SSP 数学入試問題演習 1 東京学芸大学附属 2014 次の各問いに答えなさい。 2 2  1   1  （1）  ＋3  － －1 ＋3 ÷ 27 を計算しなさい。  3   3  （2）2 次方程式 1 2 2 x － x－1＝0 を解きなさい。 2 3 （3）大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げるとき、出る目の数の積が 12 の約数となる確率を求めなさい。（4）右の表は、ある中学校の 3 年生 40 人のハンドボール投げの記録を度数分布表に整理したものである。この度数分布表から求めた平均値は 15.8m である。表の中の x、y の値をそれぞれ求めなさい。 2 図のように、AD と BC が平行で、AB＝15cm、BC＝ 5cm、CD＝20cm、DA＝30cm の台形 ABCD がある。点 P は点 A を出発して、毎秒 2cm の速さで、台形の辺上を A →B→C と進み、点 Q は点 A を出発して、毎秒 3cm の速さで台形の辺上を A→D と進む。点 P、Q が、点 A を同時に出発してから x 秒後の△APQ の面積を ycm2 とする. ただし、0＜x≦10 とする。このとき、次の各問いに答えなさい。（1）点 P が辺 AB 上にあるとき、y を x の式で表しなさい。（2）点 P が辺 BC 上にあるとき、y を x の式で表しなさい。 132 （3）x の値が t から t＋1 まで増加するときに、y の値が増加するような t の値をすべて 5 て求めなさい。 3 次の各問いに答えなさい。（1）73＝m2＋n2 となる m、n を 1 組みつけなさい。（2）奇数を 2 乗した数を 4 で割ると余りが 1 となることを説明しなさい。ここで、例えば 13 を 2 で割ったとき、商を 6、余りを 1 とするように、商と余りを整数として考えるものとする。なお、余りは、割る数より小さい 0 以上の整数とする。（3）647=m2＋n2 となる整数 m、n が存在しないことを説明しなさい。 4 図のように、AB＝6、BC＝CA＝5 の△ABC がある。辺 AB 上の点 P から辺 CA に平行な直線をひき、辺 BC との交点を Q とする。次に、点 Q から辺 CA に垂直な直線をひき、辺 CA との交点を R とする。ただし、点 P は点 A、 B とは異なる点とする。このとき、次の各問いに答えな Q さい。（1）AP＝2 のとき、PQ、QR の長さをそれぞれ求めなさい。（2）△PQR の面積が 3 となるとき、AP の長さを求めなさい。 C R （3）3 点 P、Q、R を通る円が辺 AB に接するとき、AP の長さを求めなさい。 B P A 5 1 辺の長さが 1 の正三角形 14 個で囲まれた、へこみのない多面体をつくる。この多面体は、正三角柱の各側面に正四角錐をそれぞれ 1 個ずつはり合わせたものと考えることができる。また、この多面体の展開図は図 1 であり、図のように点 A、B、C、D、E をおく。このとき、次の各問いに答えなさい。（1）この多面体の頂点の数を求めなさい. （2）この多面体において、2 点 A、B 間の距離を求めなさい。（3）図 2 において、2 平面 P、Q は直線 XY で垂直に交わっている。この多面体を、直線 XY と辺 CD が平行となるように、 △CDE を下にして平面 Q におく。平行光線を平面 P に垂直にあてたとき、この多面体の影がつくる図形の面積を求めなさい。ただし、この多面体は平面 P から離れた位置にあるとする。