3 基底変換第２講の最後の例で，基底を替えると表現行列が違って見えるということを示しました． 3.1 一般の基底に関する表現行列 f : Rn → Rm を線型写像とします．Rn の基底 p 1 , . . . , p n を選ぶとき f は f (pp1 ), . . . , f (ppn ) ∈ Rm というデータで決まります．Rm のほうにも基底 q 1 , . . . , q m を pj ) を表示することを考えましょう．Rm のベクトル f (ppj ) の q 1 , . . . , q m に選んで各 f (p  b1j  .  .  関する成分ベクトル*1 を   .  とします．つまり bmj   f (ppj ) = b1j q 1 + · · · + bmj q m  b1j   = (qq 1 , . . . , q m )  ...  bmj です*2 ．ここで (m, n) 行列 B を  b11  b21  B= .  .. b12 b22 .. . bm1 b12 ··· ··· ··· ···  b1n b2n   ..  .  b1n と定めると (f (pp1 ), . . . , f (ppn )) = (qq 1 , . . . , q m )B (3.1) が成り立ちます．この行列 B は，Rn の基底 p 1 , . . . , p n および Rm の基底 q 1 , . . . , q m に関する f の表現行列と呼ばれます． Rn についても Rm についても基本ベクトルからなる基底（標準基底と呼ぶ）を選んだとき f の表現行列 A を標準表現行列ということにします． (f (ee1 ), . . . , f (een )) = (ee1 , . . . , e m )A = A なので，第１講で考えた表現行列と一致します．(ee1 , . . . , e m ) は m 次の単位行列であることに注意してください． *1 *2 ガイド §2, p. 7 参照記法については要点と課題（その２）の p. 1 参照． 9 3.2 表現行列の変換法則 A と B の関係を調べましょう．f は A を左から掛ける写像です*3 から f (ppj ) = A p j です．これを横に並べて (f (pp1 ), . . . , f (ppn )) = A(pp1 , . . . , p n ) が得られます．B を定める関係式 (3.1) と合わせれば，結局 (qq 1 , . . . , q m )B = A(pp1 , . . . , p n ) という等式が得られます．ここで Q = (qq 1 , . . . , q m ), P = (pp1 , . . . , p n ) とおくと QB = AP です．P, Q はいずれも逆行列を持つ*4 ので定理 1 (表現行列の変換法則) B = Q−1 AP. が成り立ちます．  2 1  例 1 A= 1 0 1 1 ２組の基底  −1  3 3 3 −1  によって定まる線型写像 f : R → R を考えましょう．R の 0       1 0 1      p 1 = 0 , p 2 = 1 , p 3 = −1 , 1 0 0       0 1 2      q 1 = 1 , q 2 = 0 , q 3 = 0 1 1 1 をとります（どうしてこの基底を選んだかは後で説明します）．A を掛ける計算により f (pp1 ) = q 1 , *3 *4 f (pp2 ) = q 2 , 第１講，定理１．その理由は後述． 10 f (pp3 ) = 0 が確かめられます．したがって p 1 , p 2 , p 3 および q 1 , q 2 , q 3 に関する f の表現行列は   1 0 0 B = 0 1 0 0 0 0 となりました．写像 f によって R3 のベクトルたちが p 3 方向につぶれて，q 1 , q 2 で張られる平面の上に射影されるという図に見えませんか？実際に f : x p1 + y p2 + z p3 → x q 1 + y q 2 を成分ベクトルで表示すると     x x y  → y  0 z と見えます．（例終わり） 3.3 成分ベクトルとの関係 f という写像を成分ベクトルを通してみると，行列 B を左から掛けることです：     x1 x1  ..  φ  ..  n R  .  → x1p1 + · · · + xnpn = P  .  (第２講) xn xn        y1 x1 x1 x1  ..  ψ −1 −1  ..   ..   ..  AP  .  Q AP  .  = B  .  =  .  ∈ Rm → 第１講 ym xn xn xn  f → 発展：以上のことを下記のような「可換図式」で表わすとすっきり整理できます： f V ↑φ −→ W ↑ψ Rn −→ B Rm φ : Rn → V と ψ : Rm → W が成分ベクトルの空間との対応（全単射）を与えていて，f という抽象的な写像（図式の上の段）を成分ベクトルのレヴェル（図式の下の段）で見ると行列 B を左から掛けることになっているわけです．