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´deutiques
Statistiques Prope
Cours : Prof. Dr. Christian Mazza
Exercices : Matthieu Jacquemet
Mardi 24 mars 2015
´rie 6
Se
Probabilit´
es II
` rendre avant le mercredi 1er avril, 8h15
A
Exercice 1 (Axiomes des probabilit´
es)
Seien A, B und C drei Ereignisse.
(a) Mit Hilfe einer Skizze, finde und zeige eine einfachere Ausdruck f¨
ur P (A ∪ B ∪ C).
(b) Zeige : P (A) = 1 − P (A).
(c) Sei A ⊂ B. Wie kann man P (A) und P (B) vergleichen ?
Exercice 2 (Une histoire et de l’Histoire)(a) Le sultan dit `a Ali-Baba : ”Voici deux
urnes indistinguables, deux boules blanches et deux boules noires. Je r´epartirai les boules
selon ton d´esir et tu auras la vie sauve si tu tires une boule blanche !”
Mais que dois faire Ali-Baba ?
(b) On jouait beaucoup, il y a trois si`ecles, au jeu de “passe dix”. La r`egle en est tr`es simple :
a tour de rˆ
`
ole, les joueurs jettent trois d´es au hasard ; un joueur gagne s’il obtient une
somme sup´erieure `
a 10, et il perd si la somme des points est inf´erieure ou ´egale `a 10.
(i) V´erifier que la probabilit´e d’obtenir 10 est la mˆeme que celle d’obtenir 11 et montrer
que le jeu est ´equitable.
(ii) Un ami de Galil´ee s’´etonnait de voir la somme 9 sortir moins souvent que la somme
10, alors que chacune de celles-ci peut ˆetre obtenue de “6 mani`eres diff´erentes”.
Galil´ee conclut que l’observation ´etait correcte. Qu’en pensez-vous ?
Exercice 3 (R´
esolution de probl`
eme avec SPSS)
On reprend l’exercice 4 de la S´erie 5. Charger les donn´ee ”MALADIES.sav” dans SPSS.
1. SPSS : Etablir l’histogramme des personnes saines, atteintes de M 1 et M 2. Trouver
un moyen de faire correspondre l’histogramme aux donn´ees (pourcentages)
2. SPSS : Essayer de trouver maintenant le meilleur graphique pour visualiser les probabilit´es conditionnelles (sachant soit P, soit N, quelle est la probabilit´e d’avoir quelle
maladie).
3. A l’aide de votre graphique pr´ec´edent, sachant que le test est positif, estimer la probabilit´e d’avoir M 1.
Exercice 4 (Bayes)
Man m¨
ochte eine Krankheit diagnostizieren und f¨
uhrt dazu einen Test durch. Man f¨
uhrt die
folgenden Bezeichnungen ein :
— A = der Test ist positiv.
— B = die untersuchte Person ist krank.
1. Es sei P (B) = 0.03 und man setze R := P (A|B) = P (Ac |B c ). Bestimme den Wert von
R, sodass P (B|A) = 0.97 gilt.
2. Berechne P (B c |Ac ).

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