Lineare Algebra I
-
12.Vorlesung -
Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Falko Gauß
4.4. Lineare Abbildungen
Abbildungen, zwischen Vektorräumen, die mit
der Vektorraum-Struktur kompatibel sind …
f :V
! W ist linear
V, W : K
für alle v, w 2 V
f (v + w) = f (v) + f (w)
f (k · v) = k · f (v)
Vektorräume
für alle v 2 V, k 2 K
Zum Beispiel:
Bilder und Urbilder von Untervektorräumen
unter f sind Untervektorräume!
im(f ) := f (V )
ker(f ) := f
1
Bild von f
({0}) Kern von f
f surjektiv , im(f ) = W
f injektiv , ker(f ) = {0}
4.4. Lineare Abbildungen
f gilt 0 = f (x1 ) f (x2 ) = f (x1
x1 = x2 . Also ist f injektiv.
x2 ). Also x1
x2 2 ker(f ). Also x1
x2 = 0, und damit
atz:dimkb}
Satz 4.43. Sei f : V ! W lineare Abbildung, und V endlich-dimensional. Dann ist auch
im(f ) = f (V ) endlich-dimensional und es gilt
4 Vektorräume
37
dim(V ) = dim(ker(f )) + dim(im(f )) .
Insbesonder
ist f Eine
genau
dann Abbildung
injektiv, wenn
) =zwischen
dim(im(fendlich-dimensionalen
)).
Korollar
4.44.
lineare
f : dim(V
V !W
VekäumenSeien
ist genau
einvon
Isomorphismus
wenn
dim(V
= dim(W
und fSatz
ein 4.26
Epimor4torr
Vektorr
äume
37
Beweis.
B einedann
Basis
V und B 0 eine
Basis
von )ker(f
) ✓ V .),Nach
und
phismus
ist.hinzufügen von |B| |B 0 | = dim(V ) dim(ker(f )) =: d
Korollar oder
4.29 Monomorphismus
kann man B 0 durch
ElementenSeizudim(V
einer )Basis
von )V=:erg
änzen.
Sei S die Menge so
dieser
ddim(ker(f
Elemente.
Aus
der
Beweis.
=
dim(W
d.
Ist
f
Monomorphismus,
gilt
))
=
0,
und
Korollar
4.44.
Eine
lineare
Abbildung
f : Vim(f
!)W
zwischen
endlich-dimensionalen
VekBehauptung,
dass
f
(S)
gerade
eine
Basis
von
ist
folgt
der
Satz.
Im
folgenden
wird
die
damit
nach
Satz
4.43
dim(im(f
))
=
d.
Nach
Proposition
4.31
folgt
im(f
)
=
W
,
und
daher
0
torr
äumen istgezeigt.
genau dann
ein Isomorphismus
wenn dim(V ) = dim(W ), und f ein EpimorBehauptung
Sei
dazu
B
=
{x
1 , . . . , xn d }, S = {xn d+1 , . . . , xn }. Als erstes wird
ist f auch
surjektiv.
Ist f Epimorphismus
so ist dim(im(f )) = d, und daher nach Satz 4.43
phismus
oder
Monomorphismus
ist.
gezeigt,
dass
f
(S)
das
Bild
im(f
)
erzeugt:
Sei w 2 im(f ). Dann gibt es ki 2 K, so dass
dimPker(f
)
=
0.
Also
ist
f
nach
Proposition
4.42 auch injektiv. für
In lineare
beidenAbbildungen
Fällen istzwischen
f alsoVR
n
f ( i=1 ki xi ) = w. Da aber x1 , . . . , xn d 2 ker(f ) folgt
Dimension
<∞
gilt:
Isomorphismus.
Beweis.
Sei dim(V ) = dim(W ) =: d. Ist f Monomorphismus, so der
giltgleichen
dim(ker(f
)) = 0,
und
!)) =dann
oder
bijektiv
Sei umgekehrt
f ein
Isomorphismus,
ist nach
Proposition
4.42
)=
WW
und
ker(f
)=
n
n Nach
n
damit
nach Satz
4.43
dim(im(f
d.
Proposition
4.31injektiv
folgtim(f
im(f
) surjektiv
=
, und
daher
X
X
X
{0}.f Nach
Satzw4.43
).dim(im(f
ist
auch surjektiv.
Ist ferner
f Epimorphismus
Satz
4.43
= f ist
ki xidim(V
= ) =kidim(W
fso
(xiist
)=
(x
) 2und
L(fdaher
(S)) . nach ist.
i f=
Gilt nichtk))
falls
V id,
unendlich-dimensional
[Übungsaufgabe]
i=1
dim ker(f ) = 0. Also isti=1f nach Proposition
4.42 i=n
auchd+1
injektiv. In beiden Fällen ist f also
Isomorphismus.
Als umgekehrt
n
ächstes4.45.
wird
gezeigt,
(S)
linear
unabh
ängig ist.
