1. 次の ( ),( ) を満たすように定数 α, β を求めよ． ( ) −α ( ) u(x, t) = t exp ( ) u(x, y, z) = r −β 2 − x4t [20] について ut − uxx = 0. ただし exp z = e . (ただし r = z √ x2 + y 2 + z 2 ) について uxx + uyy + uzz = 0. 解答 ( 2) ( ) まず, u(x, t) = t−α exp − x4t に対して, t に関する微分を調べると ( 2) ( 2) ( 2 ) x x x ut = −αt−α−1 exp − + t−α exp − · 4t 4t 4t2 ) ( 2)( x x2 = t−α−1 exp − −α + ． 4t 4t また x に関しては, ( 2) ( ( 2) x x) 1 −α−1 x ux = t exp − · − =− t x exp − , 4t 2t 2 4t ( 2) ( 2) ( 1 x 1 x x) uxx = − t−α−1 exp − − t−α−1 x exp − · − 2 4t 2 4t 2t ) ( 2)( 2 1 x x − + ． = t−α−1 exp − 4t 2 4t −α よって ( ut − uxx = ) ( 2) 1 x −α−1 −α t exp − 2 4t となる. これより, 任意の x, t について ut − uxx = 0 が成り立つのは, α = 1 のときである. 2 ( ) u(x, y, z) = r−β = (x2 + y 2 + z 2 )−β/2 に対して, x に関する微分を調べると ux (x, y, z) = −βx(x2 + y 2 + z 2 )−β/2−1 , uxx (x, y, z) = −β(x2 + y 2 + z 2 )−β/2−1 + β(β + 2)x2 (x2 + y 2 + z 2 )−β/2−2 ( ) = β(x2 + y 2 + z 2 )−β/2−2 (β + 2)x2 − (x2 + y 2 + z 2 ) ( ) = β(x2 + y 2 + z 2 )−β/2−2 (β + 1)x2 − y 2 − z 2 ) . 同様にして ( ) uyy (x, y, z) = β(x2 + y 2 + z 2 )−β/2−2 (β + 1)y 2 − x2 − z 2 ) , ( ) uzz (x, y, z) = β(x2 + y 2 + z 2 )−β/2−2 (β + 1)z 2 − x2 − y 2 ) . よって uxx + uyy + uzz = β(β − 1)(x2 + y 2 + z 2 )−β/2−1 となる. これより, 任意の x, y, z について uxx + uyy + uzz = 0 が成り立つのは, β = 0, 1 のときである. 1 採点基準 ( )・ut , ux が計算できてそれぞれ 2 点. ・uxx が計算できて 3 点. ・α が計算できて 3 点. ・計算ミスは −1 点. ・積の微分や合成関数の微分ができていない人が多すぎる. 1 階微分すらできていない解答も見受けられた. ( )・ux が計算できて 2 点. ・uxx が計算できて 3 点. ・対称性から他の成分に関しては明らか. ・uxx , uyy , uzz を全てもとめることができれば 7 点. ・β が計算できて 3 点. ・計算ミスは −1 点. ・(i) 同様, 微分を計算できた解答が少なかった. 特に合成関数の微分ができていない解答が多かった. しっかり計算できるようにしてもらいたい. 2. 次の関数 f について極大，極小となる点をすべて求めよ. [50] ( ) f (x, y) = xy(a a > 0. ( − x − y). ただし ) x2 a2 ( ) f (x, y) = xy + y2 b2 − 1 −x2 −y 2 ( ) f (x, y) = (x − y )e 2 2 . ただし a > 0, b > 0. . 解答 ( ) fx = y(a − 2x − y), fy = x(a − x − 2y). fx = fy = 0 を解いて，極値候補となる点を求める． (a a) (x, y) = (0, 0)，(a, 0)，(0, a)， , 3 3 各極値候補 (x∗ , y ∗ ) に対して，f の２階偏導関数を求め， A = fxx (x∗ , y ∗ ) = −2y ∗ ，B = fxy (x∗ , y ∗ ) = a − 2x∗ − 2y ∗ ， C = fyy (x∗ , y ∗ ) = −2x∗ ，D = B 2 − AC とおき D の正負により極値か否かを判定する． (a) (x, y) = (0, 0) のとき A = C = 0, B = a であるので D = a2 > 0. よって f (0, 0) は極値をとらない． (b) (x, y) = (a, 0) のとき A = 0, B = −a, C = −2a であるので D = a2 > 0. よって f (a, 0) は極値をとらない． (c) (x, y) = (0, a) のとき (b) と同様に D = a2 > 0. よって f (0, −a) は極値をとらない． ( ) (d) (x, y) = a3 , a3 のとき A=C=− よって f ( a3 , a3 ) = 以上より，f は ( ( ) fx = y 3x2 a2 a3 は極大値となる. (27a a ) a2 3 , 3 において極大値 3 + y2 b2 ) ( 2 − 1 , fy = x xa2 + 2a a a2 < 0, B = − , D = − < 0 3 3 3 をとる． 