f - Académie de Nancy-Metz

VOCABULAIRE ET NOTATIONS DES FONCTIONS
3ème
F1
 Une fonction f est un procédé mathématique qui à un nombre x fait correspondre
un autre nombre, noté f(x). On écrit f : x  f(x).
 Le nombre associé f(x) est appelé l’image de x par la fonction f.
Exemple : si f est une fonction qui à 7 fait correspondre 12, on notera
f : 7  12
ou
f(7) = 12.

INFO

antécédent
image
antécédent
image
12 est l’image de 7, 7 est l’antécédent de 12 par la fonction f.
 Soit g une fonction et le tableau suivant :
Recopie et complète les phrases suivantes :
a) 3 est … de – 1 par g.
b) Un … de 8 par g est 6.
–1
3
x
Image de x par g
c) 4 a pour… 8 par g.
3
5
4
8
6
8
d) g(…) = 5 et g(4) = …

 Recopie et complète le tableau suivant donnant des renseignements sur une fonction f :
En français
L’image de 2 est 3
– 5 est l’image de 6
8 est l’antécédent de 4
7 a pour antécédent – 2
5 a pour ………………….
2,7 a pour ……………………
4 a pour ……………………..
En mathématiques
f(…) = …
f(…) = …
f(…) = …
f(…) = …
f(5) = – 1
f(6) = 2,7
f(…) = – 4
 1°) Voici des renseignements sur une
fonction f1. Traduis chacun d’eux par une phrase
contenant le mot « image » :
a) f1(3) = 5 ;
b) f1(– 2) = 7 ; c) f11 = 3.
2 4
2°) Même consigne avec la fonction f2, mais en
utilisant le mot « antécédent » :
a) f1(3) = 5 ;
b) f1(– 2) = 7 ; c) f11 = 3.
2 4
 Soit g une fonction.
–5
8
–2
–1
–2
1




2;
–3;
–1
2




–1;
2;
0
3




5;
4.
1°) Quelle est l’image par la fonction f du
nombre : a) – 1 ?
b) 1 ?
c) 3 ?
2°) Donne le ou les antécédents par la fonction f
du nombre : d) – 3 ;
e) 2 ;
f) 5.
d
est la fonction qui, à une vitesse donnée
en km/h, fait correspondre la distance d’arrêt
en m d’une voiture sur route sèche.
A
On considère le tableau de valeurs suivant :
x
g(x)
 Soit f une fonction telle que :
0
–2
1
1
8
–2
1°) Quelle est l’image par la fonction g du
nombre :
a) – 5 ?
b) 0 ?
c) 1 ?
2°) Donne le ou les antécédents par la fonction
f du nombre : a) – 2 ;
b) 1 ;
c) 8.
Vitesse
Distance d’arrêt
50
30
90
77
100
92
130
140
a) Quelle est la distance d’arrêt d’une voiture
roulant à 100 km/h ?
b) Donne dA(50) et dA(130) et leur signification.
c) Quel est l’antécédent de 92 par dA ?
CALCULER UNE IMAGE
3ème
INFO
F1
 Une fonction f est un procédé mathématique qui à un nombre x fait correspondre
un autre nombre, noté f(x). x est appelé la variable.
 Le nombre associé f(x) est appelé l’image de x par la fonction f.
 Quand on connaît l’expression de la fonction (sa « formule »), on peut l’utiliser
pour calculer l’image de différents nombres.
 Soit h la fonction définie par l’expression :
h:x
Ecris l’image de x puis calcule l’image de 4, – 3 et 1.
3


5 (2 – x) 2.
h(4) se dit « h de 4 ».
h(4) est l’image de 4 par
la fonction h.






 
 








Pour calculer h(4), on
remplace x par 4 dans
la formule.
INFO

 Recopie et complète la solution :
 f est la fonction qui à x associe x
Enoncé :
f est la fonction telle que x  4 x 2 – 2 x + 3.
1°) Quelle est l’image de x par la fonction f ?
1°) Ecris l’image de x.
2°) Calcule l’image de :

2°) Calcule l’image de : a) 3 ;
b) – 1 ;
c) 3.
2
 Soit g : x
Solution :
1°) L’… de x s’écrit f(…) = … – … + …
2°) a) f(3) = 4  …2 – …  3 + …
=…9–…+3
= … – … + 3 = 33.
– 7.
c) 1.
2
b) – 2 ;
a) 3 ;
2
g(x) = x (4 – x).
Calcule l’image par la fonction g de :
a) 8 ;
b) 4 ;
c) – 5
d) 0 ;
e) 13.
b) f(…) = 4  (…)2 – …  (– 1) + …
=……+…+3
= … + … + 3 = ….


