seminaire de ski de fond

Terminale S4
Ann´
ee scolaire 2014-2015
Devoir surveill´
e num´
ero 1
Exercice 1 (10 points)
Dans une entreprise, on s’int´eresse `
a la probabilit´e qu’un salari´e soit absent durant une p´eriode d’´epid´emie de grippe.
• Un salari´e malade est absent
• La premi`ere semaine de travail, le salari´e n’est pas malade.
• Si la semaine n le salari´e n’est pas malade, il tombe malade la semaine n + 1 avec une probabilit´e ´egale `a 0, 04.
• Si la semaine n le salari´e est malade, il reste malade la semaine n + 1 avec une probabilit´e ´egale `a 0, 24.
On d´esigne, pour tout entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 1, par En l’´ev´enement hh le salari´e est absent pour cause de
maladie la n-i`eme semaine ii. On note pn la probabilit´e de l’´ev´enement En .
On a ainsi : p1 = 0 et, pour tout entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 1 : 0 6 pn < 1.
1. a) D´eterminer la valeur de p3 `
a l’aide d’un arbre de probabilit´e.
b) Sachant que le salari´e a ´et´e absent pour cause de maladie la troisi`eme semaine, d´eterminer la probabilit´e qu’il
ait ´et´e aussi absent pour cause de maladie la deuxi`eme semaine.
2. Mod´elisation par une suite
. . . En+1
a) Compl´eter l’arbre de probabilit´e donn´e ci-contre.
b) Montrer que, pour tout entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 1,
En
pn
pn+1 = 0, 2pn + 0, 04.
. . . En+1
c) Sur le graphique ci-dessous sont repr´esent´ees les droites d’´equations y = x
et y = 0, 2x + 0, 04.
. . . En+1
Sans calcul, repr´esenter les points de coordonn´ees (pn ; 0), pour n compris
...
entre 1 et 4. Laisser les traits de construction.
En
d) Quelles conjectures peut-on ´etablir concernant la suite (pn ) ?
. . . En+1
0.06
` l’aide d’un raisonnement par
3. A
r´ecurrence, d´emontrer que la suite (pn )
est croissante.
4. Montrer que la suite (un ) d´efinie pour
tout entier naturel n sup´erieur ou ´egal
a` 1 par un = pn − 0, 05 est une suite
g´eom´etrique dont on donnera le premier
terme et la raison r.
En d´eduire l’expression de un puis de
pn en fonction de n et r.
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.01
0.02
Variables
Initialisation
5. On consid`ere l’algorithme ci-contre.
` quoi correspond l’affichage final J ?
A
Pr´eciser ce que doit v´erifier la suite (pn ) pour que
l’on soit sˆ
ur que l’algorithme s’arrˆete, quel que soit
le nombre K entr´e.
Entr´ee
Traitement
Sortie
1
0.03
0.04
0.05
0.06
K et J sont des entiers naturels
P est un nombre r´eel
P prend la valeur 0
J prend la valeur 1
Saisir la valeur de K
Tant que P < 0, 05 − 10−K
P prend la valeur 0, 2 × P + 0, 04
J prend la valeur J +1
Fin tant que
Afficher J
Exercice 2 (5 points)
Un lecteur d’une biblioth`eque est passionn´e de romans policiers et de biographies. Cette biblioth`eque lui propose 150
romans policiers et 50 biographies.
40 % des ´ecrivains de romans policiers sont fran¸cais et 70 % des ´ecrivains de biographies sont fran¸cais.
Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.
1. Construire un arbre permettant de r´epondre aux question suivantes.
Ce qui suit est un questionnaire `
a choix multiples de six questions ; chacune comporte trois r´eponses, une seule est
exacte. On notera sur la copie la lettre correspondant `a la r´eponse choisie, en justifiant ce choix.
2. La probabilit´e que le lecteur choisisse un roman policier est :
1
a. 0, 4
b. 0, 75
c.
150
3. Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilit´e que l’auteur soit fran¸cais est :
a. 0, 3
b. 0, 8
c. 0, 4
4. La probabilit´e que le lecteur choisisse un roman policier fran¸cais est :
a. 1, 15
b. 0, 4
c. 0, 3
5. La probabilit´e que le lecteur choisisse un livre d’un ´ecrivain fran¸cais est :
a. 0, 9
b. 0, 7
c. 0, 475
6. La probabilit´e que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l’´ecrivain est fran¸cais est :
4
12
a.
b.
c. 0, 3
150
19
Exercice 3 (5 points)
´
Etudier
les variations des suites d´ecrites ci-dessous.
1. (tn ) est arithm´etique, de premier terme −3 et de raison 0, 4.
2. u0 = 3 et, pour tout entier n : un+1 = un − 4n − 1.
3. Pour tout entier n, wn = n2 + 2n.
4. (zn ) est g´eom´etrique, de premier terme −3 et de raison 0, 4.
Le g´enie de celui qui, d’un bond de sa pens´ee, est all´e de la chute d’une pomme `a la grande loi qui r´egit
les mondes, ne semble-t-il pas n´e d’un germe plus divin que l’esprit p´en´etrant de l’inventeur am´ericain,
du miraculeux fabricant de sonnettes, de porte-voix et d’appareils lumineux ?
Guy de Maupassant, La vie errante.
2

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