SS 2015

¨
Ubungen
zur Quantenmechanik
SS 2015
13.05.15
Blatt 5
Pr¨
asenzaufgabe 11: (Superposition zweier Eigenzust¨ande)
Es seien |ϕ1 i und |ϕ2 i zwei normierte Eigenzust¨ande des hermiteschen Operators Aˆ mit den
Eigenwerten a1 und a2 (wobei a1 6= a2 gelte). Ein physikalisches System befinde sich im Zustand
√
3
i
|ψi =
|ϕ1 i + |ϕ2 i .
2
2
a) Zeigen Sie, dass |ψi normiert ist.
b) Es werde eine Messung der zu Aˆ geh¨orenden Observablen durchgef¨
uhrt. Mit welchen Wahrscheinlichkeiten liefert die Messung als Ergebnis a1 bzw. a2 ?
ˆ den man durch viele Messungen an identischen Systemen
c) Wie groß ist der Mittelwert hAi,
erh¨alt?
Pr¨
asenzaufgabe 12: (Matrixdarstellung eines Operators)
Sei V der Vektorraum der reellen, stetig differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall [−π, π].
Aus der Theorie der Fourier-Reihen wissen Sie, dass die Funktionen
1
cos x
sin(2x)
cos(2x)
sin x
u0 (x) = √
, u4 (x) = √
,...
, u1 (x) = √ , u2 (x) = √ , u3 (x) = √
π
π
π
π
2π
eine vollst¨andige orthonormierte Basis von V bilden.
Bestimmen Sie die Matrixdarstellung des Parit¨atsoperators Pˆ in dieser Basis.
”
Ich habe hundertmal so viel u
¨ber Quantenprobleme nachgedacht
wie u
atstheorie.“
¨ber die allgemeine Relativit¨
(Albert Einstein)
Hausaufgaben fu
¨ r den 26.05.15
Hinweis: Bitte bearbeiten Sie jede Aufgabe auf einem separaten Blatt, das Sie jeweils mit Ihrem
¨
Namen, Ihrer Matrikelnummer und der Nummer Ihrer Ubungsgruppe
leserlich kennzeichnen.
Hausaufgabe 13: (Zeitentwicklung einer Superposition)
(1+2+2 = 5 Punkte)
Es seien ϕ1 (x) und ϕ2 (x) zwei orthonormierte L¨osungen der zeitunabh¨angigen Schr¨odingerGleichung zu einem gegebenen Potential mit Energie-Eigenwerten E1 und E2 . Ein physikalisches
System befinde sich zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand
1
ψ(x, t = 0) = √ [ϕ1 (x) + ϕ2 (x)] .
2
a) Zeigen Sie, dass ψ normiert ist.
b) Wie lautet ψ(x, t) zu einem sp¨
ateren Zeitpunkt?
Hinweis: Sie wissen, wie station¨are Zust¨ande von der Zeit abh¨angen.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x, t) = |ψ(x, t)|2 . Nehmen Sie dabei ϕ1 (x)
und ϕ2 (x) als reellwertig an und bringen ρ(x, t) in eine explizit reelle Form.
Hausaufgabe 14: (Matrixdarstellung von Operatoren)
(4+3 = 7 Punkte)
Bestimmen Sie in der vollst¨
andigen Orthonormalbasis aus P12 die Matrixdarstellungen
~2 ∂ 2
∂
und b) des Operators der kinetischen Energie Tˆ = − 2m
a) des Impulsoperators pˆx = −i~ ∂x
.
∂x2
Hausaufgabe 15: (Eine Summenregel)
(2+6 = 8 Punkte)
Seien En f¨
ur n ∈ N die Energie-Eigenwerte des vollst¨andigen orthonormierten Systems von
ˆ = 1 pˆ2x + V (ˆ
x) .
Eigenzust¨anden |ϕn i zu dem hermiteschen Hamilton-Operator H
2m
h
i
2
ˆ x
a) Zeigen Sie, dass gilt [H,
ˆ], x
ˆ = − ~m .
b) Folgern Sie aus a) die G¨
ultigkeit der Summenregel
X
n
¯2
¯
~2
¯
¯
x|ϕn i¯ =
(En − Ek )¯hϕk |ˆ
2m
(k ∈ N) .
£
¤
2
ˆ x
Hinweis: Starten Sie gem¨
aß a) von der Gleichung hϕk | [H,
ˆ], x
ˆ |ϕk i = − ~m , schreiben
Sie darin den Kommutator aus und benutzen Sie geeignete Identit¨atsoperatoren.

Download Report