量子力学II 名城大学理工学部材料機能工学科名城大学･理工学部･材料機能工学科いわやもとあき岩谷素顕 1 講義中のルール私語厳禁！講義に集中！（他事禁止) 2 発見した場合⇒1発退場前回の復習光の粒子性 3 James Clerk Maxwell 光が電磁波であると予言 Heinrich Rudolf Hertz 電磁波の放射の存在を、それを生成する機械の構築によって実証電磁波波の進行方向波長電界ベクトル電界ク 4 磁界ベクトルこの現象を物理的に説明するためには？光の波動性ある振動数でピークを持つある振動数でピクを持つ http://www2.edu.ipa.go.jp/gz/s1pian/s p p g jp g p 1g2/s1g21/IPA-pia200.htm 光光の強ささ U 高温低温赤 5 振動数  紫 Max Planck 量子仮説プランクの式は実際と良く一致高温光の強ささ U 8h U [ , T ]  d  3 c 3  h   d   1 eexpp  k BT  なぜか？低温エネルギー量子の考え赤紫振動数  6 E  nh (n: 整数) 電磁波のネルギは電磁波のエネルギーは hの整数倍？ h：プランク定数光量子仮説 1900 Planckの放射則 Pl kの放射則 ⇒ 実験結果と完璧に実験結果と完璧に一致、致ただし理由が分からない Planckの考察：エネルギは連続ではなくhという不連続の値 Planckの考察：エネルギーは連続ではなくhという不連続の値量子仮説世間の反応当時の光の考え方 •光の波動説→相反 1905 Einstein 光量子説により光電効果を説明 ⇒ Planckの量子仮説の後押し Max Planck Albert Einstein http://www.atfan.com/einstein/LIFE/eins4.htm http://www.free-definition.com/Max-Planck.html 7 光の重性光の2重性光光には2つの性質がある性質あ波の進行方向波長波動性詳細は電気磁気学３で電界ベクトル磁界ベクトル粒子性 8 E  h  hc  ：光子1個の持つエネルギー h：プランク定数 ν：光の振動数 c：光の速さ λ：光の波長演習問題  太陽電池太陽電池について考える考える定数プランク定数 h=6.626×10-34[J･s] 電子の素電荷 e=1.602×10 e 1 602×10-19[C] 電子の静止質量 m=9.106×10-31[kg] 光速 c=2.998×108[m/s] 波長450nm、光強度1Wの青色光がある。この青色光を太陽電池に照射した時に発生する光電流は最大でいくらになるか？計算しなさい 450nmの光子1個のエネルギーは？ E  h  hc   4.414 10 19 J  WとJの関係は？ 1ワットに1秒を掛けたものがジュール 1Wの光の中に光子は単位時間当たり何個存在するか？ 1W   2.265 1018 s 1 4.414 10 19 J  Ws    9 1Wで発生する光電流は？   2.265  1018 s 1  1.602 10 19 C   0.363A 電磁波の種類 400nm 10 500nm 600nm 700nm 太陽電池における光吸収過程太陽電池における光吸収の過程光のエネルギー>バンドギャップエネルギーの場合 ①非平衡状態バンド内緩和（熱の放出）伝導帯光のエネルギー ②準安定状態光波の進行方向波長電界ベクトル磁界ベクトル 11 太陽電池の場合：電圧は半導体のバンドギャップによって決まる電流は光子の数によって決まる原子の構造について考える構造考る 12 蛍光灯などの放電管蛍光灯の発光原理 13 輝線の原理大きなエネルギーを持った電子が低エネルギーに移動する時に発するバルマー系列ライマン系列 14 水銀からの発光は？水銀からの発光は太陽光線太陽光線は連続スペクトル水素放電などにより励起された水素は輝線スペクトル水銀銀放電などにより励起された水銀も輝線スペクトル波長(×10-7m) 詳細 15 http://sapphire.pc.uec.ac.jp/~yamadac/zenki2004/modphysch12/ 水素原子の輝線スペクトルは？ 1 1 1  RH 2  2  m n :波長  波長 RH:水素のリュードベリ定数 =1.09677691×10 1 09677691×107 m-1 m,n: 整数 m=1、n=2,3,4･･･ライマン系列 m=2、n=3,4,5･･･、 , , バルマー系列ル系列 m=3、n=4,5,6･･･パッシェン系列スペクトル線の波長が、整数によって定められている原子の状態が整数によって規定されていることを示唆 16 古典論では説明できない？？この現象をどのように考えたら良いか？象をどう考た良輝線スペクトルは何によって決まるのか？ 