 Soit h la fonction définie par :
h(x) = 3 x + 1.
6–2x
c) f 3 = …  3 … – 2  … + 3
…
2
2
…
–3+…=…
=4
…
a) Calcule h(2) et h(– 1)
b) Peut-on calculer h(3) ? Pourquoi ?
 Soit x la taille d’un homme adulte. Selon la
 Soit p la fonction correspondant au
formule dite « de Lorentz », son poids idéal en kg
se calcule avec la fonction :
f : x  x – 100 – x – 150.
4
Quel est selon ce procédé le poids idéal d’un
homme adulte de :
a) 1,70 m ?
b) 1,80 m ?
c) 1,90 m ?
d) Résume tes résultats dans un tableau :
programme de calcul suivant :

Taille en m
Poids Idéal en kg
1,70
1,80
1,90
« Je pense à un nombre x. Je calcule son
carré, je le double et je lui retranche 7 ».
a) Effectue ce programme pour 3 et – 2.
b) Ecris l’expression de p en fonction de x.
c) Complète le tableau suivant après avoir
écrit les calculs.
x
p(x)
–2
3
4
0
–7
LIRE LA COURBE D’UNE FONCTION
3ème
INFO
F1
 Dans un repère, la courbe représentative d’une fonction f est formée de tous les
points de coordonnées (x ; y) avec y = f(x).
 Cela signifie que pour tous les points de la courbe, l’ordonnée est l’image de
l’abscisse par la fonction f.
 On peut donc lire graphiquement des images et des antécédents de : on
n’obtient pas des valeurs exactes, mais des valeurs approchées.
 Détermine graphiquement par la fonction f dont la courbe représentative est
tracée dans le repère ci-contre :
a) L’image de 1,5 et l’image de 0 ;
b) l’antécédent de – 1 et ceux de 2.






 Recopie et complète la solution et les
 On donne
tracés sur la courbe :
Enoncé :
Voici la courbe représentative d’une fonction g.
Détermine graphiquement en ajoutant des
tracés :
a) L’image de 0 par la fonction g.
b) g(– 2,5) et g(1).
ci-contre la courbe
représentative d’une
fonction f.
c) Les antécédents de – 1,5 et 2 par g.
a) Détermine graphiquement f(0) et f(2).
b) Détermine graphiquement l’image de 1.
c) Détermine graphiquement les antécédents de
4 et de 1.

 Ci-dessous est représentée graphiquement
une fonction g pour x compris entre – 3 et 8.
Solution :
a) Graphiquement, l’… de 0 par la … g est
environ … (voir tracés bleus)
b)  …, g(– …) est … égale à … (voir … verts)
 …, g(1) est … égale à … (voir …).
c)  Graphiquement, l’… de – 1,5 par la … g
est environ … (voir tracés …).
 …, les trois … de 2 par la … g sont …, …
et … (voir tracés …).
Par lecture graphique, donne une valeur
approchée :
a) de l’image par g de – 2 ;
b) de g(3) ;
c) des antécédents par g de – 2 ; d) de g(7) ;
e) des antécédents par g de 2 ;
f) de g(5,5).
CALCULER AVEC LES FRACTIONS
3ème
INFO
 Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut les mettre au même
dénominateur, puis ajouter les numérateurs.
 Pour multiplier deux fractions, il faut multiplier les numérateurs entre eux et les
dénominateurs entre eux, tout en simplifiant.
 Diviser par une fraction, c’est pareil que multiplier par son inverse.
 Multiplications et divisions sont prioritaires sur additions et soustractions.
 Effectue les calculs suivants et simplifie au maximum :
A
N1





 


B













 






3+1
5
B=
.
1–7
4
A = 5 – 2  21 ;
3 3 5
 





 Recopie et complète :
 Calcule les sommes suivantes et écris le
Enoncé : Effectue les calculs suivants et écris le
résultat sous forme de fraction irréductible.
A=2+35;
B = 5  1 – 3 
7 7 2
3 11
résultat sous forme de fraction irréductible.
A=5+3;
B = 1 – 10 ;
C=1+4;
4 2
3 21
3 5
2
8
D=8+ ;
E= –2;
F = – 13 – 2.
5
7
3 7
Solution :
A=2+35=2+3…=2+ …2
7 7 2 7 7 … 7 ……
2 … 2  … + … … + … ….
= + =
=
=
7 35 7  … 35 35 35 35
N’oublie
pas que
5=5!
1
B = 5  1 – 3  = 5  1  … – 3  … 
3 11
3  … 11  …
… …
5 … 5  … ….
= 5   –  = 
=
=
33 33 … 33 …  33 33
 Effectue les calculs suivants et écris le
résultat sous forme de fraction irréductible.
A=53;
B = 21  – 2 ; C = 9  8 ;
4 2
8  7
2 27
2
8
1
15
18
D =  –  ; E = – 
;
F=  2.
3  9
4 2
5 25
INFO
 Effectue les calculs suivants et écris le résultat sous forme de fraction irréductible.
1–5
6
A=
;
1
1+
6
E = 4 – 3  1 – 1 ;
4 3 6
B = 1 – 5  7 ;
5 4 5
C = 5 + 11  20 ;
4 4 33
D = 1  2 – 3 ;
12 
7
F = 3 – 15  12 ;
9
5
G = 3 – 2  7 ;
4 3 6
H = 2 + 2  4 – 2.
3 5 3

