v

基礎力学応用演習6回目
２０１２．５．１５
講師：幹浩文
TA：島淳（A308）
A１04（9：10~10：40）【火】
http://www.wakayama-u.ac.jp/~hjs/kisorikigaku-2012/
前
ド
ア
基礎力学応用演習座席表−2012
ホァイトボード
過年度生
４９
３８
３５
５３
４０
０７
２７
１４１９
０１
６３
５４
４１
１１
２８
１５
０２
５５
４２
２２
２９
１６
０３
５６
４３
２３
３０
１７
０４
５７
４４
２４
３１
１８
０５
５８
４５
３９
３２
１９
５９
４６
３３
２００７
６０
４７
３４
２１
６１
４８
６２
４９
６３
1０
０６
０８
２２
０９
３６
２５１１
１２
５０
３７
２６１０
１３
５１
３８
５２
３９
３５
スケジュール
１．運動学と数学的準備（ベクトル、速度と加速度）
２．運動学と数学的準備（等速円運動）
4.10（１章）
4.17 （１章）
３．力と運動（運動の法則・力の法則、放物運動）（２章） 4.24（小テスト−１）
４．放物運動力と運動（摩擦力と垂直抗力、雨滴の落下とスカイダイビング（２章） 5.1
５．力と運動（運動量と力積）（２章） 5.8（小テスト―２：１∼４回目までの演習内容）
６．振動（弾力と単振動、減衰振動）（３章）
７．振動（強制振動と共振、連成振動（３章）
5.15
5.22
８．仕事とエネルギー（仕事、仕事とエネルギー１）（４章）
5.29
９．仕事とエネルギー（仕事、仕事とエネルギー２、エネルギーとエネルギー保存の法則）
（４章）
6.5
10．回転運動と角運動量（質点の回転運動、惑星の運動）
（５章） 6.12
１１．質点系と剛体の力学（重心、質点系と剛体の運動法則、2体問題）（６章） 6.19
１２．質点系と剛体の力学（鋼体のつり合い、固定軸まわりの剛体の回転）（６章） 7.3
13．質点系と剛体の力学
慣性モーメント
（鋼体の平面運動、ベクトル積で表した回転運動の法則）
１４．見かけの力
（７章）
7.17
１５．まとめと試験：7月24日 or 8月7日（火）テスト
8/2（木） 8/8（水）テスト期間、
6.26 学生大会授業休止日
（６章）
7.10
演習問題２
１．質量20kgの物体に力が働いて、物体は5m/s2の加速度で運
動している。物体に働いている力の大きさはいくらか。
解答例
F = ma
= 20 × 5 [kgm / s 2 ] = 100 [ N ]
２．一直線上を20m/sの速さで走っている質量30kgの物体を3
秒間で停止させるには、平均どれだけの力を加えればよいか。
解答例
F = ma
v0 = 20 m / s , vt = 0, t = 3s
v0
20
vt = v0 + at = 0 , a = − = −
[m / s 2 ]
t
3
⎛ 20 ⎞
2
F = ma = 30⎜ − ⎟ = −200 [kgm / s ] = −200 [ N ]
⎝ 3 ⎠
問2−4：図１の曲線上を物体が一定な速さで運動している。物
体が点A、B,Cを通過するときに働く力の方向と相対的な大きさ
を図示せよ。
解答例
A
2
v
2
F = ma = m = (mv ) / r
r
v
FB＝0 FC
B
FA
v
C
v
問2−5： 200Nの張力を加えると切れる長さが30mのロープが、
建物の屋上から外壁に沿って垂れ下がっている。（１）体重40kg
の人がこのロープを使って降りるときの最小加速度はいくらか。
（２）この人が地面に着く直前の速さはいくらか。
解答例
(1) F = ma = mg − T ,
T = m( g − a) ≤ 200
T
a ≥ g − 200 / m = 9.8 − 200 / 40 = 4.8 (m / s 2 )
m
mg
a
(2) a = 4.8 m / s 2 , L = 30m , v0 = 0,
Q v 2 − v0 = 2aL,
2
∴ v = 2aL = 2 × 4.8 × 30 = 16.97 (m / s )
問2−6：体重50kgの人がヘリコプターから吊るされた軽いつなにぶら
さがっている。ヘリコプターの加速度が（１）上方に6m/s2 ,
（２）下方に４m/s2 のとき、つなの張力を求めよ。
解答例
T
(1) F = ma = T − mg ,
