Serie 3

Analysis II – Sommer 2016
Prof. Dr. George Marinescu / Dr. Frank Lapp
Serie 3 – Abgabe in der Woche: 2.-4. 5. (in den Übungen)
Aufgabe 1
Seien d1 und d2 Metriken auf einer Menge X. Zeigen Sie, dass dann auch
4 Punkte
d(x, y) := max{d1 (x, y), d2 (x, y)}
eine Metrik auf X ist. Zeigen Sie, dass für „min“ statt „max“ die Aussage nicht immer
gilt, indem Sie Gegenbeispiele auf X = 2 finden.
R
Aufgabe 2
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Beweisen Sie:
4 Punkte
a) Für alle x, y, z ∈ X gilt |d(x, y) − d(y, z)| 6 d(x, z).
b) Gilt lim xn = x in (X, d), so gilt lim d(xn , y) = d(x, y) für alle y ∈ X.
n→∞
n→∞
Aufgabe 3
4 Punkte
Sei (V, h·, ·i) ein Skalarproduktraum. Zeigen Sie, dass für alle x, y ∈ V die PolarisierungsBeziehungen
hx, yi =
hx, yi =
1
kx + yk2 − kx − yk2 ,
4
falls V reell,
1
kx + yk2 − kx − yk2 + ikx + iyk2 − ikx − iyk2 ,
4
falls V komplex,
und die Parallelogramm-Formel
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) .
gelten.
Sei (V, k · k) ein normierter Raum. Die Norm k · k ist genau dann durch ein Skalarprodukt
induziert, wenn die Parallelogramm-Formel gilt. Zeigen Sie, dass die Norm k · k1 auf n
nicht von einem Skalarprodukt induziert wird.
R
Zusatzaufgabe
Sei a < b und V := C 0 ([a, b], ). Sei außerdem p ≥ 1.
Zeigen Sie, dass durch
Z b
1/p
p
|f (x)| dx
kf kp :=
C
+4 Punkte
a
eine Norm auf V gegeben ist.
Tipp zur Dreiecksungleichung: Drücken Sie kf + gkpp als Limes Riemannscher Summen
mit lauter gleichlangen Teilintervallen aus und benutzen Sie die Minkowski-Ungleichung
auf n .
C
1

Download Report