CALCULER AVEC LES PUISSANCES
3ème
N1
 10 6 = 10  10  …  10 = 1 000 000
INFO
6 fois
6 zéros
 Deux cas particuliers :
10 0 = 1
 10 – 5 est l’inverse de 10 5 :
10 – 5 =
et
10 1 = 10.
1
= 0,00001
10 5
5 zéros
 10 – 3  10 3 = 1
car 10 – 3 et 10 3 sont inverses l’un de l’autre.
 10 7  10 3 = 10  10  …  10  10  10  10 = 10  10  …  10 = 10 10.
7 fois
3 fois
10 fois
7 fois
7
 10 3 = 10  10  10  …  10 = 10  10  …  10 = 10 4.
10
10  10  10
4 fois
3 fois
 Donne les écritures décimale et scientifique du nombre suivant : A = 7 1410 10 25 1010
7
A



























 Recopie et complète :
Enoncé : Donne les écritures décimale et scientifique
des nombres suivants :
–2
5
5 2
B = 15  10 8 3  –10
;
C = 7  (10 )3
4
25  10  10
35  10
Solution :
–2
5
15  …  10 – 2  10 …
B = 15  10 8 3  –10
=
25  10  10 4
…  10 …  10 …
5
…
5  …  …  10  10
9  10 …
=
=
5…
10 …  10 2 … 10 …
…
= …  10 = 0,…
5 2
5
…
…
C = 7  (10 )3 = 7  10  10… = 1  10 …
35  10
7  …  10
… 10
…
…
= 0,2  10 = 2  10 = 2……

 Mêmes consignes avec :
D = 49  1034 ;
7  10
150
 10 3  8  10 5 ;
E=
6  10 7
2
–7
F = 14  10  75–3 10 ;
35  10
18
 10 – 5 ;
G = 35  10  3 10
42  10
–3 4
H = 1,6  (10– 9 ) ;
4  10
–2 2
I = 3,9  (10 – 5 ) ;
3  10
2

10 7  5  (10 – 5) 2.
J=
2 + 18
35
–5
–2
8
.
LE THEOREME DE PYTHAGORE
3ème
G0
 Le côté le plus long dans un triangle rectangle est l’hypoténuse : c’est le côté où
il n’y a pas d’angle droit.
 Le théorème de Pythagore dit :
« Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est
B
égal à la somme des carrés des deux autres côtés. »
 Ce qui donne dans ce triangle ABC rectangle en A :
INFO
C
BC 2 = AB 2 + AC 2
A
 Calcule la longueur AC, puis EC.
E
ABC
B
4 cm
C
AC
AB
BC
A
AC
3 cm
AEC
AC
AE
EC
EC


B
Les deux calculs sont
différents : dans le premier,
on calcule l’hypoténuse AC
et dans le second on calcule
un côté de l’angle droit.
EC
EC
EC
5 cm
E

