Blatt 11 LA

Prof. Dr. Cornelia Pokalyuk
Nadja Malevich, Fritjof Freise
Wintersemester 2015/16
Übungsaufgaben zur Vorlesung
“Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik”
Blatt 11 – Lehramt
Abgabe am 13.01.2016, zum Vorlesungsbeginn
Besprechung am 21.01.2016
Aufgabe 49
(4 Punkte)
Gegeben sei X = (X1 , X2 , X3 ) mit drei stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen
X1 ∼ Nµ,1 , X2 ∼ Nµ,4 und X3 ∼ Nµ,9 , wobei der Parameter µ ∈ R unbekannt ist.
Das zugehörige statistische Modell ist
R3 , B(R3 ), Pµ3 µ∈R ,
wobei Pµ3 die Dichte f (x) =
Schätzer für µ:
√1
e−
6( 2π)3
µ
b1 (x) = (3x1 + 2x2 + x3 )/6;
P3
i=1
(xi −µ)2
2i2
, x ∈ R3 , hat. Betrachten Sie folgende
µ
b3 (x) = 3x1 − 2x2 ,
µ
b2 (x) = (x1 + x2 + x3 )/3;
wobei x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 . Sortieren Sie µ
b1 , µ
b2 und µ
b3 nach ihrem MSE.
Aufgabe 50 (5 Punkte)
Gegeben sei das statistische Modell
{0, 1, . . . , n}, 2{0,1,...,n} , Bi(n, p)
p∈[0,1]
.
Wir betrachten die Menge ∆ aller affin-linearen Schätzer für p, d.h. aller (reellwertigen)
Schätzer der Form Tbna,b (x) = ax + b ∀ x ∈ {0, 1, . . . , n} mit reellen Konstanten a und b.
(a) Leiten Sie eine Formel für M SE p (Tbna,b ) her.
(b) Bestimmen Sie die Paare a, b für die Tbna,b eine konstante, d.h. von p unabhängige,
MSE-Funktion hat.
Aufgabe 51 (5 Punkte)
Die Zufallsvariablen X1 , ..., Xn seien unabhängig gleichverteilt auf {1, ..., N }, wobei der
Parameter N ∈ N unbekannt ist. Das zugehörige statistische Modell ist also
n
{1, ..., N }n , 2{1,...,N } , PNn N ∈N ,
1
wobei PNn die Zähldichte p(x) = (1/N )n , x = (x1 , ..., xn ) ∈ {1, ..., N }n , hat. Betrachten
Sie den folgenden Schätzer für N :
!
n
X
1
xi − 1.
Tbn (x1 , ..., xn ) = 2
n i=1
(a) Berechnen Sie M SE N (Tbn ).
(b) Ist der Schätzer Tbn ein konsistenter Schätzer für N ?
Aufgabe 52 (keine Abgabe)
Die Zufallsvariablen X1 , ..., Xn seien unabhängig und identisch verteilt mit der Dichte
fi (y) = 0.5(1 + θ y)1(−1,1) (y), y ∈ R, i = 1, ..., n, wobei der Parameter θ ∈ (−1, 1)
unbekannt sei. Das zugehörige statistische Modell ist also
(Rn , B(Rn ), Pθn )θ∈(−1,1) ,
wobei Pθn die Dichte
 n

 Y 0.5(1 + θ x ),
i
f (x) =
i=1


0,
falls
x ∈ (−1, 1)n ,
x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn ,
sonst,
hat. Konstruieren Sie einen erwartungstreuen und konsistenten Schätzer für θ.
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