17 当時(1910年頃)の原子の考え方正電荷プリンこちらの説が支配的マクスウェルの電気磁気学によれば、負の電荷の電子とマクスウェルの電気磁気学によれば負の電荷の電子と正の電荷を持った原子核が存在する場合、円運動をしながら引き付けられ光を放出することになる。がら引き付けられ光を放出することになる 18 放射能を使た実験放射能を使った実験 19 代表的な放射線 http://www.bousai.ne.jp/vis/bousai_kensyu/glossary/a05a.html α線の発声方法線の発声方法 α崩壊によって発生する代表的なα崩壊 U  Th  He 238 92 20 234 90 4 2 2 原子による線の散乱原子による線の散乱実験の概要衝突した粒子の大部分はまっすぐ前方に直進しますが、ごくたまに90 が、ごくたまに90° 以上にもなる大きな角度に散乱される粒子がある 21 http://www.kutl.kyushu-u.ac.jp/seminar/MicroWorld/Part2/P23/alpha_particle.htm この実験結果から考えるとの実験結果から考えるとこのモデルでは説明できない従来の説正電荷プリン土星の輪 22 ラザラザフォードの線散乱の実験ドの線散乱の実験ラザフォード 1911 ラザフォードラザフォドの原子模型当時の世間の研究者の反応：マクスウェルの電気磁気学によれば、電子のような電荷を持ったものが円運動すると光を出す。が運動すると光を出すすなわちラザフォードの原子モデルでは、１億分の１秒で電子は光を出してエネルギーを失い陽子に引き寄せられて潰れてしまうを出してエネルギーを失い、陽子に引き寄せられて潰れてしまう。 ⇒ 「ラザフォードの原子モデルが間違っている」 23 Bohrの仮説仮説この課題をどのように考えれば良いかをはじめて説明することに成功若き頃のボーアお札になったボーア 24 Bohrの仮説の仮説電子ラザフォードの原子モデルの問題：荷電粒子である電子(マイナス)が原子核（プラス）の周りをまわっている時に、電磁波を放出してしまうと考えること ⇒Bohrはある特定の軌道を電子がまわっている時（定常状態）には円運動を行っても電磁波を放出しない電磁波を放出なと仮定した 25 原子核 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Bohr_Niels.html Bohrの仮説の仮説 ① 電子は特定安定な軌道上だけを運動し電子は、特定の安定な軌道の上だけを運動し、この軌道上を運動軌道上を運動する場合には光を放出しない。これを定常状態と呼ぶ。定常状態の軌道を半径の円とすれば態の軌道を半径aの円とすれば、電子（質量:m、速度:v)の角運動量Lの2倍が、プランク定数の整数倍に等しいク定数整数倍に等し角運動量 n  1,2,3    2L  2mva  nh　26 Bohrの仮説の仮説 ② 2つの定常状態の間の遷移によって放出 (または吸収)される光の振動数は、振動数条件 h  E   E  によって決まる．ここで h はプランク定数， E’，E” はそれら２つの定常状態のエネルギーの値である。 27 Bohrの仮説の仮説 ③ 定常状態において、電子は古典論の法則に従う。そして，古典論で許される可能な運動のうち，量子条件  pdq  nh(n  1,2,3,  ) を満たす状態のみが定常状態として許される。ただし，p は電子の運動量，q 動，q は座標変数であり，積分は電子の標変数あ，積軌道に沿って1周期にわたるものとする。 28 Bohrの仮説はなぜ起きるのか？仮説なぜ起きるかこれを説明したのがDe Broglieの物質波の概念 L i De Louis D Broglie B li 29 ドブロイの机上仮説物質波は存在するのか？ 1911 ラザフォード(米) アルファ線の放射、原子モデルの提唱 1913 ボーア(丁抹)、ボーアの仮説 1923 ドブロイ(仏) 物質波 1926 シュレーディンガー(独) 波動力学=量子力学 1927 ハイゼンベルグ(独) 不確定性原理 1927 ダビッソン・ジャーマー(米) Ni結晶による電子線回折の発見 30 2-15 L i De Louis D Broglie B li http://www.sigu7.jussieu.fr/hpr/fldb-lbroglie.html ド･ブロイ「物質波」の概念巨視的微視的電磁波(光) 波動性粒子性電子・陽子電子陽子粒子性波動性? L i De Louis D Broglie B li  電子や陽子は、微視的現象では波動として振舞うのではないかと考え、この波動のことを物質波と呼んだ。 