INFO
 Calcule la longueur MN, en
Enoncé : EFG est un triangle rectangle en F tel
que EF = 4 cm et EG = 6 cm.
Calcule la valeur exacte de FG, puis sa valeur
E
arrondie au mm près.
simplifiant le résultat
au maximum.
P
6c
m
m
= … … (en cm).
[FG] mesure exactement … … cm, soit
environ … cm.
 1°) Calcule la longueur de la diagonale :
a) d’un carré ABCD de coté 5 cm ;
b) d’un rectangle EFGH de 7 cm sur 3 cm.
2°) Un rectangle IJKL a un côté de [IJ] de 4 cm et
une diagonale [JL] de 5 cm. Calcule la longueur du
côté [JK].
Conseil : exécute d’abord un dessin à main levée.
8 cm
N
4c
Solution : EFG est un triangle … en …,
donc on peut utiliser le … de … :
… 2 = … 2 + FG 2
Donc 6 2 = … 2 + … 2,
d’où … = … + … 2.
G
Donc FG … = … – … = …
Donc … = … = 4  … = …  …
M
4 cm
 Recopie et complète :
F
 Une échelle de 5 m de hauteur
H
est adossée à un mur. Le haut de
l’échelle est posé exactement au
sommet H du mur et le pied P de
l’échelle est à
1 m du mur.
Calcule la hauteur exacte du P
B
mur (en simplifiant au
maximum), puis une valeur arrondie au cm.
 ABCDEFGH est
F
E
A
B
un cube d’arête 10 cm.
On veut calculer la
H
longueur de la grande
D
diagonale [EC].
C
a) Calcule la longueur AC.
b) AEC est un triangle rectangle en A ;
calcule la longueur EC.
G
3ème
INFO
PROUVER QU’UN TRIANGLE EST RECTANGLE
G0
 La réciproque du théorème de Pythagore dit :
« Si dans un triangle, le carré du côté le plus long est égal à la somme des
carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. »
 Donc pour prouver par le calcul qu’un triangle est rectangle, il faut calculer
séparément le carré du côté le plus long et la somme des carrés des deux autres
côtés : si on trouve le même résultat, alors c’est un triangle rectangle.
 ABC est un triangle avec AB = 4,5 cm, BC = 2,4 cm et AC = 5,1 cm et DEF un autre triangle avec
DE = 4,5 cm, DF = 2,8 cm et EF = 5,2 cm. Ces triangles sont-ils rectangles ?
AC
AB
ABC AC AB
BC
ABC
B
BC
 Recopie et complète :
 a) Construis un triangle SEL tel que
Enoncé : MNP est un triangle tel que :
MN = 3,4 cm, MP = 1,6 cm et NP = 3 cm.
Détermine si ce triangle est rectangle.
SE = 7,5 cm, EL = 4 cm et LS = 8,5 cm.
b) Démontre que le triangle SEL est rectangle.
 IJK est un triangle
Solution :
… 2 = … 2 = 11,56
MP 2 + … = … 2 + … 2 = … + 9 = …
Donc dans le … …, MN 2 = … + …, donc
d’après …, le triangle MNP est … en …
N’oublie pas que
( a) 2 = a !
avec IJ = 3 cm,
JK = 10 cm et IK = 7 cm.
Explique pourquoi IJK est rectangle en I.
 a) Trace un triangle RST tel que : RS = 6 cm, RT = 8 cm et ST = 10 cm.
INFO
b) Voilà ce qu’a écrit Sophie pour prouver que le triangle RST est rectangle :
ST
RS
RT
ST
RST
R
Pourquoi le professeur a-t-il barré les signes égal et écrit dans la marge « calculs mal présentés ? »
c) Rédige correctement la réponse.
 En Mésopotamie, pendant l’antiquité on
 On a fixé au mur une
utilisait des cordes à nœuds (avec 1 m
entre chaque nœud) pour obtenir des
angles droits dans les constructions
d’autels religieux.
Explique pourquoi cette corde à
nœuds bien tendue donne un
angle droit.
étagère [ET] en la soutenant
par un support [SP].
ST = 17,6 cm
E
TP = 33 cm
S
SP = 37,4 cm.
On suppose que le mur est vertical.
L’étagère est-elle horizontale ?
N
E
O
T
P
LE THEOREME DE THALES
3ème
G1
 Le théorème de Thalès dit : « Si ABC et AMN sont deux triangles tels que
A, B et M sont alignés, ainsi que A, C et N, et si les droites (BC) et (MN)
sont parallèles, alors les trois rapports suivants sont égaux :
AM = AN = MN . »
AB
AC
BC
N
M
A
 Voici les trois cas possibles de
triangles ABC et AMN en situation
de Thalès (les droites (BC) et (MN)
étant parallèles) :
A
A
B
M
C
N
M
B
C
N
 Les droites (IL) et (KJ) se coupent en O.
C
I
K
6 cm
5 cm
9 cm
L
J
OI J OKL
L
IJ
Attention : utilise
seulement des
côtés de triangles
dans les rapports !
O
Les droites (IJ) et (KL) sont parallèles.
Calcule la longueur OK.
I O
B
O
JO
K
OI OJ
OL OK
LK
IJ
KL
INFO
Rédaction à
apprendre
par cœur !
[OK]
 Recopie et complète :
Enoncé : dans le triangle HKL, (IJ)
et (KL) sont parallèles.
Calcule la longueur HK.
H
10 cm
I
13 cm
J
26 cm
L
K
Solution :
 H, J et L sont alignés dans cet ordre, donc :
HL = HJ + … = … + … = 39 (en cm).
 Les triangles … et … ont le … H en …
Les points …, … et … sont …, ainsi que …, … et …
Comme les droites (…) et (…) sont …,
alors d’après le … de … :
Attention : HL
n’est pas donné
HI … … , donc 10 …  ….
=
=
=
=
par l’énoncé, il
... HL …
… 39  …
faut le calculer !
Il ne faut pas
Donc 10  … = …  …,
utiliser JL car
[JL] n’est pas un
d’où HK = …  … = … (en cm).
côté de triangle !
…
INFO
 Les droites (AH) et (AG)
se coupent en A. (EF) et
(GH) sont parallèles.
AG = 35 cm,
FH = 22 cm et
AF = 6 cm.
6 cm
E
F
H
G
Calcule la longueur AE.
 Deux droites sécantes en U sont
coupées par deux droites parallèles
comme sur la figure ci-dessous.
TU = 3 cm
L
UH = 2,2 cm
U
UM = 9,9 cm
M
ML = 9 cm
Calcule UL et TH.
 Selon la légende, Thalès trouva une méthode utilisant les
rayon du soleil
S
ombres pour mesurer la hauteur de la Grande Pyramide de Gizeh.
AC = 232 m, AB = 73 m, S’H’ = 1 m et H’B = 1,3 m.
Calcule au mètre près la
hauteur SH de la pyramide.
Conseil : calcule
d’abord AH puis HB.
A
INFO
H
T
bâton vertical
ombre du bâton
S’
C
H
A
H’
B
ombre de la pyramide
3ème
CALCULER UN PGCD
INFO
 Le PGCD de deux nombres entiers est leur Plus Grand Commun Diviseur.
 Pour le calculer, on utilise l’algorithme d’Euclide, qui est une suite de divisions
entières. La méthode s’arrête quand la division « tombe juste » (son reste est nul).
 On peut aussi utiliser la méthode des soustractions successives, qui est plus
longue. On soustrait jusqu’à obtenir zéro.
N2
 Calcule le PGCD de 145 et de 100.

On n’utilise jamais le
quotient dans les calculs : il
représente juste le nombre
de soustractions que l’on
aurait du faire avec la
méthode moins rapide des
soustractions successives.
ème
La 3
division remplace 4
soustractions !



