Otto-von-Guericke-Universit¨ at Magdeburg Institut f¨ ur Analysis und Numerik Prof. Dr. G. Warnecke, Dr. C. Cueto Camejo 16.04.2015 Einfu ¨ hrung in die Numerik Sommersemester 2015 ¨ 2. Ubung (Abgabe: Aufgaben 1-3 am Montag, 27.04.2014, zu Beginn der Vorlesung) Aufgabe 1 [6 Punkte] Beweisen Sie die folgenden Sachverhalte. (a) Auf dem RN sind alle Vektornormen ¨aquivalent, d.h. f¨ ur zwei beliebige Normen k.k? und k.k?? existieren Konstanten C1 und C2 , so dass f¨ ur alle x ∈ RN die Ungleichungen k.k? ≤ C1 k.k?? k.k?? ≤ C2 k.k? und gelten. (b) Die zu einer Vektornorm zugeh¨ orige Matrixnorm kAk = max x6=0 kAxk kxk ¨ wird auch als Operatornorm bezeichnet. Man zeige die Aquivalenz aller Operatornormen auf N dem R . Man benutze dazu das Resultat aus (a). Aufgabe 2 [8 Punkte] Man zeige die folgenden Aussagen: (a) Die einer Vektornorm zugeordnete Matrixnorm kAk = max x6=0 kAxk kxk hat auch die Eigenschaften einer Norm, d.h. A = 0 ⇔ kAk = 0, kλAk = |λ| kAk , kA + Bk ≤ kAk + kBk . (b) Es gilt max x6=0 kAxk = max kAxk . kxk kxk=1 (c) F¨ ur induzierte Matrixnormen gilt f¨ ur die Einheitsmatrix kIk = 1. (d) Die Frobenius-Norm s kAkF = X |aij |2 i,j=1,...,n ist eine Matrixnorm, die sich nicht in der unter (a) angegebenen Form einer Matrixnorm zuordnen l¨ asst. Aufgabe 3 [6 Punkte] (a) Es sei Q ∈ RN ×N eine unit¨ are Matrix, d.h. Q ist regul¨ar und es gilt Q−1 = QT . Man zeige, dass in der Euklidischen Vektornorm die Gleichung kQxk2 = kxk2 f¨ ur alle x ∈ RN gilt. (b) F¨ ur A ∈ RN ×N besitzt die Matrix AT A eine Schur-Zerlegung AT A = QDQT . Dabei ist Q eine unit¨ are Matrix und D eine Diagonalmatrix, die die Eigenwerte λi (AT A) der T Matrix A A als Diagonalelemente enth¨alt. Die Eigenwerte λi (AT A) sind s¨amtlich reell und positiv. Man benutze diesen Sachverhalt und das Ergebnis aus (a) um zu zeigen, dass f¨ ur die Spektralnorm (d.h. die zur Euklidischen Vektornorm geh¨orige Matrixnorm) die Beziehung q kAk2 = ρ(AT A) gilt. ρ(.) ist dabei der Spektralradius. Aufgabe 4 Man zeige, die der Maximumsnorm kxk∞ = max |xi | i=1,...,n zugeordnete Matrixnorm ist gerade die Zeilensummennorm   n X |aij | . kAk∞ = max  i=1,...,n j=1 Aufgabe 5 F¨ ur einen reellen Parameter γ betrachte man das lineare Gleichungssystem x1 2x1 − 5x1 + x2 + + 2x3 x3 2x2 + 4x3 − 3x4 − x4 − 3x4 − x5 + − x5 4x5 = 3, = 2, = −1, = γ. Man bestimme, f¨ ur welche Werte von γ das obige System eine L¨osung hat und f¨ ur welche nicht. Im ersten Fall bestimme man auch alle L¨osungen.