数学問題（PDF） - 東京都市大学塩尻高等学校

平成 27 年度
特別奨学生
特別奨学生入学試験
奨学生入学試験問題
入学試験問題
（ Brilliant S ）
数
学
注
1
意
試験係員の指示があるまで，問題冊子と解答用紙に手をふれてはいけ
ません。
2
解答用紙に受験番号を記入しなさい。
3
問題は【問
【問１】から【問
【問４】まであり，問題冊子の 2 ～ 7 ページ
に印刷されています。 8 ページ以降に問題はありません。
4
問題冊子とは別に，解答用紙があります。答えは，すべて解答用紙
答えは，すべて解答用紙の
答えは，すべて解答用紙の
の中にかき入れなさい。
5
分数で答えるときは，それ以上約分できない分数で答えなさい。
また，答えに
を含む場合は，
の中を最も小さい自然数にし
て答えなさい。
6
計算をしたり，図をかいたりすることが必要なときは，問題冊子のあ
いているところを使いなさい。
7
コンパス・定規は使用してもかまいません。
東京都市大学塩尻高等学校
-1-
【問１】次の各問いに答えなさい。
(1)　次の計算をしなさい。
①　-3+11 ②　16-12 &
3
4
8 9
③　-2 % 0 -4 1 2
④　2x - y
x - 2y
5
3
⑤　U 24 - U 3 0 3U 2 - U 8 1
(2)　二次方程式　2 0 1 +2x 1 = x 0 x +2 1 を解きなさい。
>
(3)　連立方程式　3x + y = 4
2 y = x - 13
を解きなさい。
(4)　n < U 300 < n +1 を満たす自然数 n を求めなさい。
-2-
(5)　関数　4x-3y -12=0 のグラフとして最も適切なものを，下のア
～
エ
から 1 つ選び，記号を書きなさい。
ア
y
O
イ
y
x
O
ウ
y
x
O
エ
y
x
O
x
(6)　右下の図のように，円周上に等間隔で 8 個の点があり，2 本の線分がひかれている。
このとき，4 x の大きさを求めなさい。　x
(7)　右下の図のように，底面の直径が 4 cm，高さが 12 cmの円柱の容器がある。この
容器がいっぱいになるように水を注いだとき，次の問いに答えなさい。　ただし，容器の厚さは考えないものとし，円周率は p とする。
①　この容器に注がれた水の体積を求めなさい。
②　この容器の中に直径が 3 cmである球を 1 つ沈めた。
あふれた水の体積を求めなさい。
③　この容器の中に②と同じ大きさの球を 4 つ沈めた。あふれた水と容器に残った　水の体積比を，最も簡単な整数の比で表しなさい。
-3-
【問２】次の各問いに答えなさい。
(1)　袋の中に B, C, D, E, F, G と書かれた球が 1 個ずつ合計 6 個入っている。これ
をよくかき混ぜて 2 個の球を同時に取り出したとき，次の問いに答えなさい。
①　球の取り出し方は全部で何通りあるかを求めなさい。
②　右下の図のような正七角形 ABCDEFG がある。点 A と取り出した 2 個の球と
同じ文字の頂点を線分で結んだとき，その図形が二等辺三角形になる確率を求め　A
なさい。
B
G
C
F
D
E
(2)　次の会話文を読んで，問いに答えなさい。
先生：自然数を次のように並べてみましょう。
【
【先生が黒板に書いた内容】
1　1 段目
2　3　2 段目
4　5
7 8
6　3 段目
9 10 4 段目
11 12　!　!　!　5 段目
：　：　：
先生：ある規則性に従い，自然数をこのように 1 段目から順に並べました。その規則　性について考えてみましょう。何か気づいたことはありますか。
ゆみ：はい，それぞれの段数とその段に並んでいる数字の個数が同じです。この順で
並べていくと，6 段目にはあ
あが入ります。
先生：そうだね。でも他にもまだ規則性があります。それを使えば，1 つずつ数えな　くてもその数字が何段目にあるのかを求めることができます。このような規則　性のある数の列については，高校に入ってから詳しく勉強します。
①　あに入る数をすべて書きなさい。
②　各段の左端の数の規則性について説明しなさい。
③　10 段目の左端の数を求めなさい。
④　104 は，何段目の左から何番目にくるかを求めなさい。
-4-
【問３】右下の図のように，関数 y =
1 2
x のグラフ上に 2 点 A，B をとり，関数 4
y = ax 2 のグラフ上に 2 点 C，D をとる。点 B，点 C の y 座標は同じで，点 B
の x 座標は 2 ，線分 BC の長さが 2 のとき，次の問いに答えなさい。　(1)　点 B の座標を求めなさい。
y = ax 2
y=
1 2
x
4
y
D
A
(2)　a の値を求めなさい。
B
C
O
x
(3)　△ ABC の面積を 8 とする。
①　点 A の座標を求めなさい。
②　△ ABC の面積と△ ABD の面積が等しくなるとき，点 D の座標を求めなさい。
ただし，点 D の x 座標は正とする。
③　②のとき，四角形 ABCD の面積を求めなさい。
-5-
【問４】図 1 のような正方形 ABCD がある。辺 CD 上に CE : ED ＝ 1 : 3 となる
点 E をとり，対角線 AC と線分 BE の交点を F とする。このとき，次の問いに
答えなさい。
(1)　AB : CE を，最も簡単な整数の比で表しなさい。
(2)　△ ABF と △ CEF が相似であることを利用して，対角線 AC の長さは線分 CF
の長さの何倍になるか求めなさい。
図1
A
D
E
F
B
C
図 1 の正方形の 1 辺の長さを 5 cm とする。この正方形の点 F から辺 ADに垂線
(3)　図
FH を，辺 AB に垂線 FI をそれぞれ図 2 のようにひく。　図2
H
A
D
E
I
F
B
C
さらに，図
図 3 のように，点 G を，辺 AD 上に線分 BE と線分 GF が垂直に交わる
ようにとる。このとき，次の問いに答えなさい。　図3
A
G
H
D
E
I
F
B
-6-
C
(ⅰ)　BF = GF であることを次のように証明した。次の証明の 1 ～ 3 にあてはまるものを下のそれぞれの語群から 1 つずつ選び，記号を書きなさい。
(証明)　△ BFI と△ GFH において ,
点 F は正方形 ABCD の対角線 AC 上の点であるから， IF = 1 ……①　FI 5 AB ， FH 5 AD であるから , 4FIB = 4FHG = 90 ,
……②　また，4HFI = 90,，4GFB = 90, であるから , 4BFI =4BFH - 4HFI = 4BFH - 2 ……③　4GFH=4BFH - 4GFB= 4BFH - 2 ……④　③，④より，4BFI = 4GFH ……⑤　①，②，⑤より，　ので，
3
△ BFI 6 △ GFH　が成り立つ。　ゆえに，BF = GF である。　(証明終) 1　の語群
2 ア BF
イ GF
ウ HF
エ DE
オ BC 3
2　の語群
:
カ ∠HFA
キ 4HFG
ク 4GFI
コ 45,
サ 60,
シ 90,
ケ 4HFE
3　の語群
B
ス 3 組の辺がそれぞれ等しい
セ 2 組の角がそれぞれ等しい
ソ 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
タ 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
チ 2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
(ⅱ)　線分 IB の長さを求めなさい。　(ⅲ)　△ AFG の面積を求めなさい。　-7-
C
;

Download Report