31 ドブロイの物質波光のエネルギー（フォトンのエネルギー）光のネルギ（フォトンのネルギ） E [J]= h h：プランク定数[Js] ：振動数[Hz] 波長[m]を使って書き直すと波長を使書き直すと c Eh (cは光速[m/s]) mcが運動量p が運動量  光のエネルギーは、相対論的には運動量pを用いて E = cp ボーアは、相対論(E=mc2)を用いた。と書くことができる。これにより次の関係が導かれる 32 Eh c   cp ⇔ p  h  ドブロイの物質波の実験的証明 1927 Davisson & Germer 電子線回折実験電子のエネルギー測定のため真空中のNiに電子線を照射 ⇒表面が酸化していることに気づき、 Niを加熱 ⇒回折パターンが出来ることを発見。 Clinton Joseph Davisson, Davisson Lester Halbert Germer 余談：真空中の加熱による表面酸化物の除去 ⇒現在の分子線エピタキシ法では般的 ⇒現在の分子線エピタキシー法では一般的 33 ダビッソンとジャーマーによる電子線回折実験 54Vで加速した電子線 50°で強度のピークが存在回折現象？ 34 1927 George Paget Thomson (英) 電子線回折実験に成功 1928 菊池正士（きくちせいし、日) 雲母を用いて電子線回折に関する実験に成功電子を発見した息子、 J. J. Thomsonの息子、 G. P. Thomson (親子でノーベル賞) 電子の粒子性と波動性菊池正士が得た雲母薄膜からの電子線回折像 35 http://www.kgt.co.jp/avs_conso/event/vc10/summary/data/key2.pdf 他にも様々な実験で電子の波動性は実証されている電線電子線源電子線を2つの経路に分ける電子を映し出す 36 ここの像がどう変わるか？変わる http://www.kgt.co.jp/avs_conso/event/vc10/summary/data/key2.pdf 映し出された像 (a→eにしたがって電子の個数増) が個数増もし電子が粒子だと仮定したら両方の行路を通ることはないので 1つの行路でも同じようになるはず 37 http://www.kgt.co.jp/avs_conso/event/vc10/summary/data/key2.pdf 行路が一つしかない場合縞模様とはまったく異なる像になる電子波を表す関数球面波状の波となて重なり干渉球面波状の波となって重なり干渉電子  r , t  現象を良く説明能説明可能 Erwin Schrödinger 38 2つスリットがある場合電子波の方程式はどのように表わすのか？ De Broglieが出した式から順番に考えて行きましょう 39 今まの内容今までの内容  電磁波（光)と電子の考え方 L i D Louis De B Broglie li 巨視的微視的電磁波(光) 波動性粒子性電子・陽子粒子性波動性電子線回折・干渉など実験的に確認ドブロイの物質波 40 p h  次の問題電子の性質をどうやって式で表すか？電子波を表す関数  r , t   問題点  粒子性  波動性の両方を満たす式が必要  r , t  これをどういう関数で考えるか？実在的波動で考えてみると？矛盾 41 電子波を表す関数表  r , t  これをどういう関数で考えるか？実在的波動？矛盾一つの電子が二つに分割しない限り説明ができない。り説明ができない  r , t  :波動関数  r , t dr 42 :ある時刻tで位置rと r drの間にある電子 r+drの間にある電子波の状態を表す確率波の考え方電子波の波動関数の矛盾点を解消するために電子波の波動関数は確率波すなわち、確率についての波である定義時刻tに電子の位置の測定を行う時、点rを含む微小体積drの中に電子が見出される確率(r,t)drは ( , ) 共役複素数 Max Born  r , t dr   r , t  r , t dr   r , t  dr 2 * に等しい等 43 規格化条件この関数に、対して適当な係数をかけることによって、電子の存在確率を表す  r , t dr   r , t  r , t dr   r , t  dr 2 *   r , t dr    r , t  2 dr  1 全範囲の存在確率を積分すれば1 が成り立つ。上記のようになるように関数の係数を定めが成り立つ上記のようになるように関数の係数を定めることを規格化するという。あとで出てくるが、自然界に存在する波動関数は全て規格化されている在する波動関数は、全て規格化されている。 44 波動関数はどういう関数か？波動関数はどういう関数か  r , t  dr 電子の存在確率を表す 2 確率波は1個の粒子に対する波で 1個の粒子に対してどち波で、1個の粒子に対してどちらのスリットを通る可能性も残しておりその両スリットを通過しており、その両スリットを通過した波が干渉する。