Blatt 14 - Fakultät für Mathematik

Sommersemester 2016
TU Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. J. Woerner
Dipl.-Wirt.Math. D. Kobe
M. Sc. V. Schulmann
Stochastik I
Blatt 14
Aufgabe 1
In der Zukunft kann niemand kochen und Menschen müssen nur einmal täglich
essen. Dafür können sie zwischen drei Restaurant-Superketten A, B, C auswählen,
wo sie von Robotern bedient werden. Es sollen die folgenden Annahmen gelten:
Die Besucher von A verteilen sich beim nächsten Mal auf die Restaurants A, B und
C im Verhältnis 2:2:1. Von den B-Besuchern wechseln am nächsten Tag je 15% zu
A und C. 60% der Kunden von C wählen dieses Restaurant auch das nächste mal,
der Rest geht zu B.
a) Stellen Sie das Wechselverhalten in einer Übergangsmatrix und einem Übergangsgraphen dar.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht ein Kunde am Sonntag ins Restaurant
B, wenn er am Monntag im A, am Dienstag in A, am Mittwoch im A, am
Donnerstag im C, am Freitag im A, am Samstag im A war?
Aufgabe 2
Sei Y0 , Y1 , Y2 , ... eine Bernoulli-verteilte Folge und Xn = 2Yn + Yn+1 . Zeigen Sie,
dass (Xn )n∈N eine Markov-Kette ist und bestimmen Sie die Übergangswahrscheinlichkeiten.
Aufgabe 3
Bestimmen Sie den ML-Schätzer für den Parameter:
a) p ∈ [0, 1] durch Beobachtung einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen
mit Zähldichte
fp (k) = p(1 − p)k−1 (k ∈ N).
b) µ ∈ R durch Beobachtung einer R- wertigen Zufallsvariablen mit Dichte
fµ (x) =
1 −|x−µ|
·e
, x ∈ R.
2
c) c ∈ R durch Beobachtung einer R- wertigen Zufallsvariablen mit Dichte
fc (x) =
1
1
, x ∈ R.
π (1 + (x − c)2 )
d) Entscheiden Sie jeweils, ob die obigen Schätzer erwartungstreu sind.
Aufgabe 4
a) Entscheiden Sie, ob die Markov-Ketten, die durch folgende stochastische Matritzen beschrieben werden, reduzibel sind:
1 1 1
1 1 1
3
3
3
P1 =  13 31 13 
0 0 1
3
P2 =  13
0
3
1
3
1
2
3
1
3
1
2
b) Bestimmen Sie die Periode von jedem Zustand der Markov-Ketten, die durch
die folgenden stochastischen Matritzen beschrieben werden:




0 0 0 1
0 1 0 0

 0 0 0 1

 P4 = 0 01 1 01 
P3 = 
1
1

0
0 0
0 2
2
2
2
0 0 1 0
1 0 0 0
Tipp: Zeichnen Sie die Übergangsgraphen!
Aufgabe 5
Die Dortmunder Taxis sind mit den Zahlen 1, 2, . . . , n deutlich sichtbar durchnummeriert, wobei die Zahl n aller Taxis unbekannt ist und geschätzt werden soll.
Auf der Straße begegnen Ihnen unabhängig und zufällig k Taxis, deren Nummern
X1 , . . . , Xk Sie notieren.
a) Beschreiben Sie das zugrunde gelegte Modell.
b) Bestimmen Sie den M L-Schätzer Nk für n.
Die neuen Übungsblätter, Modalitäten zur Abgabe sowie weitere
Information zur Veranstaltung finden Sie auf unserer Homepage:
www.mathematik.uni-dortmund.de/lsiv/2016Sommer/StochI/index.htm

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