Deuxième feuille d`exercice - IMJ-PRG

UPMC
1M002 Suites, int´egrales, alg`ebre lin´eaire
2014-2015
Int´
egration (deuxi`
eme feuille)
Exercice 1 ((C) Int´egration des fractions rationnelles). On consid`ere les polynˆomes suivants :
P2 (X) = X − 1,
P3 (X) = (X + 1)(X 3 + 2X 2 ).
– P1 (X) = (X + 1)3 ,
3
– Q1 (X) = X(1 − X),
Q2 (X) = X + X,
Q3 = X 3 − X
Pi
, eﬀectuer la division euclidienne
Qi
du num´erateur par le d´enominateur et factoriser ce dernier en produit de polynˆomes de degr´e 1 ou de
degr´e 2 sans racines r´eelles.
1. Pour chaque 1 ≤ i ≤ 3, ´ecrire et ´eventuellement simpliﬁer la fraction
P3
X2 + 2
car le facteur X(X + 1) se simpliﬁe.
=
Q3
X −1
On obtient les divisions euclidiennes : (X + 1)3 = (X + 4)(−X 2 + X) + 7X + 1 et X 2 + 2 = (X + 1)(X − 1) + 1. Il
n’est pas utile de poser la division euclidienne pour le deuxi`eme cas, car le degr´e du num´erateur est strictement
inf´erieur `a celui du d´enominateur. La factorisation de Q2 sur R est X(X 2 + 1).
Solution : On remarque que
b
P1
a
+
pour R1 un polynˆome de degr´e 1, et a et b deux r´eels.
= R1 +
Q1
X
X −1
D´eterminer ce polynˆ
ome et ces deux r´eels.
2. Pour i = 1, montrer que
P1
7X + 1
. D’apr`es le th´eor`eme de d´ecomposition en
= X +4+
Q1
X(1 − X)
b
P1
a
+
. On d´etermine les coeﬃcients
´el´ements simples, il existe deux r´eels a et b tels que
= X +4+
Q1
X
X −1
par la m´ethode de son choix : a = 1 et b = −8. Donc la d´ecomposition en ´el´ements simples est :
Solution : Vu la premi`ere question, on a
P1
8
1
−
.
=X +4+
Q1
X
X −1
3. Pour i = 2, montrer que
bX + c
P2
a
+ 2
pour a, b, c trois r´eels. D´eterminer ces trois r´eels.
=
Q2
X
X +1
Solution : D’apr`es le th´eor`eme de d´ecomposition en ´el´ements simples, il existe trois r´eels a et b et c tels que
bX + c
P2
a
+ 2
. On d´etermine les coeﬃcients par la m´ethode de son choix : a = −1 et b = c = 1. Donc la
=
Q2
X
X +1
d´ecomposition en ´el´ements simples est :
P2
X +1
1
.
=− + 2
Q2
X
X +1
b
P3
a
+
= R3 +
pour R3 un polynˆome de degr´e 1, et a et b deux
Q3
X + 1 (X + 1)2
r´eels. D´eterminer ce polynˆ
ome et ces deux r´eels.
4. Pour i = 3, montrer que
Solution : La premi`ere question nous donne
5. D´ebrouillez vous avec
P3
1
. C’est la d´ecomposition en ´el´ements simples !
= X +1+
Q3
X −1
1
X2 + 3
!
et
X4 + X2
X4 − 1
Solution : On obtient les d´ecompositions en ´el´ements simples
1
1
1
= 2− 2
X4 + X2
X
X +1
et
X2 + 3
1
1
1
=
−
−
.
X4 − 1
X − 1 X + 1 X2 + 1
6. Pour tous les exemples pr´ec´edents, trouver une primitive de la fonction rationnelle sur un intervalle de
d´eﬁnition.
Exercice 2 (D´ecomposition en ´el´ements simples). D´ecomposer en ´el´ements simples, puis trouver une primitive
1
et enﬁn calculer l’int´egrale entre et 1 de :
2
1
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t
.
1 + t3
t+1
.
2. G : ]0, 2[→ R d´eﬁnie par G(t) = 3
t − 4t
1. F : ]−1, +∞[→ R d´eﬁnie par F (t) =
Exercice 3 (Int´egrales impropres).
1. Calculer, pour tout X ∈ R, l’int´egrale
converge-t-elle quand X → ∞ ?
�
2. Montrer que la fonction X →
�
X
2
te−t dt. Cette int´egrale
0
X
2
e−t dt est croissante et major´ee.
0
3. En d´eduire qu’elle converge quand X → ∞.
4. Montrer plus g´en´eralement que pour tout polynˆome P ∈ R[X], l’int´egrale
X
2
P (t)e−t dt admet une limite
0
quand X → ∞.
Dans ces cas-l`a, on note
�
�
+∞
2
P (t)e−t dt et on parle d’int´egrale impropre.
0
´
Exercice 4 (Equations
int´egrales). R´esoudre les probl`emes suivants :
1. Trouver toutes les fonctions continues positives d´eﬁnies sur R v´eriﬁant f (x) = 2
�
0
x ∈ R.
x
�
f (t)dt pour tout
2. Trouver toutes les fonctions continues sur R v´eriﬁant pour tous r´eels x et y :
� x+y
f (x)f (y) =
f (t)dt.
x−y
Exercice 5 ((*) Lemme de Gronwall). On consid`ere une fonction f : �[1; +∞[→ R positive et continue. On ﬁxe
x
f (t)
deux r´eels 0 < a < b. On suppose que pour tout x ≥ 1, on a f (x) ≤ a
dt + b.
t2
1
� x
f (t)
a
dt pour x ≥ 1. Montrer que F � (x) ≤ 2 F (x) + b.
1. On introduit la fonction F (x) =
2
t
x
1
a
2. On pose G(x) = F (x)e x . D´eduire de la question pr´ec´edente une majoration de G� . En d´eduire que
b a
G(x) − G(1) ≤ − (e x − e).
a
3. En d´eduire une majoration de F , puis ﬁnalement que :
a
f (x) ≤ bea− x .
2

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