3y 2 b2 ) − 1 . fx = fy = 0 を解いて，極値候補となる点を求める． ( ) ( ) a b a b (x, y) = (0, 0)，(±a, 0)，(0, ±b)， ± , ± , ± ,∓ (複号同順) 2 2 2 2 2 各極値候補 (x∗ , y ∗ ) に対して，f の２階偏導関数より A = fxx (x∗ , y ∗ ) = 6x∗ y ∗ 3x∗2 3y ∗2 6x∗ y ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ， B = f (x , y ) = + − 1 ， C = f (x , y ) = xy yy a2 a2 b2 b2 とおき D の正負により極値か否かを判定する． (a) (x, y) = (0, 0) のとき A = C = 0, B = −1 であるので D = 1 > 0. よって f (0, 0) は極値をとらない． (b) (x, y) = (±a, 0) のとき A = C = 0, B = 2, であるので D = 4 > 0. よって f (±a, 0) は極値をとらない． (c) (x, y) = (0, ±b) のとき (b) と同様に D = 4 > 0. よって f (0, ±b) は極値をとらない． ( ) (d) (x, y) = ± a2 , ± 2b (複号同順) のとき A= 3b 1 3a > 0, B = , C = > 0, D = −2 < 0 2a 2 2b よって f (± a2 , ± 2b ) = − ab 8 は極小値となる. ( ) (e) (x, y) = ± a2 , ∓ 2b (複号同順) のとき A=− よって f (± a2 , ∓ 2b ) = 以上より，f は ( ) fx = 2xe−x 2 ( 3b 1 3a < 0, B = , C = − < 0, D = −2 < 0 2a 2 2b ab 8 は極大値となる. ) a ± 2 , ± 2b において極小値 −y 2 ( a b) − ab 8 をとり， ± 2 , ∓ 2 において極大値 (1 − x2 + y 2 ), fy = 2ye−x 2 −y 2 ab 8 をとる． (−1 − x2 + y 2 ). fx = fy = 0 を解いて，極値候補となる点を求める． (x, y) = (0, 0)，(±1, 0)，(0, ±1) 各極値候補 (x∗ , y ∗ ) に対して，f の２階偏導関数より A = fxx (x∗ , y ∗ ) = 2e−x −y 2 (2x4 − 2x2 y 2 − 5x2 + y 2 + 1)， 2 −y xy(x2 − y 2 )， 2 −y 2 2 B = fxy (x∗ , y ∗ ) = 4e−x C = fyy (x∗ , y ∗ ) = 2e−x 2 (−2y 4 + 2x2 y 2 + 5y 2 − x2 − 1) とおき D の正負により極値か否かを判定する． (a) (x, y) = (0, 0) のとき A = 2, B = 0, C = −2, D = 4 > 0 であるので f (0, 0) = 0 は極値をとらない． (b) (x, y) = (±1, 0) のとき A = −4e−1 < 0, B = 0, C = −4e−1 < 0, D = −16e−2 < 0 であるので f (±1, 0) = e−1 は極大値となる． (c) (x, y) = (0, ±1) のとき A = 4e−1 > 0, B = 0, C = 4e−1 > 0, D = −16e−2 < 0 であるので f (0, ±1) = −e−1 は極小値となる．以上より，f は (±1, 0) において極大値 e−1 をとり，(0, ±1) において極小値 −e−1 をとる．採点基準 ( )・極値候補点がすべてあげられていて 5 点．一部のみの場合は適宜減点．・各候補について極大，極小，極値でないかを確認できていて 5 点． ( )・極値候補点がすべてあげられていて 10 点．一部のみの場合は適宜減点． 3 ・各候補について極大，極小，極値でないかを確認できていて 15 点． ( )・極値候補点がすべてあげられていて 5 点．一部のみの場合は適宜減点．・各候補について極大，極小，極値でないかを確認できていて 10 点． 3. 