Funktionentheorie

Prof. Dr. A. Lytchak
SoSe 2016
Blatt 8
11.6.2016
Funktionentheorie
Abgabe: Freitag, 18.6.2016 bis 12:00 Uhr
Hinweis: Für Lehramtsstudenten, die die 6CP Klausur mitschreiben wollen, ist dies das
letzte Zulassungs- und Klausurrelevante Übungsblatt.
R
35. (2 Punkte) Bestimmen Sie den Wert des Wegintegrals γ z n dz, wobei n ∈ Z und
γ : [0, 2π] → C, γ(t) = eit , und erläutern Sie kurz, warum das Ergebnis für die
Funktionentheorie grundlegend ist.
36. (1 Punkt) Es sei G ein Gebiet in C und K ⊂ G kompakt. Eine Folge von Funktionen (fn ) konvergiere auf G lokal gleichmäßig. Zeigen Sie, dass die Einschränkungen der fn auf K gleichmäßig konvergieren.
37. (3 Punkte) Es sei G ein Gebiet in C und eine Folge (fn ) ∈ O(G) konvergiere lokal
gleichmäßig gegen eine Funktion f ∈ O(G). Es sei Fn ∈ O(G) eine Stammfunktion von fn , n ∈ N, und es gebe einen Punkt a ∈ G, sodass Fn (a) konvergiert.
a) Zeigen Sie, dass die Folge (Fn ) in G punktweise konvergiert. (Hinweis: Lösen
Sie zunächst Aufgabe 36 und vergleichen Sie Fn (b) mit Fn (a) durch ein
geeignetes Wegintegral über fn ).
b) Zeigen Sie, dass die Folge (Fn ) lokal gleichmäßig gegen eine Stammfunktion
von f konvergiert.
a b
38. (4 Punkte) Jeder komplexen Matrix A =
∈ GL2 (C) ordnen wir die
c d
gebrochen rationale Funktion
fA (z) =
az + b
cz + d
zu. Diese definiert eine Abbildung fA : C\{−d/c} → C\{a/c} (sogar eine Bijektion fA : Ĉ → Ĉ mit Ĉ := C ∪ {∞}). Zeigen Sie
a) fA = id ⇔ A = aE mit a ∈ C∗ und der Einheitsmatrix E
b) fAB = fA ◦ fB für A, B ∈ GL2 (C)
det(A)
c) für A ∈ GL2 (R) gilt Im(fA (z)) = |cz+d|
2 Im(z). Folgern Sie, dass für A ∈
SL2 (R) die Abbildung fA : H → H biholomorph ist, wobei H = {z ∈
C|Im(z) > 0}.
d) die Abbildung fC : z 7→
D1 (0).
z−i
z+i
definiert einen Biholomorphismus von H nach
Damit erhalten wir für A ∈ SL2 (R) biholomorphe Abbildungen (fC ◦ fA ◦ fC−1 ) :
D1 (0) → D1 (0). Wir werden deren Eigenschaften in der Vorlesung und in weiteren
Übungen genauer untersuchen.
39. (2 Punkte) Es sei f : D1 (0) → G biholomorph und es bezeichne ρ1 den kleinsten
und ρ2 den größten Wert der Abstandsfunktion dist(f (0), z) für z ∈ ∂G. Zeigen
Sie
a) |f (z) − f (0)| ≤ ρ2 |z|
b) ρ1 ≤ |f 0 (0)|
(Hinweis: Konstruieren Sie geeignete Funktionen f˜ : D1 (0) → D1 (0) auf die Sie
das Lemma von Schwarz anwenden können).

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