Blatt 7 - Mathematics TU Graz

Lineare Algebra II (NAWI)
SS2016
Übungsblatt №07
04.05.2016
Aufgabe 29. Für welche Werte von a und b ist die Matrix


2
−b + a b + a
0
−b + a
2
0
b+a 


 b+a
0
2
−b + a
0
b + a −b + a
2
positiv definit?
Aufgabe 30. Sei (V, h., .i) ein Vektorraum mit Skalarprodukt und U ⊆ V ein Unterraum.
Zeige:
(a) U ⊥ = U ⊥⊥⊥ ;
(b) V = U +̇U ⊥ =⇒ U = U ⊥⊥ .
Aufgabe 31. Sei
ein
(a)
(b)
(c)
x1 − x2 + x3 − x4 = 0
U = x∈R |
x1 + x3 + x4
=0
Unterraum des R4 und v = (1, −1, 1, −1)t .
Berechne die Orthogonalprojektion πU (v) mithilfe der Gramschen Matrix.
Berechne πU (v) mithilfe einer Orthonormalbasis von U .
Berechne die Matrixdarstellung von πU bezüglich der kanonischen Basis.
4
Aufgabe 32. (a) Zeige, daß durch
Z
1
hf, gi =
(1 − t2 )f (t)g(t) dt
−1
ein positiv definites Skalarprodukt auf R[x] definiert wird.
(b) Orthogonalisiere die kanonische Basis (1, x, x2 ) des Unterraums R2 [x] bezüglich dieses
Skalarprodukts.
Aufgabe 33. Sei (V, h., .i) ein Vektorraum mit Skalarprodukt und V = U +̇W eine Zerlegung als direkte Summe und π : V → U die Projektion auf die erste Komponente. Zeige,
daß W = U ⊥ genau dann, wenn für alle v ∈ V gilt kπ(v)k ≤ kvk.
Hinweis: eine Richtung wurde in der Vorlesung behandelt, die andere Richtung am besten
durch indirekten Beweis zeigen.
Aufgabe 34. Sei (V, h., .i) ein n-dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt über R
und U, W ⊆ V zwei m-dimensionale Unterräume. Zeige: Wenn es u ∈ U \ {0} gibt mit
u ⊥ W , dann gibt es w ∈ W \ {0} mit w ⊥ U .
Fleißaufgabe. Zeige, daß die folgende Konstruktion† ein Gegenbeispiel zur Umkehrung
von Aufgabe 30 (b) liefert:
R1
V = C[−1, 1] mit dem Skalarprodukt hf, gi = −1 f (t)g(t) dt und dem Unterraum U =
{f ∈ C[−1, 1] | f (t) = 0∀t < 0}.
†
Gefunden von Frau Prof. Desch

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