Blatt 7

Lineare Algebra II
14.04.2015
Übungsblatt 7
Abgabe:
Am 21. April 2015 in der Vorlesung oder bis 12.00 Uhr im Departement Mathematik
und Informatik.
Aufgabe 1.
Finden Sie alle möglichen Jordan-Normalformen für
(a) eine
5 × 5-Matrix A
mit
A2 = 0;
(b) eine
5 × 5-Matrix A
mit
A3 = 0
(c) eine
5 × 5-Matrix A
mit charakteristischem Polynom
und
dim(Ker(A)) = 3;
PA = −(t − 2)2 (t − 3)3 ;
6 × 6-Matrix A mit Minimalpolynom MA = (t − 2)(t − 1)2
Polynom PA = (t − 2)2 (t − 1)4 .
(d) eine
Aufgabe 2.
und charakteristischem
Bestimmen Sie die Jordan-Normalform der folgenden Matrizen.


2 −3 −3
A = 0 1 −1 ,
0 1
3


3 0 −2
B = −2 0 1  .
2 1 0

S Aufgabe
3.
Wir betrachten die Matrix
(a) Zeigen Sie, dass
A

1 −2 0 −1 2
1 −3 −1 0
3



1 −1 −3
A = 0 2
.
1 0
0 −1 −2
0 −1 0
0
2
nilpotent ist.
(b) Bestimmen Sie die Jordan-Normalform von
Aufgabe 4.
Wir bezeichnen mit
PA
A.
das charakteristische Polynom einer Matrix
A und mit MA
ihres Minimalpolynom.
(a) Zeigen Sie, dass zwei Matrizen
und
MA = MB
A, B ∈ M(3 × 3; C)
genau dann ähnlich sind, wenn
PA = PB
gelten.
(b) Finden Sie ein Gegenbeispiel in M(n × n, C) für
n ≥ 4.
n, so dass es zwei Matrizen A, B ∈ M(n × n; C) gibt, die
PA = PB , MA = MB und dim(Eig(A, λ)) = dim(Eig(B, λ)) für alle
[Zusätzliche Frage: Was ist die kleinste
nicht ähnlich sind, obwohl
λ∈C
gelten?]
S Aufgabe
f 3 = idR3 .
5.
Sei
f
R3 der Ordnung 3,
eine Basis B von R3 gibt, so dass


1
0
0
√
MB (f ) = 0 −1/2 − 3/2 .
√
0
3/2 −1/2
ein Endomorphismus von
Zeigen Sie, dass es
d.h.
f 6=
idR3
∈
End(R3 ) mit
Lineare Algebra II
E Aufgabe
(a) Sei
14.04.2015
6.
J = Jd (λ)
ein Jordan-Block. Zeigen Sie, dass
(b) Zeigen Sie, dass jede komplexe Matrix
J
ähnlich zu ihrer Transponierten t J ist.
A ∈ M(n × n, C)
ähnlich zu ihrer Transponierten t A
ist.
(c) Zeigen Sie, dass jede reelle Matrix
A ∈ M(n × n, R)
ähnlich zu ihrer Transponierten t A ist.

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