L`Histoire de Palmerin d`Oliue, fils du roy Florendos de Macedone et

n-uplets de variables aléatoires réelles
Exercice 1
oral ESCP 2009
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On considère n + 1 variables aléatoires X 1 , X 2 , . . . , X n , X n+1 mutuellement indépendantes suivant toutes la loi uniforme sur l’intervalle [0, 1]. On pose :
n
Q
Yn = X 1 X 2 ...X n =
Xk
k=1
1. Déterminer une densité de la variable aléatoire − ln(X 1 ). En déduire une densité de − ln(Yn ).
2. Le but de cette question est de calculer p = P([Yn < X n+1 ]).
a) Montrer que la variable aléatoire ln(X n+1 ) − ln(Yn ) admet pour densité la fonction h définie par :

h(x) =
Z

 ex
+∞
x x
e−2t
t n−1
(n − 1)!
dt si x¾0

 e
sinon
2n
b)Déterminer lim h(x).
x→+∞
c) Calculer la valeur de p par deux méthodes différentes.
Exercice 2
On considère une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes N , X 1 , . . . , X n , . . . définies sur le même espace de probabilité (Ω, A , P).
Soit p ∈ ]0, 1[, q = 1 − p et λ un réel strictement positif.
On suppose que N suit la loi géométrique de paramètre p et que les variables (X i ), i ∈ N∗ , suivent la loi
exponentielle de paramètre λ.
N
P
On note S la variable aléatoire
X n.
n=1
1. Déterminer la loi conditionnelle de S sachant que [N = n].
2. En déduire la fonction de répartition puis la loi de S.(on admettra que l’on peut intervertir la somme et
l’intégrale mises en jeu)
Vérifier que : E(S) = E(X 1 )E(N ).
2ECS2
1
Exercice 3
Soit a > 0. Soit X 1 , . . . , X n des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi
U ([0, a]). On pose Un = max(X 1 , . . . , X n ) et Vn = min(X 1 , . . . , X n ) .
(1) Déterminer la loi de Un .
(2) En déduire que Un est une variable à densité et préciser l’une de ses densités.
(3) Montrer que Un admet une espérance et une variance que l’on déterminera.
(4) Montrer que Vn et a − Un ont la même loi.
(5) En déduire l’espérance et la variance de Vn .
Exercice 4
A l’entraînement, un basketteur met le ballon dans le panier avec une probabilité p ∈]0, 1[.
1. Soit N le nombre minimal de lancers que le basketteur doit faire pour voir passer le ballon dans
le panier. Par exemple, si le ballon est dans le panier au premier coup, N = 1. Donner la loi de N .
Donner son espérance et sa variance.
2. Soit n un entier naturel. Maintenant le basketteur compte le nombre minimal de lancers nécessaires,
X , pour mettre n paniers. Donner pour tout entier k > 0, P(X = k).
3. Expliquer pourquoi X peut être vu comme une somme de n variables indépendantes et identiquement distribuées dont on donnera la loi.
4. En déduire l’espérance et la variance de X .
Exercice 5
Une urne contient b boules blanches et r boules rouges. On tire une boule de l’urne et à chaque tirage,
on ajoute c boules de la couleur tirée, après avoir remis la boule tirée. Soit X k la variable aléatoire réelle
indicatrice de la couleur rouge au kième tirage, c’est-à-dire :
¨
1 si on tire une boule rouge
Xk =
0 si on tire une boule blanche
1. Trouver les lois de X 1 et de X 2 .
2. On note Sn le nombre de boules rouges obtenues au cours des n premiers tirages.
a) Montrer que :
r + c E(Sn )
P X n+1 = 1 =
.
r + b + nc
b) A l’aide de la question 1, faire une conjecture sur la loi suivie par X n , n ∈ N? et démontrer ce
résultat.
2
2014/2015
Exercice 6
Une urne contient N boules de couleurs différentes C1 , C2 , · · · , C r . On note pi la proportion de boules de
couleur Ci dans l’urne avec
p1 + · · · + p r = 1.
Dans cette urne, on effectue n tirages d’une boule avec remise (les tirages sont donc supposés indépendants). On note X i la variable aléatoire donnant le nombre de boules de la couleur Ci obtenues.
1. Déterminer la loi conjointe du vecteur aléatoire X = (X 1 , · · · , X r ) puis les lois de chaque X i .
2. Soit (i, j) ∈ N2 vérifiant 1 ¶ i 6= j ¶ r. Déterminer la loi de X i + X j . En déduire Cov (X i , X j ).
3. On note A la matrice des variances-covariances du vecteur aléatoire X c’est-à-dire la matrice
A ∈ M r (R) définie par :