T = m( g + a ) = 50(9.8 + 6) = 7.9 × 10 2 ( N )
mg
T
(2) F = ma = mg − T ,
T = m( g − a )
= 50(9.8 − 4) = 2.9 × 10 ( N )
2
m
mg
m
a
a
問2−7：天井から糸でおもりを吊り下げ、さらにそのおもりの下に上と同じ
糸をつける。(1)糸を急に強く引くと下の糸が切れ、(2)糸を引く力をゆっくりと
強くしていくと上の糸が切れる。この事実を説明せよ。
（２）糸を引く力をゆっくりと強くしていく時： a=0
T1
F=ma=mg+T2-T1=0
T1=mg+T2
おもり
⇒ T1>T2 : 上の糸が切れる
a
mg
T2
（１）糸を急に強く引くと：加速度aが発生する
F=ma=mg+T2’-T1’＞０
if
if
0<a < g ⇒
T1’ ＞ T2’
a>g ⇒
T1’ ＜ T2’
T1’ =m(g-a)+T2’
問2−8：月は地球の中心から3.8×105km離れている。つきの質量は
7.3×1022kg, 地球の質量は6.0×1024kgである。地球の中心からどれだけ
離れると、物体に働く地球の万有引力と月の万有引力が等しい大きさで逆
向きになるか、物体は地球と月の中間にある。
解答例
式 (2.7)より
GmM
r2
物体の質量をm'、地球の質量をM、
F =−
地球と物体の距離をR、物体と月の距離をr 'とすると
R + r ' = 3.8 ×105 km ・・・・・・ (1)
Gmm'
GMm'
−
=
−
r '2
R2
(1)、(2)より
⇒
R / r' =
R = 3.42 ×105 km、 r ' = 0.38 ×105 km
6.0 ×10 24
M
=
≈ 9.07・・・ (2)
22
m
7.3 ×10
問2−9：質量1kgの２つの金属球の中心距離が10cmのとき、これらの
間に働く万有引力の大きさはいくらか。
解答例
GmM
F =− 2
r
G : 比例定数（重力定数）= (6.67259 ± 0.00085) × 10 −11 m 3 / kg・s 2
(6.67259 ± 0.00085) × 10 −11 (1 × 1)
GmM
2
[
kgm
/
s
]
F =− 2 =−
−2 2
r
(10 × 10 )
= −(6.67259 ± 0.00085) × 10 −9 [ N ] = −6.67 × 10 −9 [ N ]
問2−11：地表から水平と60°の角度をなす方向に初速度
20m/sで投げたボールの到達する距離を求めよ。
解答例
y
v0
θ
0
x
y
vt
v0
α
vx 0 = v0 cos α ...(1)
P ( x, y )
mg
x
v y 0 = v0 sin α ...(2)
P点にある質点に働く力＝重力mg のみだから、運動方程式は
d 2x
d2y
max = m 2 = 0 (3), ma y = m 2 = − mg (4)
dt
dt
a x = 0, vx = v0 x = v0 cos α ... (5)
a y = − g , v y = v0 y + a y t = v0 sin α − gt ... (6)
vx 0 = v0 cos α ...(1)
v y 0 = v0 sin α ...(2)
d 2x
d2y
max = m 2 = 0 (3), ma y = m 2 = − mg (4)
dt
dt
a x = 0, vx = v0 x = v0 cos α ... (5)
a y = − g , v y = v0 y + a y t = v0 sin α − gt ... (6)
v0 sin α
(6)より v y = v0 sin α − gt = 0 , t =
g
2v0 sin α
∴ T = 2t =
g
1
2v0 sin α
2
∴ x = v0 xT + axT = v0 xT = (v0 cos α )
2
g
2v0 sin α cos α v0 sin 2α 202 sin 120°
=
=
=
= 35.3 (m)
g
g
9.8
2
2
Q初期条件より
t = 0 の時, x = 0, y = 0
C 2 = C 2' = 0
dx
dy
= v0 cos α , vy =
= − gt + v0 sin α dt
dt
1 2
