ダイナミカルシステムの安定性ダイナミカルシステムの安定性キーワード：安定性，フルビッツの安定条件連分数分解法, ラウスの安定条件学習目標：システムの安定性の概念を理解する．また，システムが安定か否かを伝達関数の係数から簡単に判別するフルビッツの安定条件，連分数分解法, フルビッツの安定条件などを習得する． 1 ダイナミカルシステムの安定性安定性（有界入力有界出力安定（BIBO 安定））有界な大きさの任意の入力（ | u(t ) |  ）に対して，その出力がやはり有界（ | y(t ) |  ）であるとき，安定という．   0 | g (t ) | dt   安定でない＝不安定 u y G (s ) 図 4.1 線形ダイナミカルシステム 2 安定性：（実際には）ステップ入力する応答が，一定値に収束すること［例］ Ga ( s )  1 s2  s 1 1 s 2  0.1s  1 0 5 3 1 .5 2 y (t ) y (t ) 1 0 .5 0 Gb ( s )  1 0 1 0 5 t 10 15 （a）安定なシステムの応答 t 10 15 （b）不安定なシステムの応答図 4.2 ステップ応答例 3 Im 安定性の必要十分条件  i （条件）すべての極の実部が負 n n1 M N i 1 i 1 D(s)  an s  an1s   a1s  a0 Re  i 0 (an  0)  an (s   i ) (s 2  2i s  (i2  i2 )) 安定性の必要条件（条件）すべての係数 an , an1 ,, a0 が正 4 ［例］（必要性） D1 (s)  s5  s 4  3s3  2s 2  6s  2 1 1  3  2  6  2 （係数条件： OK） D2 (s)  s5  s 4  6s3  3s 2  4s  1 1 1  6  3  4 1 （係数条件： OK）共に安定か？ D1 (s)  0 の根 0.56  1.37 j,  0.89  1.33 j,  0.35 不安定 D2 (s)  0 の根  0.26  2.21j,  0.10  0.85 j,  0.28 安定係数条件は必要だが、それだけでは十分ではない． 5 フルビッツの安定条件 D(s)  a0sn  a1sn1   an1s  an  0 H a1 a3 a5 a7 a0 a2 a4 a6 0 a1 0 a0 a3 a2  0     (a0  0)   0 a5 a4  0  0    an an4 an2 0 ( n  n) 6 （左上の） k  k の主座行列式 H k (k  1 ~ n) H1  a1 (| a1 |) a1 a0 a3 a2 a1 H 3  a0 a3 a2 a1 H2  0 H a5 a4 a3 a1 a0 a3 a5 a7 a2 a4 a6  0  0 0 a1 a3 a5  0 0 a0 a2 a4  0  0       an4 an2  an  安定性の必要十分条件（条件）（i） H1 ~ H n がすべて正（ii）すべての係数 a0 , a1,, an が正 7 ［例題 4.1 ］ D(s)  s3  a2 s 2  a1s  a0 a2 a0 0 H  1 a1 0 0 a2 a0 H1  a2  0 a2 a0  a2a1  a0  0 H2  1 a1 a2 a0 0 2 a 0 1 H3   a2a1a0  a0 1 0 a2 a0  a0 (a2a1  a0 )  a0 H 2  0 a2  0, a1  0, a0  0,a2 a1  a0  0 安定 8 ［例題 4.2 ］ D(s)  s  s  6s  3s  4s  1 5 H 1 1 0 0 0 3 6 1 1 0 4 1 4 3 6 1 3 0 0 1 4 3 0 0 0 0 1 2 H1  1 1 3 H2  1 6  1 6  1 3  3 1 3 1 H3  1 6 4 0 1 3 H4  9 よって  18  1  9  4 6 H5  9 H1  1, H 2  3, H3  6, H 4  9, H 5  9 すべて正よって安定 9 連分数分解法 D(s)  a0sn  a1sn1   an1s  an  0 D0 ( s)  a0s  a2 s n ２つの多項式に分解 D1(s)  a1s 計算： D0 ( s)  α1s  D1 ( s) α2 s   a3s  a4 s n3 n4  a5s  n5  1 1 α3s   安定性の必要十分条件（条件） n1 n2 (a0  0) 1 1 αn 1s  αn s （i） α1 ~ αn がすべて正（ii）すべての係数 a0 , a1,, an が正 10 ［例題 4.3 ］ D( s)  2s3  s2  4s  1 D0 (s)  2s  4s 3 D1 ( s)  s2  1 D0 ( s) 1  2s  1 1 D1 ( s) s 2 2s よって 1 α1  2, α2  , 2 すべて正 α3  2 よって安定 11 ラウスの安定条件 D(s)  a0s  a1s n n1 ラウス表 s s s n R11 n 1 n2 R21 a0 R31 a1 R12 R22 R32 a2 a3   an1s  an  0 R21 R12  R11 R22 R31   R21  R32  R21 R13  R11 R23 R21 R13 R14 R23 R24 R33   （存在しない項は 0） s n 3 R41 R42 R43        Rn1 1 Rn1 2 0 Rn 1 0 Rn1 1 0 s s 2 s0 ラウス数列 (a0  0)  R31 R22  R21 R32 R41  R31 R31 R23  R21 R33 R42  R31 12 安定性の必要十分条件（条件）（i）ラウス数列がすべて正（ii）すべての係数 a0 , a1,, an が正＝ラウス数列の正負の符号の反転回数不安定根の数 13 ［例題4.4 ］ D1 (s)  s5  s 4  3s3  2s 2  6s  2  0 5  1 3 6 s4  1 2 2 s s 3  s2  s 1 s 0   1 3  1 2 1 1 1 2  1 4 2 1  2  4  1 2 5 2 5  2  (2)  0 2 5 1 6  1 2 4 1 1 2  1 0 2 1 不安定不安定極は 2 個 14 ［例題4.5 ］未定係数 K （ゲイン） D(s)  s3  2s 2  s  K s3 1 1 s 2 2 K s 1 2  1  1 K 2  K  2 2 s 0 (2  K )  K  2  0 K 2K よって 2 K  0 かつ  2 K ある行に正の数をかけてもよい K 0  0  K  2 ならば安定 15 ［例題4.6 ］ D2 (s)  s5  s 4  6s3  3s 2  4s  1 s5  1 6 4 s 4  1 3 1 s 3  s 2  s1  s0  1 6  1 3 3 1 3  3  1 3 2 3 2  3  3 1 1 .5  2 1.5 1  2  0 1 1.5 1 4  1 1 3 1 3  1  1 0 1 3 よって安定 16