INFO
PGCD
 Recopie et complète :
 a) Calcule le PGCD de 138 et de 63 par la
Enoncé : calcule le PGCD de 190 et 44 en
utilisant l’algorithme d’Euclide.
méthode des soustractions successives :
b) Retrouve le résultat du a) avec la méthode
d’Euclide.
c) Quelle méthode demande le moins de calculs ?
Solution :
190
14
44
…
44
…
14
…
Donc 44 = …  3 + …
0
7
…
Donc … = 7  … + 0
Donc 190 = 44  … + 14
 Avec l’algorithme d’Euclide, calcule le PGCD
de : a) 87 et 232 ;
b) 295 et 177 ; c) 1592 et 784.
 Marie doit déterminer le PGCD de 2 004 et de
Le PGCD de 190 et 44 est …
18. Elle souhaite utiliser la méthode des soustractions
successives.
a) Est-ce habile ? Pourquoi ?
b) Calcule ce PGCD par la méthode la plus
appropriée.
 a) Détermine tous les diviseurs communs de 48 et 60, puis déduis-en leur PGCD.
b) Vérifie avec l’algorithme d’Euclide.
c) trouve deux nombres dont le PGCD est 36, en expliquant ta méthode.
d) Le PGCD de deux nombres est 54. Le plus grand des deux nombres est 378. Quel peut être l’autre
nombre ?
RESOUDRE UN PROBLEME DE PGCD
5ème
N2
Il faut savoir reconnaître et résoudre les problèmes dont la solution est le PGCD
(Plus Grand Diviseur Commun) de nombres entiers.
Ce PGCD représente le plus grand nombre qui divise en même temps deux nombres
entiers (ou plus).
 Un confiseur doit vendre 3 150 bonbons et 1 350 sucettes.
Il veut réaliser des paquets contenant tous le même nombre de bonbons et le même nombre de sucettes, en
utilisant tous les bonbons et toutes les sucettes.
a) Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?
b) Combien y aura-t-il de bonbons et de sucettes dans chaque paquet ?
PG C D
Pense à t’aider
d’un dessin dans
tous les exercices
de cette fiche !


PG C D
INFO
 Recopie et complète :
 On plante des arbres autour d’un terrain
Enoncé : on veut recouvrir une pièce
rectangulaire de 5,10 m sur 3,60 m par des
dalles de moquette carrées identiques. Le côté
de chaque carré est un nombre entier de
centimètres choisi de façon qu’il n’y ait
aucune découpe et que le nombre de dalles
soit le plus petit possible.
a) Calcule la longueur du côté d’une dalle.
b) Calcule le nombre de dalles utilisées.
rectangulaire de côtés 98 m et 70 m. L’espace
entre les arbres est toujours le même, avec un
arbre à chaque coin.
a) Calcule la plus grande distance possible entre
deux arbres consécutifs.
b) Calcule le nombre d’arbres qu’il faut acheter.
Solution :
a)
165 cm et 105 cm. On veut réaliser des boîtes
cubiques, les plus grandes possibles, qui
permettent de remplir entièrement la caisse.
Quelle doit être l’arête de ces boites et combien
de telles boites peut-on placer dans la caisse ?
36 0
L e c ôté doit d iv is e r 5 10 e t 3 60
51 0
On … le … de 510 et 360 avec l’… d’...
510 = 360  … + …
… = 150  2 + …
150 = 60  … + …
60 = …  … + 0
Les dalles rentrent
« pile » en longueur
et en largeur, donc le
côté de la dalle divise
510 et 360.
 Les dimensions d’une caisse sont 105 cm,
 Un boulanger a préparé
une grande pizza rectangulaire
de 56 cm sur 35 cm.
Il la découpe en parts carrées
Le PDCG de … et … est 30.
identiques dont le côté est un
Donc chaque dalle sera un … de côté … cm.
nombre entier de centimètres, le plus grand
… 12
possible.
b) 510 = … et
=
INFO Calcule la dimension des parts ainsi que leur
30
…
…  12 = …
nombre.
Il faut … dalles pour recouvrir la pièce.
SIMPLIFIER UNE FRACTION
3ème
INFO
N2
 Pour simplifier une fraction au maximum, il faut diviser le numérateur et le
dénominateur par leur PGCD.
 On dit qu’une fraction est irréductible quand elle est simplifiée au maximum,
c’est-à-dire quand le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux (leur
PGCD vaut 1).
 En général, on calculera le PGCD en utilisant l’algorithme d’Euclide.
 Quand c’est possible, simplifie ces fractions au maximum :
a) 33
144
b) 99.
41
PGCD




