Les 24 heures de Chateau Thierry

Année 2013/2014
Préparation aux oraux
Probabilités
1 On considère une urne contenant N > 1 boules dont r blanches et N−r noires (0 < r < N).
Dans cette urne, on prélève les boules une à une et sans remise. On note X le nombre de
tirages qu’il est nécessaire d’effectuer pour obtenir toutes les boules blanches.
1. Dans le cas r = 1, reconnaître la loi de X. Donner son espérance. Même question dans
le cas r = N.
2. On suppose à présent 1 < r < N.
a. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par X.
b. Montrer que pour ces valeurs de k,
k−1
P(X = k) =
r−1
N
r
.
3. Montrer que :
E(X) =
r(N + 1)
.
r +1
2 On considère une pièce de monnaie qui amène pile avec la probabilité p ∈ ]0, 1[ et on se
donne un entier r > 0.
1. On note X le rang d’apparition du r-ième pile lors d’une suite de lancers de la pièce.
a. Déterminer la loi de X, appelée loi de Pascal de paramètres (r, p).
b. Montrer que X admetune espérance que l’on calculera.
c. Calculer E X(X + 1) et en déduire que X admet une variance que l’on calculera.
2. On note Y le nombre de faces obtenues avant l’apparition du r-ième pile.
a. Exprimer Y en fonction de X. En déduire la loi de Y, appelée loi binomiale négative
de paramètres (r, p).
b. Calculer l’espérance et la variance de Y.
3. a. En partant du fait que :
ˆ x
xk
∀x ∈ R,
t k−1 dt = ,
k
0
montrer que :
∞ xk
P
∀x ∈ [0, 1[,
= − ln(1 − x).
k=1 k
b. Soit Y une variable aléatoire de loi binomiale négative de paramètres (2, p). Déter1
miner l’espérance de Z = Y+2
.
4. Soient Y une variable aléatoire de loi binomiale négative de paramètres (1, p) et Z une
variable aléatoire à valeurs dans N. On suppose, pour tout n ∈ N, que conditionnellement à l’événement [Y = n], la variable Z suit une loi uniforme sur J0, nK. Montrer
que Z admet une espérance et la calculer.
3 Oral ESCP 1999 (3.7)
Soit n > 0 un entier naturel, inconnu a priori.
Une urne contient des jetons à deux faces portant chacun, sur une des faces, un numéro
bleu et, sur l’autre face, un numéro rouge. On sait que, sur l’ensemble des jetons de l’urne,
k exactement portent le numéro bleu k, ceci pour k = 1, 2, . . . , n et que, parmi les k jetons
portant le numéro bleu k, un et un seul porte le numéro rouge i, ceci pour i = 1, 2, . . . , k.
1. Déterminer, en fonction de n, le nombre de jetons contenus dans l’urne.
On tire au hasard un jeton de l’urne. On désigne par B la variable aléatoire associée à son
numéro bleu et par R la variable aléatoire associée à son numéro rouge. On pose d’autre
part G = B − R.
2. a. Déterminer la loi du couple (B, R).
b. En déduire les lois de B et de R. Calculer leurs espérances et leurs variances.
c. Suite au tirage d’un jeton, on gagne G. Préciser l’espérance de G et calculer la variance de G.
3. Déduire de 2.b. et 2.c. trois estimateurs sans biais de n, l’un étant fonction de B, le
second fonction de R et le troisième fonction de G. Préciser leurs variances respectives.
Lequel est le plus indiqué pour estimer n ?
4 Oral ESCP 2006 (3.26)
1. Soit m > 0 un entier et X une variable aléatoire à valeurs dans J0, mK. On appelle
fonction génératrice de X la fonction GX de la variable réelle t ∈ R+ définie par :
m
P
GX (t) =
P(X = k)t k .
k=0
X
Justifier la formule GX (t) = E(t ) puis montrer que :
E(X) = GX0 (1)
et
2
V(X) = GX00 (1) + GX0 (1) − GX0 (1) .
2. Soient X1 , . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes, de même loi, à valeurs dans
J0, mK. On considère une variable aléatoire N, indépendante de X1 , . . . , Xn et à valeurs
dans J1, nK. On définit la variable aléatoire
Y : ω 7−→
N(ω)
P
Xk (ω).
k=1
a. Montrer que GY = GN ◦ GX où X = X1 .
b. En déduire une expression de l’espérance et de la variance de Y en fonction de celles
de X et N.
3. Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n et on dispose d’une pièce de monnaie
qui donne le côté pile avec probabilité p ∈ ]0, 1[. Un joueur tire un jeton dans l’urne et
lance ensuite la pièce de monnaie autant de fois que le numéro indiqué par le jeton.
Calculer la moyenne et la variance de la variable aléatoire comptabilisant le nombre
de piles obtenus.
ECS2 – Lycée La Bruyère, Versailles
Exercices
5 Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires réelles et X une variable aléatoire réelle.
On suppose que (Xn ) converge presque sûrement vers X, c’est-à-dire :
n
o
P ω ∈ Ω : lim Xn (ω) = X(ω)
= 1.
n→∞
1. Pour ε > 0 donné, on pose :
∀n ∈ N,
An = {ω ∈ Ω : |X − Xn (ω)| > ε}
ainsi que :
n
o
S = ω ∈ Ω : lim Xn (ω) = X(ω) .
n→∞
a. Montrer que :
T S
Ak ⊂ Ω \ S.
n∈N k>n
b. En déduire que :
lim P
S
n→∞
Ak = 0.
k>n
2. Montrer que (Xn ) converge en probabilité vers X.
6 Soit X une variable aléatoire admettant un moment d’ordre 2.
1. Pour quelle valeur de m ∈ R la quantité E (X − m)2 est-elle minimale ?
2. On suppose que X ∈ [a, b] presque sûrement. Montrer que :
V(X) 6
(b − a)2
.
4
3. Soit f : [0, 1] −→ [a, b] une fonction continue. On considère une suite (Un )n∈N de
variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0, 1].
a. Montrer que :
(b − a)2
ˆ 1
n
1 P
∀ε > 0, P f (Uk ) > ε 6
f (t) dt −
.
n k=1
4nε2
0
b. Qu’en déduire sur le plan théorique ?
c. Qu’en déduire sur le plan pratique ?
7 D’après oral ESCP 1999 et 2012
On appelle loi de Pareto de paramètre λ > 0 la loi de densité

