (
)
)
+C
)
2
2x + 5
−
dx + 2
x+2 x +9
∫
∫
∫
1
2x
1
= −2
dx +
dx
+
5
dx
x+2
x2 + 9
x2 + 9
5
x
= −2 log |x + 2| + log(x2 + 9) + tan−1 + C
3
3
x2 + x − 1
dx =
x(x2 + 1)
(2) )
(x2 + 4) − x2
1
I2 −
dx =
2
3
(x + 4)
4
問 5 次の不定積分を求めよ．
∫
1
1
x
dx = tan−1 + C ．
+4
2
2
(
∫
1
1
I2 +
4
2
x2
∫
)
(x2 + 4) − x2
1
(−2x)
1(
I
+
x
·
dx
=
dx
1
(x2 + 4)2
4
2
(x2 + 4)2
∫
)
1
1( x
1
I1 +
−
dx
4
2 x2 + 4
x2 + 4
=
∫
∫ (
1 2x + 1
− + 2
x x +1
∫ (
)
dx =
)
1
2x
1
− + 2
dx
+ 2
x x +1 x +1
= − log x + log(x2 + 1) + tan−1 x + C
問 6 次の不定積分を求めよ．
∫
(1) ∫
(2) 5x − 1
dx =
(x − 2)(x + 1)2
∫ (
)
1
1
2
−
+
dx x − 2 x + 1 (x + 1)2
2
= log |x − 2| − log |x + 1| −
+C
x+1
4x2 − 3x + 2
dx =
(x + 1)(x − 2)2
∫ (
1
3
4
+
+
x + 1 x − 2 (x − 2)2
= log |x + 1| + 3 log |x − 2| −
∫
問 7 不定積分
∫
x3 − 2x − 5
dx =
x2 + x − 2
∫ (
=
x3 − 2x − 5
dx を求めよ．
x2 + x − 2
∫ (
)
x−7
x−1+ 2
dx =
x +x−2
)
)
dx 4
+C
x−2
∫ (
2
1
3
x−1−
dx = x2 − x − 2 log |x − 1| + 3 log |x + 2| + C
+
x−1 x+2
2
6
)
x−7
x−1+
dx
(x − 1)(x + 2)

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