プリントの問題

解析 B 演習 Quiz 0∼5
5 章 1. 次の値を求めよう．
− sin2 x
cos2 x − 1
=
lim
= −1
(1) lim
x→0
x→0
x2
x2
2
x − 3x + 2
(x − 2)(x − 1)
x−1
1
(2) lim
= lim
= lim
=
2−4
x→2
x→2 (x − 2)(x + 2)
x→2 x + 2
x
4
√
√
1+x− 1−x
1 + x − (1 − x)
2
√
√
(3) lim
= lim √
= lim √
=1
x→0
x→0 x( 1 + x +
x
1 − x x→0 1 + x + 1 − x
sin−1 x
y
1
(4) lim
= lim
= lim sin y = 1
x→0
y→0
y→0
x
sin y
y
sin 3x
= lim
x→0
x→0 sin 2x
(5) lim
sin 3x
3x
sin 2x
2x
·
3
3x
=
2x
2
2. 次の関数が x = 1 で連続になるように，f (1) を定義しよう．
x2 − 1
(1) f (x) =
x−1
2x2 + 1, x < 1
3x3 ,
x>1
(2) f (x) =
(1) f (1) = limx→1 f (x) となるように定義すればよい．よって，f (1) = limx→1
x2 −1
x−1
= limx→1 (x + 1) = 2
(2) f (1 − 0) = limx→1−0 (2x2 + 1) = 3, f (1 + 0) = limx→1+0 3x3 = 3 したがって，f (1) = 3.
6 章 1.
(1)
(1)
(2)
次の関数の導関数を定義に基づいて求めよ．
f (x) = c
(x)
f (x) = limh→0 f (x+h)−f
= limh→0 c−c
h
h =0
√
√
x+h−1− x−1
h √
f (x) = limh→0
= limh→0 h(√x+h−1+
=
h
x−1
(2) f (x) =
√
x−1
√1
2 x−1
2. 次の関数の導関数を求めよ．
(1) y = 11x5 − 6x3 + 8 y = 55x4 − 18x2
(2) y = (x2 − 1)(x − 3) y = (x2 − 1) (x − 3) + (x2 − 1)(x − 3) = 2x(x − 3) + x2 − 1 = 3x2 − 6x − 1
2
2
2
x2 − 1
−1)(2x+3)
+6x+2
(3) y =
y = (x −1) (2x+3)−(x
= 2x(2x+3)
2
(2x+3)2
2x + 3
2 x
2
x
2 x
x
2 x
(4) y = x e y = (x ) e + x (e ) = 2xe + x e = (x + 2)xex
2
)
√
(5) y = 1 + (2x − 1)2 y = (1+(2x−1)
= √ 2(2x−1) 2
2
2
1+(2x−1)
1+(2x−1)
3. (1) 曲線 y = x3 − 3x の点 (0, 14 ) を通る接線の方程式を求めよ．
x3 −3x −1/4
(x0 , x30 − 3x0 ) と点 (0, 14 ) を結ぶ直線の傾きは， 0 x00
．また，点 x = x0 での曲線 y = x3 − 3x の接線の傾きは 3x20 −
x30 −3x0 −1/4
x0
= 3x20 − 3．これを解くと，x0 = − 12 . したがって，求める接線の方程式は y = − 94 x + 14 .
(2) 点 ( 12 , 0) から曲線 y = xex に引いた接線の方程式を求めよ．
tet
x
曲線 y = xex 上の接点を (t, tet ) とすると，接線の傾きは t−
+ xex |x=t = et + tet で
1 . また，接線の傾きは y |x=t = e
いから，
tet
t− 12
2
= et (t + 1)．これを解くと，t = 1, − 12 を得る．t = 1 のとき，接線の方程式は y = 3ex − e, t = − 12 のとき，y = 12 e−
7 章 1. 次の関数の導関数を求めよ．
(1) y = (x2 + 1)2006 y = 2006(x2 + 1)2005 (x2 + 1) = 4012x(x2 + 1)2005
1
(2) y = (x2 + 2 )3 y = 3(x2 + x12 )2 (x2 + x12 ) = 3(2x − x1 )(x2 + x12 )2
x
(3) y = [(2x + 1)2 + (x + 1)2 ]3
y = 3((2x + 1)2 + (x + 1)2 )2 ((2x + 1)2 + (x + 1)2 ) = 3((2x + 1)2 + (x + 1)2 )2 (2(2x + 1)(2) + 2(x + 1)) = 3(10x + 6)((2x
(4) y = x2 log x y = 2x log x + x2 x1 = 2x log x + x
(5) y = x3 sin 2x
y = 3x2 sin 2x + x3 (2 cos 2x) = x2 (3 sin 2x + 2x cos 2x)
2
(6) y = sin−1 (2x) y = √ (2x) 2 = √1−4x
2
1−(2x)
√
x
(ex +1)
e
x
(7) y = e + 1 y = 2√ex +1 = 2√ex +1
(8) y = x3 tan 2x y = 3x2 tan 2x + x3 (2 sec2 2x) = x2 (3 tan 2x + 2x sec2 2x)
(x2 +1)
2x
(9) y = tan−1 (x2 + 1) y = 1+(x
2 +1)2 = 1+(x2 +1)2
(10) y = esin x y = esin x (sin x) = cos xesin x
8 章 1. 対数微分法を用いて次の関数の導関数を求めよ．
(1) y = x2x log y = 2x log x より， yy = 2 log x + 2x x1 . よって，y = 2x2x (log x + 1)
(2) y = (2x)x
2
log y = x log 2x より， yy = log 2x + x 2x
．よって，y = (2x)x (log 2x + 1)
9 章 1. 次の積分を求めよ．
√
3
3
(1)
x2 dx = x2/3 dx = x5/3 + c
5
1
t4
(3) (t3 + 2
) dt =
+ tan−1 t + c
t +1
4
π/2
π/2
1
sin3 x
(5)
sin2 x cos x dx =
=
3
3
0
0
2. 次の極限値を求めよ．
1
1
1
1
(1) lim
+
+ ··· +
= lim
n→∞
n→∞ n + 1
n+2
2n
n
2
n→∞ n
n
1
2i
= lim
m→∞
n
m
(2) lim
i=1
3
2
(3x−3 + 4x5 ) dx = − x−2 + x6 + c
2
3
1
−1 t
√
(4)
dt = sin
+c
2
4 − t2
√
1 √
4( 2 + 1)
(6)
x 1 + x dx =
15
0
(2)
n
1
1
dx = [log |1 + x|]10 = log 2
0 1+x
√
2
2√
4 2
i
2 3/2
=
=
x
x dx =
m
3
3
0
0
2m
i=1
10 章 1. 次の積分を求めよ．
f (x) = x g (x) = sin x
(1)
x sin x dx
f (x) = 1 g(x) = − cos x
1
n+
k=1
k
n
=
より， x sin x dx = −x cos x + sin x + c
(2)
x log x dx
f (x) = log x g (x) = x
2
f (x) = x1
g(x) = x2
(3)
sin−1 x dx
f (x) = sin−1 x
1
f (x) = √1−x
2
(4)
cos3 x dx =
cos2 x cos x dx =
(5)
tan−1 x dx
f (x) = tan−1 x g (x) = 1
1
f (x) = 1+x
g(x) = x
2
(6)
x
dx t = 2x2 より，dt = 4xdx．よって，
1 − 4x4
より， x log x dx =
g (x) = 1
g(x) = x
x2
2
log x −
2
(1 − sin2 x) cos x dx = sin x −
0
π
2
(3)
0
sin3 x dx Wallis の公式より， 2!!
3!! =