x = v0t cos α + C 2, y = − gt + v0t sin α + C 2'
2
∴ vx =
あるいは：
1 2
∴ x = v0t cos α , y = − gt + v0t sin α
2
1 2
y = − gt + v0t sin α = 0
2
2v sin α
t = 0, or t = 0
g
∴ x = v0t cos α = (v0 cos α )
2v0 sin α
g
2v0 sin α cos α v0 sin 2α 202 sin 120°
=
=
=
= 35.3 (m)
g
g
9.8
2
2
問2−１２：初速度voで水平とθの角度をなす方向に投げたボールが、最
高点に到達するまでの時間はvosinθ/g, その高さは(vosinθ)2/２gである
ことを示せ。
解答例
y
最高点では、vt = 0
Q
v0
vt = v0 y − gt ,
v0 sin θ
∴t =
=
g
g
v0 y
0
(v0 sin θ ) 2 / 2 g
θ
v0 sin θ 1 ⎛ v0 sin θ ⎞
1 2
⎟⎟
h = v0 y t − gt = (v0 sin θ )
− g ⎜⎜
2
2 ⎝ g ⎠
g
=
(v0 sin θ )2
2g
x
2
問2−13：地上2.5mのところで、テニスボールを水平に36m/s
の速さでサーブした。ネットはサーブ地点から12m離れていて、
その高さは0.9mである。(1) このボールはネットを越えるか。
(2)このボールの落下地点までの距離はいくらか。
解答例
H3:?
V=36m/s
H1=2.5m
L=12m
H2=0.9m
L’
(1) t = L / v
gt 2
( 2) H 1 =
2
t = 2H1 / g
gt 2
g ( L / v) 2
H 1 − H 3 = 2.5 −
= 2.5 −
2
2
g (12 / 36) 2
= 2.5 −
= 1.96 > 0.9 (m)
L' = vt
2
＊このボールはネットを越える = 36 2 × 2.5 / 9.8 = 25.7 (m)
問2−14：図３のように2枚の金属板A,Bを平行におき、電池の
負極をA,正極をBにつなぐと、AとBの間に電場Eができる。-eの
電荷を帯びた電子（質量m)が速さvで両方の板に平行に飛んで
きて、Cで両方の板の間に入り、Dで出るものとする。
（１）CからDまで通過するのに必要な時間はいくらか
（２）Dから出るとき、大きさeEの電気力のために、AからBの方向
にどれだけずれているか
（３)Dから出ていくときの運動方向を求めよ。
解答例
A
-e
v
L
--------------------------x
C
eE
+++++++++++++++++++
B
D
θ
y
A
-e
v
L
--------------------------x
C
eE
+++++++++++++++++++
(1)
(2)
t = L/v
B
D
θ
y
eE
1 2 1 eE
ma = eE + mg ;
a=
+ g,
y = at = ( + g )( L / v) 2
2
2 m
m
2
eE
eEL
重力を無視すると a =
y=
,
m
2mv 2
eE L
(3) vty = v0 y + at = 0 +
m v
eEL
vty
eEL
mv
θ ≈ tan θ =
=
=
vt x
v
mv 2
θ ≈ tan θ =
vty
vt x
eEL
eEL
mv
=
=
v
mv 2
テイラー展開：
y = f ( x) の x = 0の周りでのテイラー展開は
∞
1
1
1 (n)
2
3
f ( x) = f (0) + f ' (0) x + f " (0) x + f " ' (0) x + ... = ∑ f (0) x n
2!
3!
n = 0 n!
d (tan θ )
2
= (tan θ )' = 1 + tan θ
dθ
f " (θ ) = (tan θ )" = (1 + tan 2 θ )' = (2 tan θ )(1 + tan 2 θ ) = 2 tan θ + 2 tan 3 θ = 0
f " ' (θ ) = (2 tan θ + 2 tan 3 θ )' = (2 + 2 tan 2 θ ) + 6 tan 2 θ (1 + tan 2 θ ) = 2
1 3 2 5
tan θ = θ + θ + θ + .....
