T

■ 1.1
波の式（単純波の標準型）
y = A sin(ωt − kx + δ)
ω
問題文から位相速度は v = = 5.0.
k
図は x = 5(定数) の時の,
縦軸 y 、横軸 t のグラフ
位相が 0 となるのは
t = 0, t = 0.8 · · ·
0
0.2
0.4
0.6
t [s]
2π
したがって周期は T =
= 0.80.
ω
0.8
1
角振動数 ω と波数 k は
2π
5π
=
.
0.80
2
ω
π
位相速度より k = = ,
5
2
周期より ω =
π
5π
y = A sin( t − x + δ).
2
2
初期位相 δ を求める。
5π = π ,(mod 2π).
x = 5, t = 0 で y = 0. − 5π
+
δ
=
0,
δ
=
2
2
2
π x + π ).
したがって y = A sin( 5π
t
−
2
2
2
2π
= 4.0. したがって波長は 4.0 m.
• λ=
k
• t = 0 のとき、y = A sin(− π2 x + π2 ) = A cos( π2 x).
cos(pi/2.*x)
0
1
2
3
4
5
6
x [m]
π x + π ) = −A cos( π x).
• t = 2.0 のとき、y = A sin( 5π
×
2
−
2
2
2
2
-cos(pi/2.*x)
0
1
2
3
x [m]
4
5
6
π ).
• x = 0 のとき、y = A sin( 5π
t
+
2
2
sin(5*pi/2*x+pi/2)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t [s]
x = 0 で y = 0 となるのは
5π t + π t = nπ のとき.
2
2
2 n のとき y = 0.
t = −1
+
5
5
高校流では文字変数は数値であり、単位を含まない。数値だけで計算し
て、最後に言葉で答えを書くとき、単位を別に考えて付けなければなら
ない。
■ 1.2. 縦波：疎密波
dy
縦波の粗密は t が一定の場合の位置-変位のグラフの −
で表される。
dx
縦波
A
B
C
密
D E
疎
y は振動の中心が x にある点での x 方向の変位を表す。
直感的には、点が集まってくる所が密。離れて行く所が疎。
• もっとも密: C.
• もっとも疎: A,E.
グラフにある波形は変位
y = A sin(ωt − kx + π) （ただし A > 0）
の t = 0 でのグラフ
y = A sin(−kx + π) = A sin(kx) である。
1 π + 2nπ 。k = 2π だから, x = λ + nλ.
y が最大になるのは kx = 2
λ
4
媒質の速度は x を定数と思って y を時間 t にかんして微分した
y ′ = Aω sin(ωt − kx + π + 1
2 π)
各点の媒質の速度の t = 0 での値は
3 π) = −Aω cos(kx)
y ′ = Aω sin(−kx + 2
1 π + nπ.
である。y ′ = 0 となるのは kx = 2
dy
.
dt
y ′ が最大になるのは、kx = π + 2πn
したがって
• 媒質の変位が x 方向に最大: B.
• 媒質の速さが 0: B, D.
• 媒質の速さが x の正方向に最大: C.
変位が最大の所で媒質の速度は 0, 変位が 0 で正から負へ移り変わる
ところが媒質の速度は最大になっている。
x + δ),
y = A sin(2π Tt − 2π λ
■ 1.3.
0.2
0.15
0.1
y [m]
0.05
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
x [m]
図より A = 0.2, λ = 0.40, v = 1.0.
• 振幅は 0.20 m, 波長は 0.40 m.
• 速さは 1.0 m/ s,
λ
v = , T = λv = 0.40
T
f = T1 = 2.5.
振動数は 2.5 Hz, 周期は 0.40 s.
T
x
y = 0.2 sin(2π 4 − 2π 4 + δ)
10
10
• t = 0 のとき、y = A sin(−2π x4 + δ).
10
図より δ = π.
y = 0.2 sin(−5πx + π) = 0.2 sin(5πx).
x = 2.0 なら y = 0.2 sin(10π) = 0,
x = 2.5 なら y = 0.2 sin(12.5π) = 0.2 sin π2 = 0.2.
x = 3.0 なら y = 0.2 sin(15π) = 0..
したがって変位は, それぞれ、0.0 m, 0.20 m, 0.0 m.
• t = 0 なら
y = 0.20 sin(5πx).
• t = 0.50 のとき、
y = 0.2 sin(5π · 0.5 − 5πx + π)
= 0.2 sin(−5πx + 4π − 0.5π) = 0.2 cos(5πx)
■ 1.4
y = A sin(ωt − kx + δ)
A = 0.50, ω = 20π, k = 8π, δ = 0.
2π
1
• λ=
= = 0.25. 波長は 0.25 m.
k
4
2π
T =
= 0.10. 周期は 0.10s.
ω
• 角振動数は 20π rad
s .
体系的に単位の決まる国際単位系では 20π s−1.
v=ω
k = 2.5. 速さは 2.5 m/ s
2πt
• x = 0 では y = 0.50 sin(20πt) = 0.5 sin(
)
0.1
0.5
0.4
0.3
0.2
y [m]
0.1
0
-0.1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
t [s]
• t = 0 では y = 0.50 sin(−8πx) = −0.50 sin(
0.5
0.4
0.3
0.2
y [m]
0.1
0
-0.1
0
0.05
0.1
0.15
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
x [m]
0.2
0.25
0.3
2πx
)
0.25
■ 問 2.1
t=0
t=1
一目盛 2 m.
1 m/s で A は右に、B は左にう
ごく。
t = 0 で A、 B は接する。
t=3
t=7
■ 2.2
t
x
A を波源とする波： yA = A sin(2π − 2π + δ).