Sei kim(f
,=. .W
. , kund
K und
Definition
Sei
f : Vdass
! fW
eine
lineare
Abbildung,
und
Vn endlich-dimensionaler
d+1
n 2ker(f
P
P
P
Sei
f
ein
Isomorphismus,
dann
ist
nach
Proposition
4.42
)
)=
n
n
n
0 = Nach
ki4.43
f (xnennt
k=i xdim(W
ist alsovon i=n
ker(fvon
). Nun
ist
Vektorraum,
die d+1
Dimension
des
Bildes
f auch
Rang
f und
i ) = fman i=n
i . Dann
i xi 2
i=n Satz
d+1dann
d+1 kden
{0}.
ist
ferner
dim(V
)
).
aber B 0 = {x1 , . . . , xn d } eine Basis von ker(f ). Also gibt es k1 , . . . , kn d 2 K mit
schreibt
rang(f ) := dim(im(f )) .
n
n d
n
X
X
X
Definition 4.45. Sei f : V ! W eine lineare Abbildung, und V endlich-dimensionaler
ki xi = K Vektorr
ki x i ,
ki xi genau
= 0 . dann isomorph wenn
Satz
4.46.
Zwei
endlich-dimensionale
äume
sind
Vektorraum, dann nennt
man die Dimension
des Bildes
von f auch den Rang von f und
i=1
i=1
i=n d+1
ihre Dimensionen übereinstimmen. Insbesondere sind für n 2 N0 alle K-Vektorräume der
schreibt
n
Dimension
n
isomorph
zu
K
. Basis
Da aber B = {x1 , . . . , xn } eine
von) :=
V ist,
also insbesondere
linear unabhängig, folgt
rang(f
dim(im(f
)) .
ki = 0 fürSei
alleV 1ein
in-dimensionaler
n, damit aberK-Vektorraum.
insbesondere auch
füreine
n Basis
d +4.4.
1 {v
Lineare
i, .. . n.
Damit
ist
Abbildungen
Beweis.
W
ähle
,
v
}
von
V,
1
n
Satz 4.46. Zwei endlich-dimensionale K Vektorräume sind genau dann isomorph wenn
Sei umgekehrt f ein Isomorphismus, dann ist nach Proposition 4.42 im(f ) = W und ker(f ) =
{0}. Nach Satz 4.43 ist ferner dim(V ) = dim(W ).
Definition 4.45. Sei f : V ! W eine lineare Abbildung, und V endlich-dimensionaler
Vektorraum, dann nennt man die Dimension des Bildes von f auch den Rang von f und
schreibt
rang(f ) := dim(im(f )) .
Satz 4.46. Zwei endlich-dimensionale K Vektorräume sind genau dann isomorph wenn
ihre Dimensionen übereinstimmen. Insbesondere sind für n 2 N0 alle K-Vektorräume der
Dimension n isomorph zu K n .
Beweis. Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Wähleendlich-dim.
eine Basis VR
{v1sind
, . . . ,eindeutig
vn } von V ,
und definiere die lineare Abbildung
durch ihre Dimension charakterisiert
iB : K n
! V.
n
X
(k1 , . . . , kn ) 7 !
ki v i
i=1
Dann ist ker(iB ) = {0} und dim(V ) = dim(K n ). Korollar 4.44 impliziert daher, dass iB ein
Isomorphismus ist. Ist dim(V ) 6= dim(W ) so folgt aus Korollar 4.44, dass es keinen Isomorphismus zwischen V und W gibt.
4.5
Der Dualraum
Wie wir in Proposition 4.37 gesehen haben bilden die Mengen von linearen Abbildungen zwischen zwei K-Vektorräumen wieder einen K-Vektorraum. Dies gilt insbesondere für lineare
Abbildungen zwischen einem K-Vektorraum und K.
4.4. Lineare Abbildungen
iB : K n
Wir hatten gesehen:
! V.
n
X
Dualraum
(k1 , .4.5.
. . , knDer
) 7 !
ki v i
i=1
Lineare Abbildungen
bilden Vektorraum:
n
Dann ist ker(iB ) = {0} und dim(V ) = dim(K ). Korollar 4.44 impliziert daher, dass iB ein
Isomorphismus ist. Ist dim(V ) 6= dim(W ) so folgt aus Korollar 4.44, dass es keinen IsomorHom(V,
W ) V:=und
{f W
: Vgibt.
! W linear}
V, W : K Vektorräume
phismus
zwischen
dim (Hom(V, W )) = dim(V ) dim(W )
4.5
Der Dualraum
Wie wir in Proposition 4.37 gesehen haben bilden die Mengen von linearen Abbildungen zwischen zwei K-Vektorräumen wieder einen K-Vektorraum. Dies gilt insbesondere für lineare
Abbildungen
zwischen einem K-Vektorraum und K.
Spezialfall: Dualraum
Definition 4.47. Sei V ein K-Vektorraum. Dann definieren wir den K-Vektorraum der
linearen Funktionale auf V
V ⇤ := Hom(V, K) .
dim(V ⇤ ) = dim(V )
V ⇤ wird auch der Dualraum von V genannt.