3
15
問2−15：水平面と角度θをなす斜面に対し角度αで物体を初速
v0で投げるとき、角度αをどのように選ぶと物体は斜面上を最も遠く
まで到達するか（図4参照）
v0
y
解答例
a x = − g sin θ ,
v0 x = v0 cos α ,
a y = − g cos θ
x
v0 y = v0 sin α
vty = v0 y + a y t = v0 sin α − gt cos θ = 0
v0 sin α
t=
g cos θ
α
θ
mg
Smax
物体が地面に落ちるまでの時間T = 2t
2v0 sin α 1
2v0 sin α 2
1
2
S = v0 x T + a x T = (v0 cos α )
− ( g sin θ )(
)
g cos θ
g cos θ
2
2
2v0 sin α
2v0 sin α cos(α + θ )
=
(cos α cos θ − sin α sin θ ) =
2
g cos θ
g cos 2 θ
2
2
2v0 sin α cos(α + θ )
S=
dS
g cos 2 θ
=0
2
⇒ S = S max
dα
2
2v0
dS
d (sin α cos(α + θ ))
=
dα g cos 2 θ
dα
2
2v 0
=
(cos α cos(α + θ ) − sin α sin(α + θ ))
2
g cos θ
2
2v0
=
cos(2α + θ ) = 0
2
g cos θ
2α + θ = 90°;
α = 45° − θ / 2
2v0 sin α cos(α + θ )
S=
2
g cos θ
2
2v0 sin α cos(α + θ )
v0
S=
=
(sin(2α + θ ) + sin( −θ ))
2
2
g cos θ
g cos θ
2
2
2
v0
=
(sin(2α + θ ) − sin θ )
2
g cos θ
sin( 2α + θ ) = 1, 2α + θ =
π
2
,
α=
π
4
−
θ
2
2sinAcosB = sin(A+ B) + sin(A− B)
問２−１6
水平な道路を後輪駆動の自動車が走っている。自動車に外部から働
くすべての力を図に示せ。自動車の水平方向の運動方程式を記せ。
解答例
ma = F2 − ( F1 + F3 )
ω
v
F 駆動
2−17．スキーのジャンプ場の斜面が水平に対して45°傾いている。
スキーと雪の間の摩擦係数を0.1 , 重力加速度を定数g（m/s2）とし
て次のものを求めよ。(1) スキーヤーの加速度、（２）斜面を40m滑っ
た時点での速度, （３）摩擦がない時の加速度。
解答例：
(1) ma = Fx − f = Fx − µFy
= mg cos 45° − 0.1mg sin 45°
0
y
a = g / 2 − 0.1g / 2 = 6.2 (m / s 2 )
1 2
(2) S = v0t + at , v = v0 + at
2
1 v 2
v
Q v0 = 0, t = , S = a ( ) ,
2 a
a
x
f
Fx
Fy
mｇ
α＝４５°
v = 2aS = 2 × 6.2 × 40 = 22.3 (m / s )
(3) ma = Fx − f = Fx = mg cos 45°, a = g cos 45° = 6.9 (m / s 2 )
2章の概念（後半）の復習
2−5 雨滴の落下とスカイダイビング
（粘性力・粘性抵抗・慣性抵抗・ストークス法則・スカイダイビング）
日本の警察官が所持する拳銃？
弾丸の径：一般9mm,
重量： 11.6g、
発砲速度：319m/sec
真上に発射した時の到達高さは、約5000m,
この距離から空気抵抗を受けながら地上に落ちる場合、地面に到達したとき
の速度は0.688m/sec （約時速2km）
人がゆっくり歩く速度程度で, 弾が当たって怪我をすることはない。
皮膚貫通：
(45m/s)
空気抵抗の２つの原因：粘性抵抗と慣性抵抗
雨滴の落下
（粘性力・粘性抵抗・慣性抵抗・ストークス法則・スカイダイビング）
dv
a=
= −g,
dt
vt
t
∫ dv = − g ∫ dt , v
t
v0
