確率論

確率論
～大数の法則・中心極限定理～
大数の法則
表と裏の出る確率が等しいコインを投げる試
行を考え、試行回数nと表の出る割合の関係を
調べる。ここで表の出る回数をXとする。
例えば、コインをn＝5回投げるとき、表の出る
回数Xはパラメータn＝5, p=1/2の二項分布に
従うので
表の出る割合
0.0
表の出る回数
0
1
2
3
4
5
0.03
0.16
0.31
0.31
0.16
0.03
確率
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
コインをn＝10回投げるとき、表の出る回数X
はパラメータn＝10, p=1/2の二項分布に従う
ので
表の出る割合
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
表の出る回数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.00
0.01
0.04
0.12
0.21
0.25
0.21
0.12
0.04
0.01
0.00
確率
コインをn＝20回投げるときは
表の出る割合
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
表の出る回数
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0.00
0.00
0.00
0.04
0.12
0.18
0.12
0.04
0.00
0.00
0.00
確率
n=5のとき
n=10のとき
0.35
0.3
0.3
0.25
0.25
0.2
0.2
0.15
0.15
0.1
0.05
0.1
0
0.05
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n=20のとき
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
1
0.9
0.95
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
0.55
0.5
0.4
0.45
0.35
0.3
0
0.25
1
0.2
0.8
0.15
0.6
0.1
0.4
0.05
0.2
0
0
確率収束
確率変数の列
に対して、
c をある定数とする。与えられた正数に
対して
となるとき、確率変列
するという。これを
で表す。
はc へ確率収束
大数の法則
確率変数
が期待値E,分散
b2の確率分布に従い、互いに独立であると
する。また、
とする。確率変数の数n→∞のとき
になる。
大数の法則の証明
チェビシェフの不等式から、与えられた正
数εに対して
中心極限定理
確率変数
が期待値μ,分散
σ2の確率分布に従い、互いに独立であると
する。また、
とする。確率変数の数n→∞のとき、は
期待値μ, 分散 σ2/n の正規分布に従う。
中心極限定理の証明
中心極限定理の例
中心極限定理の例
中心極限定理の例
中心極限定理の例
二項分布の正規分布による近似
表が出る確率が1/2であるコインを10回投げ
る試行において、表が8回以上出る確率を求
める。この試行で10回中 k 回表が出る確率は
の二項分布になる。よって、表が8回以上出る
確率は
次にコインを1000回投げたとき、表が520回以
上出る確率を求める。
12151960224675373195790978649798867852914574560134
9471164412224427446635600353253838367735103823782
5641493867559277386265379114214337210034770474666
6488604334146817684807853274676091762591303543175
78945748922587485262721184729423719552933742795909
21038519197243544259580292514478245780003471261501375
組み合わせの数が大きすぎて計算できない！
コイン投げの各回はベルヌーイ分布で、1000回中
表の出る回数をX とすると、
なので、中心極限定理から
はコイン投げの回数が大きいとき標準正規分布で
近似できる。
コインを1000回投げたとき、表が520回以上
出る確率は
となる。
Mathematicaで正確な値を求めると、0.1087
である。二項分布の正規分布による近似を
行ったとき、十分な精度を得るための必要条
件は np>5 かつ n(1‐p)>5 である。
他の確率分布の正規分布による近似
ある会社に1日にかかってくる電話の数は
Poisson分布に従っていて、その期待値は100で
ある。この会社にかかってくる1ヶ月(30日)の電
話の数の合計が3100以上である確率を求め
る。ただし、各日のかかってくる電話の数は独
立であるとする。
会社にk日(1 ≦ k ≦ 30)にかかってくる電話の
数をXk とすると、 Xk はパラメータ100のPoisson
分布に従っている。 1ヶ月(30日)の電話の数の
合計をY とすると、Y はパラメータ3000の
Poisson分布に従う（Poisson分布の再生性）。
Poisson分布の定義に従い、この会社にかかっ
てくる1ヶ月(30日)の電話の数の合計が3100以
上である確率を求めると
を求めることになる。これは大変なので、中心
極限定理を用いて、正規分布で近似する。
なので、求める確率は
Mathematicaにより前ページの級数を正確
に計算すると0.03517となる。
演
習
1冊の重さが期待値20ｇ、標準偏差1gの
確率分布に従うパンフレットがある。これ
を30冊束ねるとき、その重さが590g以上
610以下である確率を求めよ。ただし、各
冊の重さは独立であるとする。

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