PGCD
PGCD





PGCD
 Recopie et complète :
 Ecris ces fractions sous forme irréductible,
Enoncé : Ecris la fraction 217 sous forme
203
irréductible.
quand c’est possible :
a) 609 ;
b) 171 ;
465
122
Solution :
 a) Montre que 3647 est une fraction irréductible.
217
14
203
…
Donc 217 = 203  … + 14
203
…
14
…
Donc 203 = …  … + 7
0
7
…
Donc … = 7  … + 0
Le PGCD de 217 et 203 est …
Donc 217 = 217 … = ….
203 …  … 29
c) 102 ;
141
d) 221.
255
b) Montre que 216 est égale à 36.
282
47
 On donne A = 117
et B = – 8.
63
7
a) Simplifie A pour la rendre irréductible.
b) Montre (en détaillant tes calculs) que A – B est
un nombre entier.
 a) Détermine le PGCD de 345 et 184.
b) Ecris sous forme de fraction irréductible, puis
sous forme décimale, le nombre A = 345 – 5.
184 4
LA RECIPROQUE DU THEOREME DE THALES
3ème
INFO
G2
 La réciproque du théorème de Thalès :
« ABC et AMN sont deux triangles tels que A, B et M sont alignés, ainsi
que A, C et N, dans le même ordre.
Si AM = AN, alors (BC) et (MN) sont parallèles »
AB
AC
 Donc pour prouver par le calcul que deux droites sont parallèles, , il faut calculer
séparément chacun des deux rapports : si on trouve le même résultat, alors les
deux droites sont parallèles.
 On considère la figure ci-contre où AD = 5 cm, AB = 7 cm, AE = 6 cm
A
et AC = 8,4 cm. Les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ?
E


AE
AC
AD
AB
Rédaction à
apprendre
par cœur !
ADE ABC
A D B
AE AD
AC AB
C
D
B
INFO
A
Attention :  utilise
seulement des côtés de
triangles dans les rapports !
 Calcule séparément
chaque rapport !
A E C
DE
BC
 Recopie et complète :
Enoncé : on considère la figure suivante où
OJ = 11,9 cm,
M
JM = 18,7 cm,
O
OI = 21 cm
N
J
et IN = 33 cm.
Les droites (IJ) et (MN) sont-elles parallèles ?

O
A
B
I
Solution :
 M, O et J sont alignés
dans cet ordre, donc :
On calcule OM
OM = JM – …
et ON car on a
besoin de
= … – 11,9
côtés de
= 6,8 (en cm).
triangles !
 N, O et I sont alignés
dans cet ordre, donc :
ON = … – … = … – … = 12 (en …).
INFO
OJ
11,9

=
= 1,75.
N’oublie pas :
… 6,8
calculs séparés
… … …
des deux rapports !
= =
ON …
OIJ et … sont deux … avec le … O en …
Les points J, O et … sont alignés dans le …
… que …, … et N.
Comme OJ = …, alors d’après …, les droites
… …
(…) et (…) sont …
E
S
R
D
J
I
C
a) On donne OR = 1,7 cm, OI = 5,1 cm,
OS = 4,5 cm et OJ = 13,5 cm.
Les droites (RS) et (IJ) sont-elles parallèles ?
b) On donne EA = 3 cm, AC = 10 cm,
EB = 4,2 cm et ED = 9,8 cm.
Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
 a) Démontre que les droites (TU) et (RS)
sont parallèles.
O
3 cm
T
Méfie-toi de
TR et US !
2,1 cm
U
5 cm
3,5 cm
R
12 cm
b) Calcule ensuite TU.
S
INFO
3ème
TROUVER UNE MEDIANE DANS UNE SERIE
INFO
 La médiane d’une série statistique est la valeur qui sépare la série en deux séries
de même effectif : avant et après la médiane, il y a le même nombre d’éléments.
 On dit que la médiane est une caractéristique de position.
 Il ne faut pas confondre moyenne et médiane.
 L’étendue d’une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
F2
 Détermine une médiane de chacune des séries suivantes, puis interprète le résultat :
a) 10 ; 15 ; 4 ; 12 ; 5 ; 16.
b) 21 ; 53 ; 17 ; 41 ; 12 ; 27 ; 23.
ème
Au a), si la 3
et
ème
la 4
valeur sont
égales, par
exemple à 12, la
médiane est 12 !
INFO
 Recopie et complète :
 Un enquêteur a noté le prix en euro d’une
Enoncé : on a relevé la portée, en mètres, de
huit téléphones sans fils différents :
170 ; 300 ; 250 ; 120 ; 200 ; 180 ; 120 ; 120.
a) Donne la médiane et son interprétation.
b) Calcule la portée moyenne.
même marchandise dans dix points de vente
différents :
14,2
13,8
14,2
13,9
14
14,1
13,8
14,3
15,2
13,5
Solution :
a) On ordonne les valeurs :
120 ; … ; 120 ; … ;… ;… ;… ; 300.
Il y a … valeurs, 8 = … + …
La médiane est donc une valeur entre la
…ème et la …ème valeur, c’est-à-dire entre
170 et …, par exemple … mètres.
La portée … est … m : il y a … de
téléphones avec une … … à … m que de
téléphones avec une portée … à … m.
b) 170 + 300 + ……… = … = … (en m).
…
…
La portée … est … mètres.
a) Donne un prix médian de cette série.
b) Ecris une interprétation de la médiane.
c) Calcule le prix moyen.
d) Calcule l’étendue de cette série.
 Détermine la valeur médiane des listes de
valeurs suivantes :
a)
12
b)
14
c)
51,2
6
18
6,5
50,1
14
11,5
54,4
16
9
48,5
9,5
12
11
11
50,1
8
7,5
11
9,5
49,2
53,8
 Voici les notes obtenues par deux élèves
 On a noté la taille des nouveau-
de 3 B en mathématiques :
Valentin : 19 ; 9 ; 1 ; 2 ; 13 ; 13 ; 17.
Cathy : 13 ; 9 ; 16 ; 9 ; 11 ; 15.
nés dans une maternité. La médiane de
cette série est 48 cm et sa moyenne 42 cm.
Réponds par vrai ou faux en justifiant :
a) Calcule la moyenne arrondie au dixième de
chacun d’eux.
b) Détermine une valeur médiane des notes de
chacun d’eux, puis donne l’
c) Calcule l’étendue des notes de chacun.
a) 50 % des bébés mesurent moins de 42 cm.
b) La moitié des bébés mesurent plus de 48 cm.
c) Le nombre de nouveau-nés qui mesurent plus
de 48 cm est plus grand que le nombre de ceux
qui mesurent moins de 48 cm.
e
TROUVER LES QUARTILES DANS UN TABLEAU
3ème
INFO
F2
 Les quartiles d’une série statistique sont les valeurs qui sépare la série en quatre
séries de même effectif : on détermine le 1er et le 3ème quartile (le 2ème étant la
médiane).
 On dit que les quartiles sont des caractéristiques de position.
 On donne le tableau d’effectifs
Note
Effectif
suivant rassemblant les notes des 27
élèves de la 4ème.
a) Détermine les 1er et 3ème quartile.
7
3
8
1
9
4
10
3
11
2
12
2
13
4
14
4
15
3
17
1
b) Écris l’interprétation de chacun des quartiles.