 0
si x 6 1
fλ : x ∈ R 7−→
.
λ
 λ+1 si x > 1
x
1. Soit X une variable aléatoire de loi de Pareto de paramètre λ.
a. Déterminer la fonction de répartition de X.
b. Déterminer, lorsqu’elles existent, l’espérance et la variance de X.
c. Montrer que Y = ln X suit une loi Γ dont on précisera les paramètres.
Préparation aux oraux – 2
2. Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Pareto de
paramètres λ1 et λ2 . Déterminer la loi de X1 X2 .
Dans la suite de l’exercice, on considère un n-échantillon (X1 , . . . , Xn ) de variables aléatoires indépendantes de même loi de Pareto de paramètre λ > 0 inconnu.
3. Déterminer la loi de Tn = Y1 + · · · + Yn où, pour tout k ∈ J1, nK, Yk = ln Xk .
bn = n .
4. Calculer l’espérance et la variance de λ
Tn
en de λ. Cet estimateur est-il convergent ?
5. En déduire un estimateur sans biais λ
6. Soit Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. On rappelle que
Φ(1,96) ' 0,975. √
bn − λ converge en loi vers la loi normale centrée réduite
En admettant que λn λ
N (0, 1) lorsque n → ∞, donner en fonction de n (supposé assez grand) et de la valeur
bn un intervalle de confiace à 95% de λ.
observée λ0 de λ

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