ψ は全単射なので逆写像 ψ −1 があり，その表現行列は Q−1 により与えられます．f は A，φ は P でそれぞれ表現されますので B = Q−1 AP が成り立ちます． 11 3.4 階数標準形への変換次の定理は，一般の線型写像も実は例１のようなものであるということを示しています．とても基本的なものの見方です．定理 2 (階数標準形への変換) f : Rn → Rm を線型写像とする．Rn の基底 p 1 , . . . , p n および Rm の基底 q 1 , . . . , q m が存在して，これらの基底に関する f の表現行列が階数標準形*5 ( B= 1r 0m−r,r 0r,n−r 0m−r,n−r ) p1 , . . . , p n ), Q = (qq 1 , . . . , q m ) とおくとき B = Q−1 AP により与えられる．つまり P = (p が成り立つ．ここで r は f の（基本ベクトルからなる基底に関する）表現行列 A の階数*6 rank(A) である．（証明）A に行の基本変形を繰り返して階段行列*7 A0 まで変形できる（教科書 p. 57, 定理１）．例１に則してその過程を示す：  2 1 1 0 1 1    1 0 −1 −1 −1 −→ 2 1 −1 r1 ↔r2 1 1 0 0  1 0 0 1 0 1 −→ r2 → r2 − 2r1 r3 → r3 − r1 更に，列基本変形で A0 から階数標準形 B   1 0 1 0 −1 A0 = 0 1 1  −→ 0 1 c3 →c3 +c1 0 0 0 0 0    1 −1 1  −→ 0 r3 →r3 −r2 0 1   1 0 1 −→ 0 c3 →c3 −c2 0 0 0 1 0 0 1 0  −1 1  = A0 0  0 0 = B 0 にできる．A から A0 へは m 次正則行列 R の左乗により A0 = RA として，A0 から B へは n 次正則行列 P の右乗により B = A0 P として得られる．Q = R−1 とおけば B = Q−1 AP が得られる．P = (pp1 , . . . , p n ), Q = (qq 1 , . . . , q m ) とすれば QB = AP であり，これは定理の主張を意味する． 3.5 階数標準形に変換する基底の求め方節を改めて階数標準形に変換する基底の求め方を詳しく説明します．引き続き同じ例です．基本変形については「要点と課題（その３）」でも説明しているので参照してくだ *5 この形の行列を階数標準形と呼びます．階段行列に変形して階数を定義する（教科書 p. 57）． *7 行簡約型行列（row echelon form）ともいう． *6 12 さい．行の変形の各ステップに対応する基本行列*8 は以下の通りです：   0 1 0 r1 ↔ r2 : R1 = 1 0 0 0 0 1   1 0 0 : R2 = −2 1 0 −1 0 1 r2 → r2 − 2r1 r3 → r3 − r1  0 0 1 0 −1 1  1  r3 → r3 − r2 : R3 = 0 0 したがって R = R3 R2 R1 です．これから  Q = R−1 = R1−1 R2−1 R3−1 0 1  = 1 0 0 0  0 1   0 2 1 1  0 1   0 0 1 0 0 1 0 0 1 1   2 0   0 = 1 1 1 1 0 1  0 0 1 が得られます．Q = (qq 1 , q 2 , q 3 ) により q 1 , q 2 , q 3 を定めると例１の基底になっていることを確認してください．列の変形の方は  1  c3 → c3 + c1 : P1 = 0 0  1 0 , 1 0 1 0   1 0 0 c3 → c3 − c2 : P2 = 0 1 −1 0 0 1 なので，P = P1 P2 として同様に p 1 , p 2 , p 3 が求まります．系 1 (行簡約形への変換) (m, n) 型行列 A に対して m 次の正則行列 R を左から掛けて RA = A0 が行簡約形（階段行列）になるようにできる．この系は連立１次方程式の解を考えるときに重要です．A x = 0 と A0 x = 0 が同値になるからです． *8 (m, n) 行列 A に行の基本変形 α を行うことは，単位行列 1m に α を施して得られる行列 Eα を A に α α 左乗することと同じです．つまり A −→ A ならば 1m −→ Eα とするとき A = Eα A が成り立ちます．列についても同様です．この単純な事実をはっきりとわかりやすく述べている教科書を知りません． 13