t = cos x


dt = − sin xdx
cos4 x sin x dx 
 x 0 → π/2




sin x
√
dx 

1 + cos x

π
2
(4)
0
t
(5)
x cos x dx

0
e
(6)
1
→
f (x) = x
f (x) = 1
t = log x

 dt = x1 dx
log x
dx 
 x 1 →
x

t 0 →
2
→
1 − x2 + c
より， tan−1 x dx = x tan−1 x −
1
2
log(1 + x2 ) + c
x
1
1 + 2x2
dx = log |
|+c
4
1 − 4x
8
1 − 2x2
π

0
sin 2x
2
cos 2x dx =
0


 より，


π
2
cos4 x sin x dx =
0
0 4
t (−dt)
1
=
π
=0
0
1 4
t dt
0
=
1
5



 より，


π
2
1 −dt
√
2
t
√
= 2( 2 − 1)
0
√ sin x
1+cos x
π
0
x cos x dx = [x sin x]π0 −
dx =
1
g (x) = cos x
g(x) = sin x

e
√
sin3 x
+c
3
(2)
t = 1 + cos x
dt = − sin xdx
x 0 → π/2
t
π
1
2
3
+c
より， sin−1 x dx = x sin−1 x +
11 章 1. 次の定積分を計算せよ．
π
(1)
x2
4


 より，


より，
e log x
x
1
dx =
1
0
t dt =
π
0
sin x dx = [cos x]π0 = −2
1
2
1
12 章 1. 次の図形の面積 S を求めよ．
(1) 2 放物線 y 2 = 9 + x, y 2 = 9 − 3x で囲まれる図形
2
3
H-simple を用いると，S = −3 ( 9−y
− (y 2 − 9)) dy = 48
3
(2) 楕円
x2
a2
+
y2
b2
= 1 (a > 0, b > 0) の面積 S を求めよ．
V-simple を用いる．y = ±b 1 −
a
0
x2
a2
0
π/2
x2
a2
より，S = 2
a
−a
b 1−
x2
a2
dx = 4b
a
0
1−
x2
a2
dx.
x = a cos t とおくと，
π/2
0
sin t(−a sin t)dt = 4ab
sin2 tdt = 4ab π4 = πab
2. 次の立体の体積 V を求めよ．
(1) 位置 x(≥ 1) での切り口が一辺の長さ log x の正方形であるような立体の x = 1 から x = e までの部分
f (x) = (log x)2
e
断面積 A(x) = (log x)2 より，ディスクの体積 ∆V = (log x)2 ∆x．よって，V = x=1 (log x)2 dx.
4b
1−
dx = 4b
1

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