Miniquiz: Vektorräume, Lineare Gleichungssysteme
1. Sei K ein Körper und V ein beliebiger K-Vektorraum. Welche der folgenden Aussagen
sind wahr?
2 V hat mindestens zwei voneinander verschiedene Untervektorräume.
Falsch. Als Gegenbeispiel können wir u.a. den R-Vektorraum V = {(0, 0)> }
betrachten. Dieser besitzt genau einen Untervektorraum, nämlich U = V .
2 Es gilt: 0K · v = 0K für alle v ∈ V .
Falsch. Die Gleichung muss 0K · v = 0V lauten. Die skalare Multiplikation eines
Körperelements mit einem Vektor erzeugt stets ein Element des Vektorraums.
2 Sind U1 , U2 ⊆ V Untervektorräume von V mit dim(U1 ) = dim(U2 ), dann gilt
U1 = U2 .
Falsch. Wir können zum Beispiel zwei voneinander verschiedene Ursprungsgeraden in R2 betrachten. Diese erfüllen dim(U1 ) = dim(U2 ) (beide haben Dimension
1), sind jedoch nicht identisch.
2 Eine Teilmenge U ⊆ V , die abgeschlossen bezüglich der Addition und Skalarmultiplikation ist und einen Vektor v aus V enthält, ist ein Untervektorraum
von V .
Richtig. Zum Nachweis der Unterraumeigenschaft fehlt uns nur die Bedingung
0V ∈ U . Das folgt aber aus der Abgeschlossenheit bezüglich skalarer Multiplikation, denn für den gegebenen Vektor v ∈ U gilt 0K · v = 0V , und damit ist auch
0V ∈ U .
2. Wir betrachten den Vektorraum V = R3 . Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
2 Die Menge M = {0V } ist linear abhängig.
Richtig. Eine Menge M = {v1 } ist nach Definition linear abhängig, wenn das
Gleichungssystem c1 · v1 = 0V (mit c1 ∈ R) nicht nur die Nulllösung besitzt. Im
vorliegenden Fall kann offenbar jede beliebige reelle Zahl c1 als Lösung gewählt
werden. Das Gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen und somit ist
der Nullvektor linear abhängig.
2 Drei Vektoren v1 , v2 , v3 ∈ R3 sind linear unabhängig, wenn das Gleichungssystem
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0V
(c1 , c2 , c3 ∈ R)
die Lösung c1 = c2 = c3 = 0 besitzt.
Falsch. Das angegebene Gleichungssystem besitzt immer die Nulllösung. Wichtig ist, dass dies die einzige Lösung dieses Gleichungssystems ist.
2 Jedes minimale Erzeugendensystem von V ist linear unabhängig.
Richtig. Ein minimales Erzeugendensystem von V ist stets eine Basis von V
(und umgekehrt). Andererseits kann eine Basis auch als maximale linear unabhängige Teilmenge von V charakterisiert werden. Insbesondere ist damit jedes
minimale Erzeugendensystem linear unabhängig.
2 Jeder Untervektorraum von V ist entweder eine Ursprungsgerade oder eine Ebene, die den Ursprung enthält.
Falsch. Auch der ganze Raum V = R3 und die Menge {0V } sind Untervektorräume von R3 , obwohl sie offenbar keine Geraden oder Ebenen darstellen.
3. Gegeben sei eine Matrix A ∈ Rm×n und ein Vektor b ∈ Rm mit b 6= (0, . . . , 0)> .
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
2 Die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems Ax = b ist ein Untervektorraum von Rn .
Falsch. Die Lösungsmenge von Ax = b ist z.B. nicht abgeschlossen bezüglich der
Addition, denn: Sind x1 , x2 zwei Lösungen von Ax = b, so gilt für deren Summe
A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 = b + b = 2b, also ist x1 + x2 keine Lösung von Ax = b.
2 Der Kern von A kann aus genau drei Elementen bestehen.
Falsch. Der Kern einer Matrix A ∈ Rm×n ist stets ein reeller Untervektorraum.
Entweder ist dim(Ker(A)) = 0 und folglich Ker(A) = {0V } (d.h. einelementig)
oder dim(Ker(A)) ≥ 1, sodass Ker(A) unendlich viele Elemente besitzt. (Achtung: Für Matrizen über endlichen Körpern ist die Aussage wahr.)
2 Das inhomogene System Ax = b ist genau dann lösbar, wenn das homogene
System Ax = 0 lösbar ist.
Falsch. Das homogene System ist immer lösbar (der Nullvektor ist stets eine
Lösung), das inhomogene System kann jedoch nicht lösbar sein. Ein einfaches
Gegenbeispiel für die gegebene Aussage liefert die Nullmatrix.
2 Ist x1 eine Lösung des homogenen Systems und x2 eine Lösung des inhomogenen
Systems, dann ist x2 − x1 eine Lösung des inhomogenen Systems.
Richtig. Es gelten Ax1 = 0 und Ax2 = b. Damit folgt A(x2 − x1 ) = Ax2 − Ax1 =
b − 0 = b, d.h. x2 − x1 ist eine Lösung von Ax = b.
4. Es sei B ∈ Rm×n eine Matrix. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
2 Es gilt: Ker(B) = n − rg(B).
Falsch. Die Gleichung kann schon aus dem Grund nicht stimmen, dass links
eine Menge und rechts eine Zahl steht. Die Dimensionsformel lautet korrekt:
dim(Ker(B)) = n − rg(B).
2 Col(B) ist ein Untervektorraum von Rn .
Falsch. Es stimmt zwar, dass Col(B) ein Untervektorraum ist, jedoch nicht von
Rn , sondern von Rm .
2 Es sei m = n, dann gilt: Wenn B invertierbar ist, gilt Ker(B) = Ker(B −1 ).
Richtig. Wenn B invertierbar ist, gilt Ker(B) = {0}. Andererseits ist dann auch
2
−1
B −1 invertierbar, denn (B −1 ) = B, d.h. auch Ker(B −1 ) = {0} ist erfüllt.
Damit sind also beide Kerne gleich.
2 Es gilt: rg(B) ≤ min{m, n}.
Richtig. Es gilt bekanntlich
rg(B) = dim(Col(B)) = dim(Row(B)).
Die Dimension des Zeilenraums kann jedoch höchstens der Anzahl der Zeilen (also m) entsprechen, die Dimension des Spaltenraums kann höchstens der Anzahl
der Spalten (also n) entsprechen. Es gilt also wegen der obigen Gleichung einerseits rg(B) = dim(Col(B)) ≤ n und andererseits rg(B) = dim(Row(B)) ≤ m.
Das liefert insgesamt rg(B) ≤ min{m, n}, also die Behauptung.
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