Übungsblatt 2– Lösungen

Vorlesung Geometrie
http://www.math.uni-leipzig.de/~grosse/teaching
Dr. Nadine Große
WS 14/15
Übungsblatt 2– Lösungen
Aufgabe 5. Sei A ein affiner Raum. Seien g, h parallele affine Geraden in A mit g 6= h. Seien P1 , P2 , P3 ∈ g
und Q1 , Q2 , Q3 ∈ h paarweise verschiedene Punkte. Zeigen Sie:
i) Ist gP1 Q2 parallel zu gQ1 P2 , dann ist P1 P2 Q1 Q2 ein Parallelogramm.
ii) Ist gP1 Q2 parallel zu gQ1 P2 und gP2 Q3 parallel zu gQ2 P3 , dann ist auch gP1 Q3 parallel zu gQ1 P3 .
iii) Stimmen die obigen Aussagen auch noch, wenn die Punkte P1 , P2 , P3 bzw. Q1 , Q2 , Q3 nicht mehr
notwendigerweise verschieden sein müssen? Begründen Sie.
Lösung 5. (= kleiner Satz von Pappos-Pascal – im Skript Kap.1 Satz 7.8)
−−−→
−−−→
i) Da g 6= h ist, sind v := P1 P2 und w := Q2 P1 linear unabängig. Wegen der Paralleliltät der verschiedenen
−−−→
−−−→
−−−→
Geradenpaare, gibt es α, β ∈ K mit Q2 Q1 = αv und Q1 P2 = βw. Damit haben wir αv + βw = Q2 P2 =
−−−→
−−−→
v + w. Da v und w linear unabhängig sind, ist α = 1 und β = 1. Also ist P1 P2 = Q2 Q1 und damit
P1 P2 Q1 Q2 ein Parallelogramm.
−−−→
ii) Wegen i) sind die Vierecke P1 P2 Q1 Q2 und P2 P3 Q2 Q3 beides Parallelogramme und damit ist P1 P2 =
−−−→
−−−→ −−−→
−−−→ −−−→
Q2 Q1 und P2 P3 = Q3 Q2 . In der Summe ist also P1 P3 = Q3 Q1 und gP1 Q3 ist parallel zu gQ1 P3 .
−−→ −−→
iii) Ja, denn das entartete Viereck P P QQ ist immer ein Parallelogramm, denn P P = QQ.
Aufgabe 6. In einem vierdimensionalen affinen Raum seien zwei affine Unterräume E und H mit dim E =
2 und dim H = 3 gegeben. Welche gegenseitige Lage können E und H zueinander einnehmen? Sind E
und H notwendigerweise parallel falls E ∩ H = ∅? Welche Dimensionen können die Räume E + H und
E ∩ H (falls nichtleer) annehmen, welche nicht? Begründen Sie.
Lösung 6. Seien UE bzw UH die Richtungen von E und H. Dann ist UE ∩UH wieder ein Untervektorraum
von V (Der Richtung von A) mit 1 ≤ dim UE ∩ UH ≤ 2. Wir machen eine Fallunterscheidung:
1. Sei dim UE ∩ UH = 2. Dann ist UE ⊂ UH . Damit sind E und H parallel und entweder ist E ∩ H = ∅
oder E ∩ H = E.
2. Sei dim(U := UE ∩ UH ) = 1. Falls es ein P ∈ E ∩ H gibt, so ist E ∩ H = P + U eine affine Gerade.
Wir zeigen jetzt, dass es ein solches P immer geben muss. Sei E = Q + UE und H = R + UE . Sei u1 ∈ U .
Sei UE von u1 , u2 und UEP
von u1 , u3 , u4 aufgespannt. Dann spannen u1 , u2 , u3 , u4 den gesamten affinen
Raum auf. D.h. R = Q + λi ui . Dann ist P := Q + λ1 u1 + λ2 u2 ∈ E und R − λ3 u3 − λ4 u4 = P ∈ H.
(Das E ∩ H 6= ∅ ist, kann man hier auch direkt mit dem Dimensionsatz argumentieren.)
Diese Fallunterscheidung zeigt, dass aus E ∩ H = ∅ folgt, dass E und H parallel sind. In diesem Fall ist
gilt nach dem Dimensionsatz dim(E + H) = dim E + dim H − dim UE ∩ UH + 1 = 4. Sei nun E ∩ H 6= ∅.
Dann folgt mit obigen Betrachtungen:
1. Fall: E ⊂ H. Dann ist E + H = H dreidimensional und E ∩ H = E zweidimensional.
2. Fall: E ∩ H ist affine Gerade, also eindimensional. Dann ist nach Dimensionsatz dim(E + H) =
dim E + dim H − dim(E ∩ H) = 4.
Aufgabe 7.
a) Sei der affine Raum R3 gegeben zusammen mit dem Standardkoordinatensystem.
Bzgl. dieses Koordinatensystems definieren wir
 
