2012 年度 解析学 I (応用化学科・1 年) 演習問題-3 2012/5/29 若狭 徹 第 2 章 微分法 ―導関数・高階導関数― 問題 2.1. 次の関数を微分せよ. ( 2 )3 x2 − x + 1 x3 − 1 (1) x − (2) (x − 1)5 (x + 2)7 (3) 2 (4) 2 x x +x+1 x +x−2 √ √ √ √ √ √ 2−x 1+x− 1−x 2 3 2 2 √ (5) x( x + 2) (6) (7) x a − x (a > 0) (8) √ 1+x 1+x+ 1−x 問題 2.2. 次の関数を微分せよ. sin x − cos x x 1 (1) sin 2x cos 3x (2) (3) cos3 (4) tan x − sin x + cos x 2 tan x √ 1 2 (5) x2 sin (x ̸= 0) (6) a2 cos2 x + b2 sin2 x (7) xe−x (8) xe−3x cos 2x x ex − e−x 1 (9) x (10) √ (11) x(log x)2 − 2x log x (12) log | tan x| x −x e + e−x e +e √ √ √ (13) log(x + x2 + A) (A ̸= 0) (14) x x2 + A + A log(x + x2 + A) (A ̸= 0) ( ) 1 x x (15) x (x > 0) (16) 1 + (x > 0) x 問題 2.3. 次の関数を微分せよ. √ 1 (4) sin−1 (1) (sin−1 3x)2 (2) sin−1 x2 (3) sin−1 x x ( )3 x+1 1−x 1 (5) tan−1 (8) tan−1 (6) tan−1 x2 (7) tan−1 2 x 1+x x x (10) tan−1 √ (11) sin(2 sin−1 x) (12) tan(2 tan−1 x) (9) sin−1 √ 2 2 x +1 1−x 1( √ 2 x sin−1 x 1 x) (13) x a − x2 + a2 sin−1 (a > 0) (14) √ + log(1 − x2 ) 2 a 1 − x2) 2 (√ √ x a−b (15) x tan−1 x − log 1 + x2 (16) tan−1 tan (a > b > 0) a+b 2 おまけ (公式を思い出すには?). 数学全般において, 試験などで ± を間違えて計算してしまう ミスは非常によくある. ここで, 例えば商の微分公式 ( ) g(x) ′ f ′ (x)g(x) − f (x)g ′ (x) = f (x) f (x)2 の「−」の部分がはっきりと思い出せないシチュエーションを想定する. このような状況で「± のどちらが正しいか」調べる方法を考えてみよう. 1 問題 2.4. 次の関数 f (x) について, f ′ (x), f ′′ (x), f ′′′ (x) を求めよ. (1) f (x) = e−x 2 (2) f (x) = (sin x)3 (5) f (x) = tan x 問題 2.5. (6) f (x) = (3) f (x) = x(log x)2 ex − e−x ex + e−x (7) f (x) = tan−1 x (4) f (x) = √ 1 − x2 (8) f (x) = sin−1 x 次の関数の n 階導関数を求めよ ((5)-(8) は Leibniz の公式を用いよ). (1) f (x) = log 1−x 1+x (5) f (x) = x2 e−x (2) f (x) = 1 x2 − x − 6 (6) f (x) = x3 log x (3) f (x) = sin2 x (4) f (x) = sin 2x cos 3x (7) f (x) = x2 sin 2x (8) f (x) = ex x 問題 2.6. 数学的帰納法を用いて次の等式を示せ. ( ) ( )(n) n ) ( n n! ∑ √ log x (−1) nπ 1 (2) = (1) (ex sin x)(n) = ( 2)n ex sin x + log x − 4 x xn+1 k k=1 問題 2.7. パラメータ t を用いて表される曲線 x = f (t), y = g(t) は, 条件 f ′ (t) ̸= 0 の下で逆 関数 t = f −1 (x) を用いて y = g(f −1 (x)) と表せ, 次の微分法則が成立する: dt dy dy g ′ (t) dt = = dx = ′ , dx dx dt f (t) dt ( ) ( ) ( ) d2 y dt d dy 1 d g ′ (t) g ′′ (t)f ′ (t) − g ′ (t)f ′′ (t) d dy = = = = . dx2 dx dx dx dt dx f ′ (t) dt f ′ (t) f ′ (t)3 dy dy d2 y , を t を用いて表せ. dx dx2 (1) 楕円 x = a cos t, y = b sin t (a > 0, b > 0) 次のパラメータ表示された曲線について (2) アステロイド x = a cos3 t, y = a sin3 t (a > 0) ∗ 問題 2.8 . ( . 次の微分等式を導け )′ √ √ 2 1 1 + 2x + x 1 2x 1 −1 √ log √ (1) + √ tan = 2 2 1 − x 1 + x4 4 2 1 − 2x + x 2 2 [ ( )]′ a sin x + b cos x (2) tan−1 =1 a cos x − b sin x 問題 2.9∗ (テキスト p.61 演習問題 2-B 6). f (x) = sin−1 x について以下を示せ. (i) (1 − x2 )f ′′ (x) − xf ′ (x) = 0. (ii) n ≥ 1 に対して (1 − x2 )f (n+2) (x) − (2n + 1)xf (n+1) (x) − n2 f (n) (x) = 0 (iii) n ≥ 1 に対して f (n+2) (0) = n2 f (n) (0) (iv) f (2m) (0) = 0, m = 0, 1, 2, . . . , f (2m+1) (0) = 12 ·32 ·52 · · ··(2m−1)2 , 2 m = 0, 1, 2, 3, . . . .
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