日常生活から考えると非常に違和感がある 45 これをどう考えれば良いか？ば a b aを通る状態X、bを通る状態Y aを通る状態X bを通る状態Y を定式化するとした場合、直交する2つの複素ベクトルを選べば定式化できる Y 虚状態ベクトル X 実一般に量子力学の状態は複素空間によって記述される 46 波長λの波があったとする。位置をxとすれば、があば y 同じ値 A 場所場所x[m] 0 波長 [m] この時 expを用いて波を表わせばこの時、expを用いて波を表わせば 47  2  x   A exp i    のように書ける x   A expikx  のように書ける。  周期Tの波があったとする。時間をtとすれば、があ時ば y 同じ値 1/Tが振動数 A 0 時間t[s] 周期T [s] この時、expを用いて波を表わせば 48  2  t   A expit  のように書ける。う書 T    t   A exp i 量子力学における量力学おる状態・物理量・測定値古典論とは根本的に違うところがあるので注意 49 約束事量力学約束事=量子力学の4つの要請請量子力学には約束事がある。約束事は自然の摂理に基づいている要請要請とは「公理のように自明ではないが、う自明な、証明不可能な命題で、学問上もしく、学問は実践上原理として承認されているもの」 ※約束事は必ず覚えること 50 古典力学では・・・系の状態・物理量・測定値態物定値系の状態は位置と運動量が決ま決れば状態が決まる状態 E 物理量測定量 1 2 mv  V (r,tt ) 2 測定値も物理量と同等になる古典力学 51 量子力学では・・・状態物理量測定値を明確に分ける状態・物理量・測定値を明確に分ける状態波動関数 52 物理量測定量演算子期待値固有値量子力学期待値：ある現象に対して多数回の測定を行い、測定値の平均量子力学の要請(1) 状態と波動関数系の状態は、粒子の座標、例えばx,y,zおよび時間t の関数である波動関数(x,y,z,t)によって表される。この波動関数は般に複素数となり、粒子の存在この波動関数は一般に複素数となり、粒子の存在している領域で1価の滑らかな関数であり、適当な境界条件を満足している。な境界条件を満足している 1価の滑らかな関数：粒子の存在する領域で波動関数及びその次の微係数が連続関数及びその一次の微係数が連続 53 量子力学の要請(1) 状態と波動関数時刻tにおいて、点(x,y,z)を含む体積素片dv(=dxdydz)の中に粒子が見出される確率をP(x y z t)dvとおくと子が見出される確率をP(x,y,z,t)dvとおくと 2 P( x, y, z , t )dv   ( x, y, z , t ) dv 定義:波動関数は確率波を表す比例定数をcとして、粒子が存在している領域(全空間もしくは周期的空間の1周期）で積分する  P( x, y, z, t )dv   c ( x, y, z, t ) 2 dv  1 粒子の存在確率 c 54 1   ( x, y, z, t ) dv 2 量子力学の要請(1) 状態と波動関数 2 P( x, y, z , t )dv  c ( x, y, z , t ) dv c 1   ( x, y, z, t ) dv 確率密度関数規格化波動関数 2 P ( x, y , z , t )   ( x, y , z , t ) 2   ( x, y, z, t ) dv 2   ( x, y, z, t ) dv  1 2 粒子の存在確率を全領域において積分すれば必ず粒子は存在するので、波動関数は規格化されているものを扱う。 55 量子力学の要請(2) 物理量と演算子古典論における基本的な物理量に対して、以下の表に示す演算子が対応する。物理量座標(位置) x y z px 運動量 py pz 56 エネルギー E 演算子 xˆ  x yˆ  y zˆ  z  x  pˆ y  i y  pˆ z  i z pˆ x  i  Eˆ  i t ハットつけない場合もあり演算子の意味演算子は、ある波動関数に作用して、これを他の波動関数演算子はある波動関数に作用してこれを他の波動関数に移し変える働きをしている。例 pˆ xという演算子はsin nx → n cos nxに移し変える pˆ x sin nx  i pˆ x  i 例  x pˆ x という演算子はcos nx → -n sin xに移し変える pˆ x cos nx  i 57  sin nx  in cos nx x pˆ x  i  cos nx  i n sin nx  x  x この例では関数の射影をしている演算子の意味固有関数固有値固有関数、固有値 pˆ 2 2m をsin nxに適用すると、 2 2 2 2 n 2 2   sin nx   sin nx  sin nx 2 2m 2m x 2m 運動エネルギー演算子 sin nxを定数倍するだけ演算子を作用させても、関数の形が変わらないとき、この関数をその演算子の固有関数という。