 Recopie et complète :
 Lors de la fabrication d’un lot de
Enoncé : le tableau suivant donne le nombre
de clé USB vendues en fonction de leur
capacité en Go :
fromages, on a relevé la masse (en grammes)
de chacun d’eux.
2
4
8
16
Effectif
25
40
52
12
E.C.C.
25
…
117
…
Capacité en Go
a) Complète la ligne des effectifs cumulés.
b) Détermine les 1er et 3ème quartiles.
c) Écris une interprétation de chacun d’eux.
Solution :
b) …  129 = ...,…
…
Le 1er … est la 33ème capacité, dans l’… …
… 65, soit … Go.
3  … 96,75
=
4
Le 3ème … est la …ème …, dans l’… cumulé
… …, soit … Go.
c) Au moins … des … USB ont une …
…
d’au plus … Go.
Au … 3 des … ont une … d’au … 8 Go.
4
35
4
Masse (en g)
Effectif
36
8
37
10
38
14
39
8
40
6
a) Détermine les 1er et 3ème quartiles Q1 et Q3.
b) Écris une interprétation de chacun d’eux.
 On a demandé à des élèves le nombre de
films qu’ils ont vus au cinéma depuis la rentrée.
Nombre de
films vus
0
1
2
3
4
5
6
Effectif
2
4
7
8
10
6
3
a) Détermine le 1er quartile, puis écris son
interprétation.
b) Mêmes consignes avec le 3ème quartile.
 Mêmes consignes pour ce tableau de notes :
Note sur 5
0
1
2
3
4
5
Effectif
1
2
4
3
7
8
LES RELATIONS TRIGONOMETRIQUES
3ème
G3
Dans un triangle rectangle, on définit les relations trigonométriques suivantes :
INFO
cos A = « côté adjacent » = AC
« hypoténuse »
AB
B
hypoténuse
sin A = « côté opposé » = BC
« hypoténuse »
AB
côté opposé à A
tan A = « côté opposé » = BC
« côté adjacent »
AC
A
A
C
côté adjacent à A
 ABC est un triangle rectangle en A.
C
a) Ecris une formule faisant intervenir l’angle ABC, AB et AC.
b) Ecris une formule faisant intervenir l’angle ABC, AB et BC.
AB
ABC =
AC
ABC
BC
B
AC
AB
AB
ABC =
ABC
A
AB
BC
 Recopie et complète :
 Dessine un triangle TOP rectangle en P.
Enoncé :
Dessine un triangle KLM rectangle en K.
Exprime sin KLM, cos KLM et tan KLM à l’aide
des côtés de ce triangle.
a) Exprime cos OTP, sin OTP et tan OTP à
l’aide des côtés de ce triangle.
b) Fais la même chose avec l’angle TOP.
Solution :
 ABC est un triangle rectangle en A.
sin KLM = …
LM
cos KLM = …
…
tan KLM = KM
…
M
L
K
 Sur la figure ci-dessous, écris
trois rapports égaux à sin CAD :
C
B
Précise à
chaque fois
dans quel
triangle tu te
places !
A
E
D
INFO
a) Ecris les rapports correspondant à sin ABC,
cos ABC et tan ABC.
b) Ecris les rapports correspondant à sin ACB,
cos ACB et tan ACB.
 Recopie et complète en utilisant la
calculatrice (résultats arrondis au dixième) :
a) x = 50°, donc cos x  …
b) x = 72°, donc sin x  …
c) cos x = 0,7, donc x  …
d) tan x = 5, donc x  …
3
e) sin x = 0,5, donc x  ...
CALCULER UNE LONGUEUR EN TRIGONOMETRIE
3ème
G3
Dans un triangle rectangle, on définit les fonctions trigonométriques suivantes :
INFO
cos A = « côté adjacent » = AC
« hypoténuse »
AB
B
hypoténuse
sin A = « côté opposé » = BC
« hypoténuse »
AB
côté opposé à A
tan A = « côté opposé » = BC
« côté adjacent »
AC
A
A
C
côté adjacent à A
 ABC est un triangle rectangle en A tel que ABC = 64 ° et AC = 3,4 cm.
Calcule la longueur de [BC] arrondie au centième.
ABC
On connaît l’angle ABC et son côté
opposé AC, et on cherche
l’hypoténuse BC.
On choisit donc le sinus (« côté
opposé sur hypoténuse »).
A
B
ABC AC
BC
A
BC
BC
Pour le calcul de BC, on tape 3,4  sin 64 à
la calculatrice et on arrondit au centième :
3,782846598...  3,78.
C