 
 
 
1
1 
1
 1
und w = 0 .
L := 0 + r 1 + s 1


0
0
0
1
Zeigen Sie, dass sich V (= Richtung von R3 ) als direkte Summe von U (= Richtung von L) und
W = wR zerlegen lässt. Sei ψ : R3 → R3 die Parallelprojektion auf L längs W . Bestimmen Sie
die Koordinatendarstellung von ψ bzgl des affinen Koordinatensystems

       
1
1
1
1
(P = 0 , 0 , 1 , 1
0
0
0
1
und bzgl des Standardkoordinatensystems.
b) Sei Kn [x] der Vektorraum der Polynome in x mit Koeffizienten in K und Grad kleiner gleich n.
Sei x0 , c ∈ K. Setze
L = {p ∈ Kn [x] | p(x0 ) = c}.
Zeigen Sie, dass L ein affiner Unterraum von Kn+3 [x] ist. Welche Dimension hat L? Sei W1 =
span{(x − x0 )i | i ∈ {n + 1, n + 2, n + 3}} und W2 = span{(x − x0 )n+1 + (x − x0 ), (x − x0 )n+2 , (x −
x0 )n+3 }. Bestimmen Sie jeweils das Bild der Punkte x − x0 + c bzw (x − x0 )2 + (x − x0 )n+1 + c
unter Parallelprojektion auf L längs Wi für i = 1, 2.
Lösung 7. Für a) siehe Skript Kap.1 Beispiel 6.5.
b) Es ist L = c + (x − x0 )Kn−1 [x] und damit ist L affiner Unterraum der Dimension n (da Km [x]
immer ein m + 1 dimensionaler Vektorraum ist - eine Basis ist gegeben durch 1, x, . . . , xm ). Es ist
Kn+3 [x] = Kn [x] ⊕ W1 = Kn [x] ⊕ W2 . Die Parallelprojektion von x − x0 + c auf L bzgl Wi ist für beide i
einfach wieder x−x0 +c, da x−x0 +c schon in L liegt. Die Parallelprojektion von (x−x0 )2 +(x−x0 )n+1 +c
auf L bzgl Wi erhalten wir, indem wir (x − x0 )2 + (x − x0 )n+1 bzgl der direkten Summen zerlegen:
Für n ≥ 2 ergibt sich: (x − x0 )2 + (x − x0 )n+1 = −(x − x0 ) + (x − x0 )2 + (x − x0 )n+1 + (x − x0 ) =
{z
} |
{z
}
|
∈Kn [x]
∈W2
(x − x0 )2 + (x − x0 )n+1 . Also ist die Parallelprojektion: (x − x0 )2 + (x − x0 )n+1 + c 7→ (x − x0 )2 + c für
| {z } |
{z
}
∈Kn [x]
∈W1
i = 1 und (x − x0 )2 + (x − x0 )n+1 + c 7→ (x − x0 )2 − (x − x0 ) + c für i = 2.
Sei nun n = 1: Dann ist x − x0 + c ∈ L und damit auch wieder das Bild unter beiden Parallelprojektionen.
Weiterhin ist (x − x0 )2 + (x − x0 )n+1 + c = 2(x − x0 )2 + c = 2((x − x0 )2 + (x − x0 )) − 2(x − x0 ) und
damit ist die Parallelprojektion von (x − x0 )2 + (x − x0 )n+1 + c auf L entlang W2 gleich −2(x − x0 ) + c
und entlang W1 gleich c.
Sei nun n = 1: Dann ist L = {c} und da die Projektion eines jeden Elementes entlang egal welchen W ’s
wieder in L liegen muss, ist das Bild immer gleich c.
Aufgabe 8. Sei P QR ein nichtentartetes Dreieck im affinen Raum A. Sei P 0 ∈ gQR \ {Q, R}, Q0 ∈
gP R \ {P, R} und R0 ∈ gP Q \ {P, Q}. Dann gilt
(1)
T V (Q, R; P 0 )T V (R, P ; Q0 )T V (P, Q; R0 )
= −1
T V (R, Q; P 0 )T V (P, R; Q0 )T V (Q, P ; R0 )
genau dann wenn P 0 , Q0 , R0 auf einer Geraden liegen. (Tipp: Berechnen Sie den Schnittpunkt (sofern
existent) der Geraden gP R und gR0 P 0 und vergleichen Sie ihn und die von ihm gebildeten Teilverhältnisse
mit Q0 .)
Lösung 8. Satz von Menelaos - Skript Kap. 1 Satz 7.5

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