BREVET BLANC N°2 DE MATHEMATIQUES Avril 2014 Durée de l’épreuve : 2 h L’usage de la calculatrice est autorisé. La rédaction et la présentation seront prises en compte pour 4 points. Exercice n° 1 : vrai ou faux (6 pts) Quatre affirmations sont données ci-dessous :(1.5× Affirmation n°1 : 2 + = faux car 2 = + = + = Affirmation n°2 : √16 + √9 = 5 faux car √16 + √9 = Affirmation n°3 :vrai ) = 4² + 3² = 4 + 3 = 7 −2√75 + 3√3 = −2 5² × 3 + 3√3 = −2 × 5√3 + 3√3 = −10√3 + 3√3 = −7√3 Affirmation n°4 : − 1! − 1! − 2! − ² = 3 + 2 faux − 2! − ² = ² − 2 − + 2 − ² = −3 + 2 Pour chacune d’entre elles, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse. Exercice n° 2 : respecter la posologie (4 pts) On peut lire au sujet d’un médicament : « Chez les enfants (12 mois à 17 ans), la posologie doit être établie en fonction de la surface corporelle du patient (voir la formule de Mosteller). » « Une dose de 70mg par mètre carré (sans dépasser 70 mg par jour) devra être administrée. » Pour calculer la surface corporelle en m² on utilise la formule de Mosteller suivante : Surface corporelle en m² = " taille en cm! × masse(en kg) 3 600 On considère les informations ci–dessous : Patient Lou Joé Âge 5 ans 15 ans Taille 1,05 1,50 Masse(kg) 17,5 50 Dose administrée 50 mg 100 mg 1) La posologie a-t-elle été respectée pour Joé ? Justifier la réponse. Il ne faut pas dépasser une dose de 70 mg par jour or la dose administrée à Joé est de 100 mg Conclusion la posologie n’a pas été respectée pour Joé 2) Vérifier que la surface corporelle de Lou est environ de 0, 71 m . Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. ML = " 105 × 17.5 3 600 ≈ 0,71 m² 3) La posologie a-t-elle été respectée pour Lou ? Justifier la réponse La dose doit être de 70 mg par m². Pour Lou cela correspond à 70× 0.71=49,7 mg. Conclusion la posologie a été respectée pour Lou Exercice n° 3 : utilisation d’un tableur (5pts) La copie d’écran ci–dessous montre le travail qu’a effectué Camille à l’aide d’un tableur à propos des fonctions g et h définies par : g(x) = 5x² + x – 7 et Formule rentrée en B2 A h(x) = 2x – 7 = 5*B1*B1+ B1 − 7 1 x B –2 C –1 D 0 E 1 F 2 2 g(x) = 5x² + x – 7 11 –3 –7 –1 15 3 h(x) = 2x – 7 –11 –9 –7 –5 –3 1) Donner un nombre qui a pour image –1 par la fonction g. Le nombre cherché est 1 '() 1 ( *+,) -.(/0 −1 par g 2) Ecrire les calculs montrant que g(–2) = 11 g(-2)=5 × −2!1 + −2! − 7 = 20 − 2 − 7 = 11 3) Quelle formule Camille a-t-elle saisie dans la cellule B3 ? La formule B3=2*B1-7 4) a) Déduire du tableau une solution de l’équation 5x² + x – 7 = 2x – 7 d’après le tableau on déduit que la solution est x=0 b) Cette équation a-t-elle une autre solution que celle trouvée grâce au tableur ? oui 5x² + x – 7 = 2x – 7 cela veut dire que 5x²+x-7-2x+7=0 donc 5x²-x=0 =0 =0 6 5 − 1! = 0 2’+ù 5 7 = 6 donc il y a deux solutions 5 −1 =0 8 A B D C Exercice 4 (7 points) Dans cet exercice, on considère le rectangle ABCD ci-contre tel que son périmètre soit égal à 32 cm. 1) a) Si ce rectangle a pour longueur 10 cm, quelle est sa largeur ? … 9( :()/0,) = :0 20.- − *é)-.è=)0! − :( :+>/,0,) = 32 − 10 = 16 − 10 = 6'. 2 b) Proposer une autre longueur et trouver la largeur correspondante 9( :()/0,) = :0 20.- − *é)-.è=)0! − :( :+>/,0,) c) Que peut-on dire du rectangle ABCD lorsque sa longueur vaut 8 cm? 9( :()/0,) = :0 20.- − *é)-.è=)0! − :( :+>/,0,) = Dans ce cas là ABCD est un carré de côté 8 cm 32 − 8 = 16 − 8 = 8 2 d) On appelle x la longueur AB. En utilisant le fait que le périmètre de ABCD est de 32 cm, exprimer la longueur BC en fonction de x @A = 32 − 2 = 16 − e) En déduire l’aire du rectangle ABCD en fonction de x Aire du rectangle ABCD = 2) × 16 − ! = 16 − ² = − ² + 16 On considère la fonction f définie par f (x) = x (16 – x). a) Calculer f (4) B 4! = 4 × 16 − 4! = 4 × 12 = 48 '.