T
λ
問題文から A = 1.0, λ = 2.0, v = 0.50。
v=
λ
λ
. T = = 4.0。
T
v
x + δ)。
t = 0 のとき、 yA = A sin(−2π λ
問題文の図と比較すると δ = π である。
B を波源とする波は、反対方向に伝わるので
x + δ ′ ).
yB = A sin(2π Tt + 2π λ
問題文に波源は同じ状態とある。
すなわち、A の x = 0 での位相と B の x = 8 の位相は同じ。
t
t
8.0
2π + δ = 2π + 2π
+ δ ′.
T
T
2.0
位相の 2π の差は意味がないので、δ ′ = δ である。
結局
yA = A sin(2π Tt − 2π
λ x + π),
yB = A sin(2π Tt + 2π
λ x + π).
T = 4.0, λ = 2.0.
合成波は
t
x
y = yA + yB = −2A sin(2π ) cos(2π )
T
λ
t
x
= −2.0A sin(2π
) cos(2π
).
4.0
2.0
• (1) t = 0 のとき、
B からでる波は yB = −A sin( 2π
λ x)
合成波は y = 0.
• (2) 節は
2π x = nπ + π , x = λ n + λ ,
λ
2
2
4
節の間隔は 1.0 cm
λ = 4.0. 周期は 4.0 s.
• (3) 2πvT
=
2π.
T
=
λ
v
■ 問 2.3
t
x
A から出る波, yA = A sin(2π − 2π + δ)
T
λ
A = 0.1, v = 1.0,
1
λ
v
= f , v = より λ = だから
T
T
f
f
yA = A sin(2πf t − 2π x + δ),
v
f
t = 0 のとき yA = A sin(−2π x + δ) だから図と比べて δ = 0.
v
x
結局 yA = A sin(2πf (t − )),
v
B から出る波,
t
x
x
′
yB = A sin(2π + 2π + δ ) = A sin(2πf (t + ) + δ ′),
T
λ
v
同じ状態で振動するから A から出る波の x = 0 での位相と B から出る
波の x = l での位相は等しい。
2πf t = 2πf t + 2πf
l
+ δ′ ,
v
結局 yB = A sin(2πf (t +
l
δ ′ = −2πf .
v
(x − l)
))
v
• (1)
x = 0 で yA = 0.10 sin(2πf t),
x = l で yB = 0.10 sin(2πf t)
• (2) A から出る波,
x
yA = A sin(2πf · (t − )) = 0.10 sin(2πf · (t − x)).
v
B から出る波
x−l
yB = A sin(2πf · (t +
)) = 0.10 sin(2πf · (t + x − 2.0)).
v
• (3) 重ね合わせ原理より
l
2x − l
y = yA + yB = 2A sin(2πf (t −
)) cos(2πf
)
2v
2v
= 0.20 sin(2πf (t − 1)) cos(2πf (x − 1))
したがって振幅は 0.20 m, 周期は 1
f s.
(4) f = 2.0 なら y = 2A sin(4πt) cos(4πx).
腹は 4πx = nπ, x = n
4
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
x = 0, 1
,
4 4 4 4 4 4 4 4
答 9 箇所。
t
x
■ 問 2.5 y = A sin(2π − 2π + δ),
T
λ
図より λ = 4.0. δ = π.
v = Tλ = 1. T = λ.
したがって右に進む波は
yR = A sin( π2 t − π2 x + π)
左に進む波は
yL = A sin( π2 t + π2 x + δ ′)
• 固定端: x = 8 で yR と yL は逆位相。
( π2 t − π2 × 8 + π) − ( π2 t + π2 × 8 + δ ′) = π
δ ′ = 0 (Mod. 2π)
y = yR + yL = A sin( π2 t − π2 x + π) + A sin( π2 t + π2 x)
= 2A sin( π2 x) cos( π2 t)
t = 3 で y = 0,
t = 6 で y = −2A sin( π2 x)
• 自由端: x = 8 での同位相.
( π2 t − π2 × 8 + π) − ( π2 t + π2 × 8 + δ ′) = 0
δ ′ = π (Mod. 2π)
y = yR + yL = A sin( π2 t − π2 x + π) + A sin( π2 t + π2 x + π)
== −2A sin( π2 t) cos( π2 x)
t = 3 で y = 2A cos( π2 x),
t = 6 で y = 0.
■ 問 2.6
x + δ) = A sin(ωt − kx + δ).
入射波： y1(t, x) = A sin(2π Tt − 2π λ
図より λ = 12, δ = π.
λ
6.
問題文より v =
= 10. したがって T = λv = 12
=
10
5
T
5 π, k = 2π = π , δ = π.
ω = 2π
=
T
3
λ
6
π x + π)
y1 = A sin( 5π
t
−
3
6
反射波は
π x + δ ′)
y2 = A sin( 5π
t
+
3
6
自由端： x = 15 で同位相.
5π t − π × 15 + π = 5π t + π × 15 + δ ′
3
6
3
6
δ ′ = π − 15π
3 = −4π = 0. (Mod. 2π)
π x)
y2 = A sin( 5π
t
+
3
6
π ) cos(− π x+ π ) = 2A cos( 5 πt) sin( π x)
y = y1+y2 = 2A sin( 5π
t+
3
2
6
2
3
6
(1) t = 0 のとき y = 2A sin( π6 x)
(2) 節： y = 0 となる x. π6 x = nπ, x = 6n. (n は整数)
したがって 0 m, 6 m, 12 m に節がある。
5π t = 2nπ のとき、最大。
t).
(3) x = 15 で y = 2A sin( 5π
3
3
t=6
5 . 1.2 s ごとに最大になる。
(1), (2) の答は煩い計算をしなくても、ただちにわかるが、きちんと計
算して、ただちに分かることを使って検算することが重要。

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