A = cov(X i , X j ) 1¶i, j¶r .
a) Que peut-on dire de la somme des coefficients de chaque ligne de A ? En déduire que 0 est une
valeur propre de A.
b) Dans le cas particulier où p1 = · · · = p r =
1
r
, déterminer l’ensemble des valeurs propres de A.
Exercice 7
D’après EML 2011
Somme de variables aléatoires suivant la loi exponentielle de paramètre 1
1. Rappeler une densité, l’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant la loi exponentielle
de paramètre égal à 1.
On considère une suite de variables aléatoires réelles (X k )k∈N∗ mutuellement indépendantes, qui
suivent la loi exponentielle de paramètre égal à 1.
n
X
∗
Pour tout n ∈ N , on note Sn la variable aléatoire définie par Sn =
X k.
k=1
∗
a) Pour tout n ∈ N , donner l’espérance et la variance de la variable aléatoire Sn .
2.
b) Pour tout n ∈ N∗ , rappeler une densité de Sn .
3. Soit une variable aléatoire U suivant la loi uniforme sur l’intervalle [0, 1]. Montrer que la variable
aléatoire Y = − ln(1 − U) suit une loi exponentielle dont on déterminera le paramètre.
4. Ecrire un script SCILAB, utilisant le générateur aléatoire rand, simulant la variable aléatoire Sn ,
l’entier n étant entré par l’utilisateur.
5. Pour tout t ∈]0, +∞[, on note Nt la variable aléatoire égale à 0 si l’événement (S1 > t) est réalisé,
et, sinon, au plus grand entier n ∈ N∗ tel que l’événement (Sn ¶ t) est réalisé.
Ainsi, pour tout t ∈]0, +∞[, pour tout n ∈ N∗ , l’événement (Nt = n) est égal à l’événement
(Sn ¶ t) ∩ (Sn+1 > t).
a) Ecrire un script SCILAB, utilisant le générateur aléatoire rand, simulant la variable aléatoire
Nt , le réel t étant entré par l’utilisateur.
b) Déterminer la loi de la variable aléatoire Nt .
2ECS2
3
Exercice 8
On considère une suite (X n )n¾1 de variables aléatoires indépendantes, définies sur le même espace probabilisé (Ω, B, P), et suivant toutes la loi uniforme sur l’intervalle [0, 1].
1. Déterminer une densité de la variable aléatoire Yk = max(X 1 , ..., X k ), k ¾ 1.
2. Déterminer une densité de la variable aléatoire Zk = −Yk .
3. En déduire la probabilité de l’événement An = {X n ¾ max(X 1 , ..., X n−1 )} pour n ¾ 2.
4. Expliquer pourquoi ce résultat était prévisible.
Exercice 9
On dispose d’une urne contenant n ¾ 2 boules numérotées 1, 2, · · · , n. On effectue des tirages successifs
au hasard et avec remise d’une boule de l’urne. On s’intéresse à la loi de la variable aléatoire T donnant le
numéro du tirage où chacune des boules aura été tirée au moins une fois.
On admet que T est une variable aléatoire
1. Dans le cas où n = 2, déterminer la loi de T .
2. Montrer que pour tout n ¾ 2, l’espérance de T vaut :
E(T ) = n
n
X
1
j=1
j
.
Indication : On écrira T sous la forme d’une somme de variables aléatoires suivant des lois géométriques
Exercice 10
oral HEC 2010
Soit (X n )n¾1 une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (Ω, A , P), indépendantes et suivant toutes la loi exponentielle de paramètre 1. On définit la suite de variables aléatoires
(Yn )n¾1 par la relation :
Y1 = X 1
et
∀n ∈ N?
,
Yn+1 = Yn +
1
n+1
X n+1 .
1)
Question de cours : Définition et propriétés du produit de convolution de deux densités.
2)
Reconnaître la loi de 1n X n .
3)
Montrer que Y2 possède une densité f2 définie sur R par la relation :
¨
2 exp(−x)(1 − exp(−x))
si
x >0
f2 (x) =
0
sinon
4)
Exprimer Yn en fonction de X 1 , X 2 , . . . , X n .
1
Les variables aléatoires Yn et
X n+1 sont-elles indépendantes ?
n+1
Montrer que pour tout n ¾ 1, Yn possède une densité f n définie sur R par la relation :
¨
n exp(−x)(1 − exp(−x))n−1
si
x >0
f n (x) =
0
sinon
5)
(on pourra raisonner par récurrence sur n).
En déduire que Yn et Zn = max(X 1 , X 2 , . . . , X n ) ont la même loi.
6)
4
Calculer E(Yn ).
2014/2015
Exercice 11
question préliminaire
Soit n ∈ N et i ∈ [[0; n]]. On pose Ji =
Z
1
t i (1 − t)n−i d t.
0
Á l’aide d’une intégration par parties , déterminer une relation de récurrence entre Ji et Ji−1 . En déduire
l’expression de Ji en fonction de i et n.
Soit n ∈ N, n ¾ 2.
