第2章微分法 ―導関数・高階導関数― - rabbit.mns.kyutech.ac.jp

2012 年度解析学 I (応用化学科・1 年) 演習問題-3
2012/5/29
若狭徹
第 2 章微分法 ―導関数・高階導関数―
問題 2.1. 次の関数を微分せよ.
(
2 )3
x2 − x + 1
x3 − 1
(1) x −
(2) (x − 1)5 (x + 2)7
(3) 2
(4) 2
x
x +x+1
x +x−2
√
√
√
√
√
√
2−x
1+x− 1−x
2
3
2
2
√
(5)
x( x + 2)
(6)
(7) x a − x (a > 0) (8) √
1+x
1+x+ 1−x
問題 2.2.
次の関数を微分せよ.
sin x − cos x
x
1
(1) sin 2x cos 3x
(2)
(3) cos3
(4) tan x −
sin x + cos x
2
tan x
√
1
2
(5) x2 sin (x ̸= 0)
(6)
a2 cos2 x + b2 sin2 x
(7) xe−x
(8) xe−3x cos 2x
x
ex − e−x
1
(9) x
(10) √
(11) x(log x)2 − 2x log x
(12) log | tan x|
x
−x
e + e−x
e +e
√
√
√
(13) log(x + x2 + A) (A ̸= 0)
(14) x x2 + A + A log(x + x2 + A) (A ̸= 0)
(
)
1 x
x
(15) x (x > 0)
(16) 1 +
(x > 0)
x
問題 2.3.
次の関数を微分せよ.
√
1
(4) sin−1
(1) (sin−1 3x)2
(2) sin−1 x2
(3) sin−1 x
x
(
)3
x+1
1−x
1
(5) tan−1
(8) tan−1
(6) tan−1 x2
(7) tan−1
2
x
1+x
x
x
(10) tan−1 √
(11) sin(2 sin−1 x)
(12) tan(2 tan−1 x)
(9) sin−1 √
2
2
x +1
1−x
1( √ 2
x sin−1 x 1
x)
(13)
x a − x2 + a2 sin−1
(a > 0)
(14) √
+ log(1 − x2 )
2
a
1 − x2) 2
(√
√
x
a−b
(15) x tan−1 x − log 1 + x2
(16) tan−1
tan
(a > b > 0)
a+b
2
おまけ (公式を思い出すには?). 数学全般において, 試験などで ± を間違えて計算してしまう
ミスは非常によくある. ここで, 例えば商の微分公式
(
)
g(x) ′ f ′ (x)g(x) − f (x)g ′ (x)
=
f (x)
f (x)2
の「−」の部分がはっきりと思い出せないシチュエーションを想定する. このような状況で「±
のどちらが正しいか」調べる方法を考えてみよう.
1
問題 2.4.
次の関数 f (x) について, f ′ (x), f ′′ (x), f ′′′ (x) を求めよ.
(1) f (x) = e−x
2
(2) f (x) = (sin x)3
(5) f (x) = tan x
問題 2.5.
(6) f (x) =
(3) f (x) = x(log x)2
ex − e−x
ex + e−x
(7) f (x) = tan−1 x
(4) f (x) =
√
1 − x2
(8) f (x) = sin−1 x
次の関数の n 階導関数を求めよ ((5)-(8) は Leibniz の公式を用いよ).
(1) f (x) = log
1−x
1+x
(5) f (x) = x2 e−x
(2) f (x) =
1
x2 − x − 6
(6) f (x) = x3 log x
(3) f (x) = sin2 x (4) f (x) = sin 2x cos 3x
(7) f (x) = x2 sin 2x
(8) f (x) =
ex
x
問題 2.6.
数学的帰納法を用いて次の等式を示せ.
(
)
(
)(n)
n
)
(
n n!
∑
√
log
x
(−1)
nπ
1
(2)
=
(1) (ex sin x)(n) = ( 2)n ex sin x +
log x −
4
x
xn+1
k
k=1
問題 2.7. パラメータ t を用いて表される曲線 x = f (t), y = g(t) は, 条件 f ′ (t) ̸= 0 の下で逆
関数 t = f −1 (x) を用いて y = g(f −1 (x)) と表せ, 次の微分法則が成立する:
dt dy
dy
g ′ (t)
dt
=
= dx
= ′ ,
dx
dx dt
f (t)
dt
(
)
(
)
(
)
d2 y
dt d dy
1 d g ′ (t)
g ′′ (t)f ′ (t) − g ′ (t)f ′′ (t)
d dy
=
=
=
=
.
dx2
dx dx
dx dt dx
f ′ (t) dt f ′ (t)
f ′ (t)3
dy
dy d2 y
,
を t を用いて表せ.
dx dx2
(1) 楕円 x = a cos t, y = b sin t (a > 0, b > 0)
次のパラメータ表示された曲線について
(2) アステロイド x = a cos3 t, y = a sin3 t (a > 0)
∗
問題 2.8
.
( . 次の微分等式を導け
)′
√
√
2
1
1 + 2x + x
1
2x
1
−1
√ log
√
(1)
+ √ tan
=
2
2
1
−
x
1
+
x4
4 2
1 − 2x + x
2 2
[
(
)]′
a sin x + b cos x
(2) tan−1
=1
a cos x − b sin x
問題 2.9∗ (テキスト p.61 演習問題 2-B 6).
f (x) = sin−1 x について以下を示せ.
(i) (1 − x2 )f ′′ (x) − xf ′ (x) = 0.
(ii) n ≥ 1 に対して (1 − x2 )f (n+2) (x) − (2n + 1)xf (n+1) (x) − n2 f (n) (x) = 0
(iii) n ≥ 1 に対して f (n+2) (0) = n2 f (n) (0)
(iv) f (2m) (0) = 0, m = 0, 1, 2, . . . ,
f (2m+1) (0) = 12 ·32 ·52 · · ··(2m−1)2 ,
2
m = 0, 1, 2, 3, . . . .

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