そして演算によって現れた係数を固有値という。数を固有値という固有値というのは実際に観測可能な物理量であり実数を取る固有値というのは、実際に観測可能な物理量であり実数を取る。 58 量子力学の要請(3) 学請波動関数と波動方程式波動関数は、次のシュレーディンガー方程式を必ず満足しなければならない。 Hˆ   Eˆ  エネルギー演算子ネルギ演算子ハミルトニアン演算子  2 2   ( x, y, z , t )    ( , , , ) ( , , , )  V x y z t  x y z t  i   2 m t   59 量子力学の要請(4) 測定値・固有値・期待値演算子Âを波動関数に作用させた時、 ( 定数) Aˆ   a　(a:定数) の関係が成立する場合、即ちがÂの固有関数であるとき、の状態で物理量Aを測定すると Âの固有値aが測定値として得られる。物理量Aを測定すると、 Â 固有値が測定値とし得られる yがÂの固有関数でないときは、測定値としてはÂの固有値a1, a2, a3,・・・・のいずれか・・・・のいずれか一つの値が得られつの値が得られ、その平均値はその平均値は ˆ  ψA ˆ ψ  A *ˆ ψ  Aψdv * ψ   ψdv で与えられるこれを期待値と呼ぶで与えられる。これを期待値と呼ぶ。 60 の複素共役関数期待値とは何か？期待値とは何か数学的な期待値（きたいち）とは確率と確率変数を掛けた総和を取ったものを掛けた総和を取たものである典型的な例：サイコロを 1 回振るものとして、その時に出る目の期待値はいくらか？ •サイコロを振った時 1～６の出る確率は？：1/6 •出る目の期待値は？ 1 1 1 1 1 1 1  2   3   4   5   6   3.5 6 6 6 6 6 6 •出る目の期待値⇒３５ •出る目の期待値⇒３．５ 61 量子力学の期待値とは何か？電子線源電子線を2つの経路に分ける電子を映し出す 62 ここの像がどう変わるか？ http://www.kgt.co.jp/avs_conso/event/vc10/summary/data/key2.pdf 期待値とは？期待値とはどのようにイメージするのか？期待値が大きい期待値が小さい 1回の測定で得られることが予言できないがたくさん測るとその付近の測定いが、たくさん測ると、その付近の測定値が得られる 63 http://www.kgt.co.jp/avs_conso/event/vc10/summary/data/key2.pdf 波動関数と固有値、期待値のまとめ電子などの粒子の状態は波動関数で表される波動関数の例: i   r,t   a exp  pr  Et    実際には、これは観測されることはない。観測できるのは、固有値、期待値（物理量なので実数） Aˆ   a　(a:定数) Aˆ  64 * ˆ   Adv  * dv 固有値期待値演習考えみましう演習で考えてみましょう演習1 波動関数  x   2 n sin x0  x  l  l l 他の領域は(x)=0 について考える。 (1) 運動量の2乗p2の期待値<p2>を求めなさい (2) (1)を用いることによって、エネルギーの期待値E= (1)を用いることによってエネルギの期待値E= <p2>/2mを求めなさい 65 考え方 n 2 sin x0  x  l  この波動関数は規格化してある。 l l  x   Aˆ  * ˆ   Adv *   dv   * Aˆ dv =1 1 これを計算算求めたいのはp p2の期待値<p 期待 p 2>  pˆ x  i x 66 p 2 2 d      *  x   i    x dx を計算すればよい 0 dx   l (2)は(1)が解ければすぐに計算可能 p2 p  2 2 d      *  x   i    x dx 0 dx   l l 0 2 n sin l l 2 l n   sin l 0 l  n       l    2 2 d   x   i  dx   2 n sin xdx l l 2   n 2 l n 2 d   x  1 sin xdx  sin x 2 2   dx  l l 0 l   l 0 2 n 2 n  n  sin x sin xdx   2   l l l l  l    2 2 p2  2  n  E    2m 2m  l  2 今日のまとめ  光の2重性  粒子の2重性  ボーアの仮説ボアの仮説  ド・ブロイ波  波動関数  期待値・固有値それぞれ何を良く解まょうそれぞれが何かを良く理解しましょう 68 2 2 n  n  xdx   sin l  l     n       l  エネルギーの期待値Eは   2 l   *dx 0