² b) Vérifiez qu’un antécédent de 55 est 5 Cherchons l’antécédent de 55 c'est-à-dire il faut chercher x tel que f(x)=55 C'est-à-dire –x²+16x=55 vérifiant que 5 est la solution 5−5 × 16 − 5! = −5 × 11 = 55 2C +ù:0 )éD,:=(= Donc l’antécédent de 55 est 5par la fonction f. 3) Sur le graphique ci-dessous, on a représenté l’aire du rectangle ABCD en fonction de la valeur de x. 70 65 60 55 Aire de ABCD 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Valeur de x À l’aide de ce graphique, répondre aux questions suivantes en donnant des valeurs approchées : a) Quelle est l’aire du rectangle ABCD lorsque x vaut 10 cm?...... Lorsque x= 10cm alors aire de ABCD est égale à 60 cm² b) Pour quelles valeurs de x obtient-on une aire égale à 55 cm2 ? Pour x=5 où x= 11 c) Quelle est l’aire maximale de ce rectangle ? Pour quelle valeur de x est-elle obtenue ? L’aire maximale de ce rectangle est égale à 64 cm² pour x=8 cm. Exercice n°5 : La pirogue (4 pts) 17 Teva vient de construire lui-même sa pirogue Pour vérifier que les deux bras du balancier sont parallèles entre eux, il place sur ceux-ci deux bois rectilignes schématisés sur le dessin ci-dessus par les segments [OK] et [OL] avec I ∈ [OK] et J ∈ [OL]. La mesure des longueurs OI, OJ, OK et OL donne les résultats suivants : OI = 1,5 m OJ = 1,65 m OK = 2 m OL = 2,2 m. 1) Les deux bras sont-ils parallèles ? Justifier la réponse. FG 1,5 = = 0,75 FH 2 IJ , 8 = 1,1 = 0,75 on peut conclure que IK FG FL = FH FM :0D *+>=D F, G, H D+>= (:-/>éD 2(>D :0 .ê.0 +)2)0 O,0 :0D *+->=D F, L, M 6 d’après la 7 IP IJ = IQ IK réciproque du théorème de Thalès on déduit que les deux droites (IJ) et (KL) sont parallèles Conclusion les deux bras sont parallèles. 2) Pour vérifier que la pièce [AB] est perpendiculaire au balancier il mesure les longueurs AB, AC et CB et obtient : AB = 15 cm AC = 25 cm CB = 20 cm d) Peut-il affirmer que la pièce [AB] est perpendiculaire au balancier ? Justifier la réponse. RA² = 25² = 625 @A² + @R² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625 S+>' RA 1 = @A 1 + @R1 2’(*)èD :( )é'-*)+O,0 2, =ℎé+)è.0 20 UV=ℎ(/+)0 , :0 =)-(>/:0 0D= )0'=(>/:0 0> @. Exercice 6 (4 points) Sur le schéma ci-dessous, la terrasse est représentée par le segment [DN] elle est horizontale et mesure 4 mètres de longueur. Elle est construite au-dessus d’un terrain en pente qui est représenté par le segment [DP] de longueur 4,20 m. Pour cela, il a fallu construire un mur vertical représenté par le segment [NP]. 1. Quelle est la hauteur du mur ? Justifier. Donner l’arrondi au cm près. Le triangle DNP est rectangle en N donc d’après le théorème de Pythagore UW 1 + WS 1 = US 1 2+>' UW 1 = SU1 − SW 1 = 4,21 − 41 = 17,64 − 16 = 1,64 2+>' UW = 1,64 ≈ 1,28 '. X 2. Calculer l’angle WSU compris entre la terrasse et le terrain en pente. (donner l’arrondi au degré près) Le triangle est rectangle en N. On peut utiliser le cosinus de l’angle D donc X Z = [\ = X = R)''+D ^ _ ≈ 18° cos(YWSU 2+>' WSU [] ,1 ,1 Exercice 7 (6 points) Des élèves participent à une course à pied. Avant l’épreuve, un plan leur a été remis. Il est représenté par la figure ci-contre. • • • Les droites (AE) et (BD) se coupent en C Les droites (AB) et (DE) sont parallèles. ABC est un triangle rectangle en A. Calculer la longueur réelle du parcours ABCDE. AC=400 m CE= 1000 m X = 53,1° R@A Si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation. Calcul de la longueur AB X )=ab Le triangle ABC est rectangle en A donc tan(R@A bc ac Tan(53,1°)=ab Donc R@ = RA 400 = ≈ 300 '. tan 53,1°! tan 53,1°! Calcul de la longueur BC Le triangle ABC est rectangle en A d’après le théorème de Pythagore BC²=AC²+AB²= 300²+400²=90000+160000=250000 2+>' @A = √250000 = 500. A ∈ h@Si A@ AR R@ = = 2+>' g A ∈ h@Si 6 2C (*)éD :0 =ℎé+)è.0 20 lℎ(:éD +> AS Ak kS R@!// kS! 500 400 300 = = AS 1000 Sk Calcul de la longueur CD 500 400 500 × 1000 500000 5000 = 2+>' AS = = = = 1250 .. AS 1000 400 400 4 Calcul de la longueur DE 400 300 300 × 1000 300000 3000 = 2+>' Sk = = = = 750 . 1000 Sk 400 400 4 Donc la longueur réelle du parcours ABCDE est égale 750+1250+300+500=2800m
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