Correction du DS 2 – 1S1 – 16 octobre 2014
Exercice 1
8
16
3
1.
P et H semblent avoir 3 points d’intersection.
2.
a. f(x) – g(x) =
x
et
2 x
x
3
3
+
4x
+
+
5
2
x
,+ -
2
4x
5x
x
3
3
3
2x
3
8x
3
2
3
8
10
16
6
3 3 2 3 2 9
3
3
10
3
2
6 8
&
!"# $ %
16
' & ' (&
& *
valeur interdite : x ≠ 3.
f(x) – g(x) = 0 ⟺ (x – 2) (x² – 4x – 5) = 0 ⟺ (x – 2) = 0 ou (x² – 4x – 5) = 0 ⟺ x = 2 ou x² – 4x – 5 = 0
recherche des racines du trinôme : ∆ = b² – 4ac = 16 + 20 = 36 > 0 donc le trinôme a deux racines
0 √∆ 4 6
2
0 √∆ 4 6 10
1 45
5
23
23
2
2
2
2
b. f(x) – g(x) =
x
–∞
–1
2
3
5
+∞
x–2
–
– 0
+
+
+
x² – 4x – 5
+ 0 –
–
–
0 +
x–3
–
–
– 0 +
+
f(x) – g(x)
+ 0 – 0
+
– 0 +
c. sur ] – ∞ ; –1[6]2 ; 3[6]5 ; +∞[ , f(x) – g(x) > 0 donc P est au-dessus de H
sur ]–1 ; 2[6] 3 ; 5[ , f(x) – g(x) < 0 donc P est en dessous de H.
f(x) – g(x) = 0 ⟺ x = – 1 ou x = 2 ou x = 5 donc P coupe H aux points de coordonnées (–1 ; f(–1)), (2 ; f(2)) et
(5 ; f(5))
soit (–1 ; 6), (2 ; 0) et (5 ; 12) .
Exercice 2
1.
f(x) = 2x² – 12x + 32 . le sommet de la parabole représentant f a pour coordonnées (α ; β) avec α = –
β = f(α) = f(3) = 2 × 9 – 12 × 3 + 32 = 14. a = 2 > 0 donc f est décroissante puis croissante :
x
–∞
3
+∞
+∞
+∞
f(x)
14
2.
a. aire du triangle DQM =
9:;9<
=>;=:
8
2
4
2
7
8
=
,
= 3 et
aire du triangle AMN =
b. aire du quadrilatère MNPQ = aire du rectangle ABCD – 2 × aire du triangle DQM – 2 × aire du triangle AMN
=8×4–2×
?
,
–2×
= 32 – x(8 – x) – x (4 – x) = 32 – 8x + x² – 4x + x² = 2x² –12x + 32 = f(x).
c. D’après la première question l’aire de MNPQ est minimale pour x = 3cm et sa valeur est alors 14 cm².
Exercice 3
1.
2.
@
@A
@
⟺
@
@
@A @
@A
@A @
⟺
@
@
@A
@A @
⟺R=
BCB'
BC B'
.
Dans le montage en parallèle, on a : R1 = 2 et R2 = x + 3 donc la résistance équivalente du montage en parallèle est
R R
2 x 3
2x 6
R
R R
2 x 3
x 5
Donc la résistance équivalente du montage donné est : R + x.
2x 6
2x 6 x x 5
2x 6 x² 5x
On a H R x 4.5 ⟺
x 4.5 ⟺
4.5 ⟺
4.5
x 5
x 5
x 5
x 5
⟺ x² + 7x + 6 = 4.5(x + 5) ⟺ x² + 7x + 6 = 4.5x + 22.5 ⟺ x² + 7x + 6 – 4.5x – 22.5 = 0 ⟺ x² + 2.5x – 16.5 = 0
∆ = b² – 4ac = 2.5² + 66 = 72.25 > 0 donc le trinôme a deux racines
0 √∆
2.5 8.5
11
0 √∆
2.5 8.5 6
5.5 45
3
23
2
2
23
2
2
Dans le contexte de l’exercice x ≥ 0 donc la seule solution possible est x = 3 Ω.
)
Dans un repère (O, LM, OM) du plan, placer les points A(– 1 ; 3), B(3 ; 2) et C(1 ; – 2).
Exercice 4
1.
N est le milieu de [AB] donc P
S>
[[[[M
et S est le point défini par : SA
⟺`
>
Q
TQ TR
[[[[M
2SC
1
2 2 a 0U
3 a
a
⟺`
3 Sa 4 2Sa 0
3Sa
2.
[[[[M e 1 2 f
*. PC
2 2.25
1
1
[[[[[M h
e
f et SN
5
4.25
2
1
R
[M donc `
0
1
1
1
3i
1
3
2.5
=
S=
U et P est le milieu de [NB] donc V
a
Sa
0U
3 a
⟺`
0
3Sa
3 1
h3 3i
15 2
6 6
2 b
2 Sb
a
Sa
SW
1
0U
⟺`
0
3 Sa
a
1U
⟺V
1
Sa
a
W
X
TX TR
2 1
2 2
R
a
Sa
.-
0U
0
2
2.25
U
U. Donc N(1 ; 2.5), P(2 ; 2.25) et S(
;
2
h3i
17
6
17
2
17 8.5
17 8.5 ; 2
17 17
4.25 ;
0
6
3
6
3
6
3;2
6
6
[[[[M et SN
[[[[[M sont colinéaires donc les droites (PC) et (SN) sont parallèles.
donc les vecteurs PC
xy’ – x’y
– 1;
On donne le trapèze isocèle ABCD ci-dessous tel que [[[[[M
DC
Exercice 5
1.
2.
3.
[[[[[M.
2AB
[[[[[M GA
[[[[[M 0
[M ⟺ GC
[[[[[M GA
[[[[[M AB
[[[[[M GA
[[[[[M 0
[M ⟺ GC
[[[[[M AB
[[[[[M 0
[M ⟺ xy
[[[[[M [[[[[M
On sait que [[[[[M
GC GB
z{
donc le quadrilatère ABGC est un parallélogramme.
[[[[[M CD
[[[[[M 2AB
[[[[[M ⟺ HG
[[[[[M GC
[[[[[M CD
[[[[[M 2BA
[[[[[M ⟺ HG
[[[[[M
[[[[[M CD
[[[[[M 2GC
[[[[[M car d} après le 1: GC
[[[[[M BA
[[[[[M
HC
GC
[[[[[M
[[[[[M
[[[[[M
[[[[[M
[[[[[M
[[[[[M
[[[[[M
[[[[[M
⟺ HG CD GC ⟺ HG GC CD ⟺ HG GD
Donc G est le milieu de [DH].
[[[[[M DG
[[[[[M AD
[[[[[M DC
[[[[[M CG
[[[[[M AD
[[[[[M 2AB
[[[[[M AB
[[[[[M 3AB
[[[[[M AD
[[[[[M.
a. [[[[[M
AG AD
[[[[[M , AD
[[[[[M ), G a pour coordonnées (3 ; 1)
b. D’après le a, dans le repère (A, AB
[[[[[M
[[[[[M
[[[[[M
[[[[[M
[[[[[M
[[[[[M 2CG
[[[[[M AD
[[[[[M 4AB
[[[[[M 2AB
[[[[[M 6AB
[[[[[M AD
[[[[[M donc dans le repère (A, AB
[[[[[M , [[[[[M
[[[[[[M
c. AH AD DH AD 2DG AD 2DC
AD ),
H a pour coordonnées (6 ; 1)
)
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