INFO
BC
3,78 ou 3,79
Il y a un 2 après le 8,
donc on arrondit à 3,78.
 Recopie et complète :
 ABC est un triangle rectangle en A.
Enoncé : EFG est un triangle rectangle en E.
EFG = 32°, EG = 9 cm, calcule EF au
millimètre près.
Calcule la longueur demandée au mm près :
a) ABC = 68° ; AB = 12 cm ; AC  ?
F
G
Solution :
EFG est un … en …, donc
E
on peut … la …
On connaît le côté
opposé et on cherche
tan … = EG
…
le côté adjacent, donc
on utilise la tangente !
9
Donc tan …° =
…
Au mm
D’où …  tan …° = 9
près, c’est
arrondir
Et donc EF = 9  …
au
tan …°
dixième !
[EF] mesure environ … cm.
INFO
b) ACB = 25° ; AB = 3,5 cm ; BC  ?
c) ACB = 48° ; AC = 7,4 cm ; BC  ?
d) ABC = 62° ; BC = 7 cm ; AB  ?
 Calcule la longueur AH au mm près, puis
A
3,4 cm
37°
l’aire de ABC arrondie
au cm2.
H
C
B
7,2 cm
 Pour un maximum de sécurité, une
H
échelle doit former avec un mur un angle de
20°.
Avec une échelle de 9 m, jusqu’à quelle
hauteur de mur peut on monter (au cm
près) ?
P
 Quelle est la hauteur h de la
tour (au cm près) ?
S
20°
h
A
25°
B
1,50 m
B
C
45 m
D
CALCULER UN ANGLE AVEC LA TRIGONOMETRIE
3ème
G3
 Dans un triangle rectangle, on définit les fonctions trigonométriques suivantes :
INFO
cos A = « côté adjacent » = AC
« hypoténuse »
AB
B
hypoténuse
sin A = « côté opposé » = BC
« hypoténuse »
AB
côté opposé à A
tan A = « côté opposé » = BC
« côté adjacent »
AC
A
A
C
côté adjacent à A
 Donc si dans un triangle rectangle, on connaît deux longueurs, alors on peut
calculer n’importe lequel de ses deux angles aigus.
 ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 7,3 cm et AC = 4,8 cm.
Calcule la mesure de l’angle BCA arrondie au dixième.
ABC
A
INFO
C
BCA
AB
AC
BCA 
On cherche l’angleBCA , on
connaît son côté opposé AB et son
côté adjacent AC.
On choisit donc la tangente (« côté
opposé sur côté adjacent »).
Pour le calcul de BCA, on tape sur la
calculatrice : 2nd tan ( 7,3  4,8 )
(la touche 2nd s’appelle parfois inv ou shift , sans oublier
A
B
les parenthèses !) et on arrondit au dixième le résultat affiché :
56,67371031...  56,7.
BCA
56,6 ou 56,7
 Recopie et complète :
Il y a un 7 après le 6,
donc on arrondit à 56,7.
 ABC est un triangle rectangle en A.
Enoncé : EFG est un triangle rectangle en E.
EF = 3,5 cm et FG = 8,9 cm.
Calcule la mesure de l’angle
GFE au degré près.
F
G
Solution :
EFG est un … en …, donc
on peut … la …
cos … = EF = …
… 8,9
INFO
Donc GFE  …°
L’angle … mesure environ …°.
E
On connaît le
côté adjacent et
l’hypoténuse,
donc on utilise le
cosinus !
« au degré près »
signifie arrondi à
l’unité !
 Sur un terrain de foot, le
(conseil : calcule d’abord APO dans le triangle AOP, en expliquant
pourquoi ce triangle est rectangle).
b) BC = 8,5 cm ; AB = 4,5 cm ; ACB  ?
c) BC = 10,8 cm ; AC = 7,4 cm ; ACB  ?
 RST est un triangle rectangle en R
tel que RS = 5 cm et ST = 8 cm.
Calcule la mesure de tous ses angles au
degré près.
 Le sommet de la tour de
P
point de penalty P est situé à 11 m
de la ligne de but (AB). Les buts
O
ont une largeur AB de 7,32 m.
B
Calcule (au degré près) l’angle de tir
APB d’un footballeur lorsqu’il tire un penalty.
Calcule l’arrondi au dixième de l’angle
demandé :
a) AC = 5 cm ; AB = 12,2 cm ; ABC  ?
A
A 5m C
Pise s’écarte de la verticale
d’environ 5 m et se trouve à 55 m
environ 55 m du sol.
Calcule (au degré près) l’angle
ABC que fait la tour avec la
verticale.
B

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