4.5. Der Dualraum
( V (v))(') = '(v) , für ' 2 V ⇤
'1 , . . . , 'n 2 V ⇤ , gegeben durch
⇢
⇤⇤
ein Isomorphismus. V und V sind also kanonsich1,isomorph.
i=j
'i (vj ) = i,j :=
0, i 6=⇤ j⇤
⇤ ⇤
Beweis. Die Abbildung Zugabe:
ist
eine
Einsetzungsabbildung,
V
(V ) und (f ) also linear (vgl. Beispiel 4.34).
⇤
⇤⇤
⇤
Desweiteren
giltVdim(V
) = Sie
dim(V
= dim(V
). DieBasis
Abbildung
Korollar 4.44
V ist
eine Basis von
bilden.
wird) die
zu B duale
genannt.
(Innach
der Notation
von
also
ein Isomorphismus
dann, wenn sie injektiv ist. Seien v, w 2 V mit V (v)
= V (w),
Proposition
4.39: 'i = fgenau
wurde.)
i1 , wobei hier als Basis von K gerade {w1 = 1} gewählt
also V (v)
w) = 0. Daraus folgt, dass '(v w) = 0 für alle ' 2 V ⇤ . Falls
V (w) = V (v
Bemerkung
4.48.
Sei es
V ein
endlich-dimensionaler
K-Vektorraum.
Betrachte
denauf
Dualraum
aber
v
w
=
6
0,
so
gibt
lineares
Funktional
',
das
alle
k(v
w),
k
2
K,
k abbil⇤⇤
⇤ ⇤
⇤⇤
V und
:= (Valle) anderen
des Dualraums
Dann
ist die
Abbildung
! Vist definiert
durch
V : VDamit
det,
Vektorenvon
in VV .auf
0. Also
muss
v = w gelten.
V injektiv.
( V (v))(') = '(v) , für ' 2 V ⇤
Definition
4.49. Sei
: V V ⇤⇤!sind
W eine
Abbildung
zwischen zwei K-Vektorräumen
ein Isomorphismus.
V fund
also lineare
kanonsich
isomorph.
V und W . Die zu f duale Abbildung f ⇤ : W ⇤ ! V ⇤ ist definiert durch
Beweis. Die Abbildung V ist eine Einsetzungsabbildung, also linear (vgl. Beispiel 4.34).
f
⇤
⇤⇤ ⇤
/ W V. ist nach Korollar 4.44
Desweiteren gilt dim(Vf)⇤ (')
= dim(V
) ,=für
dim(V
). ,Die Abbildung
⇤⇤
=
'
f
'
2
W
V
V und V haben die gleiche Dimension,
sind also auf jeden Fall isomorph!
also ein Isomorphismus genau dann, wenn sie injektiv ist. Seien v, w
2
V mit V (v) = V (w),
'
⇤
' fspeziellen
Kanonisch
dass es
einen
gibt.
also V (v)
w) = 0.bedeutet,
Daraus folgt,
dass
'(v
w)✏ = 0 fnatürlichen
ür alle ' 2 VIsomorphismus
. Falls
V (w) = V (v
aber v w 6= 0, so gibt es ein lineares Funktional ', das alle k(vK w), k 2 K, auf k abbildet,ist
und
alle anderen
Vektoren
in V auf 0.
Also
v = w⇤ ,gelten.
Sie
ebenfalls
eine lineare
Abbildung,
d.h.
f ⇤muss
2 Hom(W
V ⇤ ). Damit ist V injektiv.
Bemerkung 4.50. Sei f 2 Hom(V, W ). Dann entspricht das duale der dualen Abbildung
⇤⇤
4.49.öge
Seides
f :Isomorphismus
V ! W eine lineare
Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen
fDefinition
:= (f ⇤ )⇤ verm
V gerade der ursprünglichen Abbildung f , genauer
V und W . Die zu f duale Abbildung f ⇤ : W ⇤ ! V ⇤ ist definiert durch
⇤⇤
⇤⇤
⇤⇤ f
/ W ⇤⇤ .
f
f,
VO
V = W
fO
/W .
f ⇤ (') = ' f , für ' 2 W ⇤ ,
V
V
V
W
f
'/ W
f
'
✏
K
⇤
Beweis.
Sei
dazu
v
2
V
und
'
2
W
. Dann
⇤
Sie ist ebenfalls eine lineare Abbildung,
d.h. fgilt
2 Hom(W ⇤ , V ⇤ ).
⇤⇤
⇤
⇤
(f
(v))(')
=
(v)(f
('))
=
f
= '(f
(v)) = das
(v))(')
( W fAbbildung
(v))(') .
V
V
W (fduale
Bemerkung 4.50. Sei f 2 Hom(V, W(')(v)
). Dann
entspricht
der= dualen
f ⇤⇤ := (f ⇤ )⇤ vermöge des Isomorphismus V gerade der ursprünglichen Abbildung f , genauer
4.5. Der Dualraum
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