半径１の円に外接する三角形の面積が最小となるときの三角形とその面積を求めよ. [40] 解答半径１の円に外接する三角形を描き，その円の中心から三角形の各辺に垂直な直線と，各頂点とを結ぶ直線を計６本引く. すると，初めの三角形は三種類の直角三角形計６個に分けられる. 種類の異なる３つの三角形を選び，それぞれの円の中心にできた角を α, β, γ (α + β + γ = π) その角と向かい側の辺を a, b, c とおく. このとき、a = tan α, b = tan β, c = tan γ とかけるので，この三角形の面積 S は S = tan α + tan β + tan γ = tan α + tan β − tan(α + β) 1 1 1 1 cos2 α − cos2 (α+β) , Sβ = cos2 β − cos2 (α+β) , Sα = Sβ = 0 を解くと，α, β 0 < α, β < π2 なので α = β. 次に，Sα = cos12 α − cos12 2α = 0 を 0 < α < π2 に注意して解くと α = π3 . Sα = は直角三角形の鋭角でよって，極値候補となる点は (α, β, γ) = (π π π) , , 3 3 3 極値候補となる点が唯一つなので，この点で S は極小値を持つ． √ このとき，半径１の円に外接する三角形は正三角形であり，その面積は S = 3 3 である．採点基準・三角形の面積 S がパラメータを使って表せていて 10 点．・極値候補点を求めそれが極小値になることを，理由をつけて書けていて 25 点．・三角形の形状，面積が正しく求められていて 5 点． 4. 関数 f (x, y) が与えられているとき，極座標による変換 x = r cos θ, y = r sin θ を考え，g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ) によって関数 g を定義する． [90] このとき以下の問いに答えよ． ( )xr , xθ , yr , yθ および rx , ry , θx , θy を求めよ． ( ) ( )∇g = ggθr を fx , fy を用いて表せ． ( ) ( )∇f = ffxy を gr , gθ を用いて表せ． ( )fxx , fyy を g の r, θ に関する偏微分を用いて表せ． ( )∆f = fxx + fyy を g の r, θ に関する偏微分を用いて表せ． 4 ( )f (x, y) = xy(x2 −y 2 ) (x2 +y 2 )3 のとき ∆f を求めよ．解答 ( ) x = r cos θ, y = r sin θ より r = √ ( ) x2 + y 2 , θ = arc tan xy となることに注意する． yr = sin θ, xθ = −r sin θ, yθ = r cos θ x y rx = √ = cos θ, ry = √ = sin θ 2 2 2 x +y x + y2 −y sin θ x cos θ θx = 2 =− , θy = 2 = . 2 2 x +y r x +y r xr = cos θ, ( ) gr = fx xr + fy yr = fx cos θ + fy sin θ, gθ = fx xθ + fy yθ = −fx r sin θ + fy r cos θ. ( ) y sin θ x gr − 2 gθ = gr cos θ − gθ , fx = gr rx + gθ θx = √ x + y2 r x2 + y 2 y cos θ x fy = gr ry + gθ θy = √ g = gr sin θ + gθ . gr + 2 2 θ 2 2 x + y r x +y ( ) fxx = cos2 θgrr − r−1 sin 2θgrθ + r−2 sin2 θgθθ + r−1 sin2 θgr + r−2 sin 2θgθ , fyy = sin2 θgrr + r−1 sin 2θgrθ + r−2 cos2 θgθθ + r−1 cos2 θgr − r−2 sin 2θgθ . ( ) ∆f = fxx + fyy = grr + r−1 gr + r−2 gθθ . ( ) x = r cos θ, y = r sin θ を f に代入すると， f (x, y) = gr = − 2r13 sin 4θ, grr = 3 2r 4 xy(x2 − y 2 ) sin 4θ = = g(r, θ) (x2 + y 2 )3 4r2 sin 4θ, gθθ = − r42 sin 4θ より， ∆f = grr + r−1 gr + r−2 gθθ = − 12xy(x2 − y 2 ) 3 sin 4θ = − . r4 (x2 + y 2 )4 採点基準 ( )xr , xθ , yr , yθ がすべてできていて 2 点．他各 2 点． ( )gr , gθ 各 5 点． ( )fx , fy 各 10 点． ( )fxx , fyy 各 15 点． ( )5 点．( )15 点．・計算ミスは適宜減点． 5