− v0 = − g (t − t0 ), vt = v0 − g (t − t0 ),
if h = 2km = 2000m,
v = 198m / s = 713km / hr
t0
t 0 = 0 → v0 = 0, h = 5km = 5000m
dy
1 2
then vt = v0 − g (t − t0 ) = − gt , vt =
= − gt , y = − gt + C , C = 5000
dt
2
1
10000
y = − gt 2 + 5000,
∴ y = 0の時、 t =
,
2
g
if
vt = − gt = − g
新幹線の時速 :
10000
= 313 (m / s ) = 1127(km / hr )
g
300(km / hr )
エンフィールド38
コルト1911
使用国：米国
使用国：米国
製造年：1926年
製造年：1911年
東海道：１２００ｋｍ／ｈ
最大速度：（251
m/s）
最大速度：183 m/s
粘性力とは：流体と運動物体との間で働く摩擦力のこと
粘性力は速さ v の勾配に比例する
粘性力とは：流体と運動物体との間で働く摩擦力のこと
粘性力τは速さ v の勾配に比例する
τ :速さの異なる流れの接触面の
F
dv
τ = =η
S
dy
単位面積当たりの粘性力の大きさ（N / m 2）
y
x
η (粘度・粘性係数：
) N・s / m 2 = [ Pa・s ]
粘性抵抗 F：
F ∝ − f (η , v, 物体の大きさl）
粘性力のために物体の運動を妨げるような力
dv
2 v
F = Sτ = Sη
= −4πr η = −4πrηv = −bv
dy
r
(b = 4πrη , 粘度ηの流体中を半径rの球が速度νでゆっくりと
運動している場合に作用する粘性抵抗は正確な計算によるとb = 6πrη )
v が小さい時、半径 r の球の粘性抵抗
F = − 6πη rv , (ストークスの法則 )
(球の表面積：4πr 2 )
空気抵抗の２つの原因：粘性抵抗と慣性抵抗
慣性抵抗：流体と物体の相対速度が大きい時の抵抗
（運動物体の後方に渦ができるような場合）
F = −bv
⇒ F = −cv
2
スカイダイビング
飛行機からスカイダイビングする時の慣性抵抗 F=cv2
スカイダイビングする時の運動方程式：
dv
2
dv
c
∑ F = −mg + cv = ma = m dt ... (a)
∫ mg 2 = − m ∫ dt
−v
dv
c
mdv = (− mg + cv 2 )dt ⇒
= − dt
c
mg
m
− v2
c
dx
1
a+x
公式： ∫ 2
=
log
より
2
2a
a−x
a −x
∫
1 c
dv
log
=
mg
2 mg
− v2
c
mg
+v
c
c
= − t +C
m
mg
−v
c
y
∫
mg
1 c
c = − c t + C ...... (1)
log
2 mg
m
mg
−v+
c
v+
dv
c
= − ∫ dt
mg
m
− v2
c
t = 0で v = 0であるような解は：
(1)に代入すると
mg
1 c
1 c
C=
log c =
log1 = 0
2 mg
2 mg
mg
c
dv
2
F
=
−
mg
+
cv
=
ma
=
m
... (a )
∑
dt
mg
v+
−2
c
=e
mg
−v+
c
gc
t
m
mg
終端速度v∞ =
になると、スカイダイバーに働く重力mgと
c
mg
慣性抵抗の合力 mg − cv 2 = mg − c
= 0 (等速運動)
c
v + v∞
v∞ > v ∴
=e
v∞ − v
2 gt
−
v∞
v + v∞
=e
− v + v∞
−
2 gt
v∞
v∞ =
mg
c
v + v∞
=e
v∞ − v
2 gt
−
v∞
⎛
⎜1− e
v = −⎜
2 gt
−
⎜
v∞
⎝1+ e
2 gt
−
v∞
⎞
⎟
⎟v∞ ...... (2 − 54)
⎟
⎠
v∞ =
mg
c
今週の課題
教科書の演習問題2：１７~１９
提出期限：5月18日（金）17：00までに
６回目(2012．5．15）は
ここまで

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