n véhicules numérotés de 1 à n sont engagés dans un rallye automobile. Ils finissent une étape entre minuit
et une heure du matin.
Pour tout i ∈ {1, . . . , n}, on note Ui la variable aléatoire égale à l’heure d’arrivée du véhicule i. On suppose
que les variables (Ui ) sont indépendantes et suivent une loi uniforme sur [0, 1]. Pour t ∈ [0, 1], on note Nt
la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules arrivés au plus tard à l’instant t. Enfin, pour tout
i ∈ {1, . . . , n}, on note Ti la variable aléatoire représentant l’heure d’arrivée du véhicule classé en i-ième
position.
1. Déterminer la loi de Nt .
2. Soit i ∈ {1, . . . , n}. Déterminer, sous forme d’une somme, la fonction de répartition de Ti , puis une
densité et l’espérance de Ti .
Exercice 12
1. Soient X et Y deux variables indépendantes de même loi exponentielle de paramètre λ > 0.
a) Quelle est la loi de (−Y ) ?
b) Montrer que X − Y admet pour densité la fonction, h définie par :
∀z ∈ R,
h(z) =
λ
2
e−λ|z|
c) En déduire que la variable |X − Y | suit une loi exponentielle de paramètre λ.
2. Trois personnes A, B, C se rendent à la poste au même instant pour téléphoner.
Il n’y a que deux cabines, que prennent A et B, et C attend.
On suppose que les durées de communication téléphonique de chacun, notées, X A, X B , X C sont des
variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre λ.
a) Vérifier que C sort le dernier de la poste si et seulement si l’événement (X A − X B < X C ) est
réalisé.
b) Montrer que la variable aléatoire D = X − X − X admet h pour densité.
A
B
C
En déduire la probabilité pour que C sorte le dernier.
3.
a) Soient Z et T deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois exponentielles de
paramètres respectifs α et β, avec α > 0, β > 0 et α 6= β.
Déterminer la loi de Z + T .
b) Soit TC la variable aléatoire égale au temps total passé par C à la poste.
Déterminer la loi de la variable M = min(X A, X B ) et en déduire la loi de TC .
2ECS2
5
Exercice 13
On considère une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes N , X 1 , . . . , X n , . . . définies sur le même espace de probabilité (Ω, A , P).
On suppose que N est une variable aléatoire réelle à valeurs dans N? possédant un moment d’ordre 2 et
que les variables (X i ), i ∈ N∗ , suivent la même loi que X où X est une variable aléatoire réelle à valeurs
dans N et possédant un moment d’ordre 2.
N
P
On note Y la variable aléatoire définie par Y =
Xi.
i=1
C’est-à-dire :
∀ω ∈ Ω
,
Y (ω) =
NX
(ω)
X i (ω).
i=1
1)
En utilisant la formule de l’espérance totale, déterminer E(Y ) en fonction de E(X ) et de E(N ).
2)
En utilisant la formule de l’espérance totale, déterminer E(Y 2 ) en fonction de E(X ), V(X ), E(N ) et
E(N 2 ).
3)
En déduire V(Y ) en fonction de E(X ), V(X ), E(N ) et V(N ).
4)
Application Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n et on dispose d’une pièce de monnaie qui
donne le côté pile avec la probabilité p, avec 0 < p < 1. Un joueur tire un jeton dans l’urne et lance
ensuite la pièce de monnaie autant de fois que le numéro indiqué par le jeton. Calculer la moyenne
de la variable aléatoire comptabilisant le nombre de piles obtenus.
Exercice 14
Soit (X k )k∈N∗ une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur un espace probabilisé (Ω, A , P),
suivant la loi uniforme sur [0, 1].
n
X
∗
On pose, pour tout n ∈ N , Sn =
Xi.
i=1
Soit t ∈]0, 1[ fixé. On considère la variable aléatoire Wt définie sur (Ω, A , P) par :
¨
min {n ∈ N∗ / Sn > t } si cet ensemble n’est pas vide
Wt =
0
sinon
1. Déterminer la loi de S2 .
2. Montrer que la variable aléatoire Sn admet une densité f n vérifiant :
∀x ∈ [0, 1] , f n (x) =
x n−1
(n − 1)!
.
3. Déterminer la loi de Wt . On commencera par calculer P([Wt = 0]).
4. Montrer que Wt admet une espérance que l’on calculera.
5. Écrire en Scilab une fonction d’en-tête
function n=une_simulation_de_W (t )
permettant de simuler la variable aléatoire Wt .
6
2014/2015

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