Prof. Dr. W. Arendt Dr. Dominik Dier Wintersemester 15/16 Punktzahl: 20 Universität Ulm Abgabe: Montag, 16.11.2015 Übungen Funktionalanalysis: Blatt 5 1. Sei E ein Prähilbertraum und C ⊂ E konvex. Seien x, y ∈ E, sodass x̂, ŷ ∈ C existieren mit kx − x̂k ≤ kx − zk und ky − ŷk ≤ ky − zk ∀z ∈ C. (4) Zeige: kx̂ − ŷk ≤ kx − yk. Schließe, dass es höchstens ein Proximum gibt und falls C vollständig ist, dass die orthogonale Projektion auf C eine Kontraktion ist. Hinweis: verwende Lemma 10.3. 2. Polarisationsidentität (a) Sei E ein Prähilbertraum. Zeige: (x | y) = (x | y) = 1 4 1 4 (2) kx + yk2 − kx − yk2 falls K = R und kx + yk2 − kx − yk2 + ikx + iyk2 − ikx − iyk2 falls K = C, für alle x, y ∈ E. (b) Sei (E, k·k) ein normierter Vektorraum, in dem das Parallelogrammgesetz gilt. Zeige: p Es gibt ein Skalarprodukt (· | ·) auf E , sodass kxk = (x | x) für alle x ∈ E. 3. Sei E ein Prähilbertraum, P ∈ L(E), P 2 = P , F = P E. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind: (2) (4) (i) kP k ≤ 1; (ii) (P x | y) = (x | P y) für alle x, y ∈ E; (iii) x − P x ∈ F ⊥ für alle x ∈ E. 4. Seien H und V Hilberträume. Zeige: H × V ist ein Hilbertraum bzgl. des Skalarproduktes (x | y) = (x1 | y1 )H + (x2 | y2 )V , x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ H × V . 5. Sei H = {x ∈ `2 : (n(x2n + x2n+1 ))n∈N ∈ `2 }. (a) Zeige, dass H ein Hilbertraum bzgl. des Skalarproduktes (x | y)H = (x | y)`2 + ∞ X (2) (2) n2 (x2n + x2n+1 )(y2n + y2n+1 ). n=1 Hinweis: Die Abbildung U : H → `2 ×`2 , x 7→ x, (n[x2n +x2n+1 ])n∈N ist isometrisch. Zeige: das Bild von U ist abgeschlossen und somit ein Hilbertraum. (b) Sei F = {x ∈ H : x2n+1 = 0 ∀n ∈ N} und G = {x ∈ H : x2n = 0 ∀n ∈ N}. Zeige, dass F + G 6= H und bestimme F ⊥ . Übungsblätter sowie aktuelle Informationen unter https://www.uni-ulm.de/mawi/iaa/courses/ws15/fa.html (4)