Terminale S1 (2013-2014) Loi binomiale - Exercices Loi binomiale Exercice 1 (Composants d´efectueux) Un constructeur de composants produit des r´esistances. La probabilit´e qu’une r´esistance soit d´efectueuse est de 5 × 10−3 . Dans un lot de 1000 r´esistances, quelle est la probabilit´e d’avoir : a. au moins une r´esistance d´efectueuse ? b. exactement deux r´esistances d´efectueuses ? c. au plus deux r´esistances d´efectueuses ? d. au moins deux r´esistances d´efectueuses ? e. En moyenne, combien de r´esistances d´efectueuses a-t’on dans un lot de r´esistances ? Exercice 2 (Au tableau) ` chaque cours de math´ematiques, le professeur de cette Une classe de terminale compte 30 ´el`eves dont 20 filles. A classe interroge au hasard un ´el`eve. D’un cours `a l’autre, le professeur ne se rappelle pas de l’´el`eve interrog´e au cours pr´ec´edent, ce qui fait qu’`a chaque cours le choix de l’´el`eve par le professeur est ind´ependant des choix pr´ec´edents. 1. Quelle est la probabilit´e, `a un cours donn´e, que l’´el`eve interrog´e soit une fille ? 2. Soit n un entier positif non nul. On appelle X la v.a.r correspondant au nombre de filles interrog´ees durant n cours de math´ematiques cons´ecutifs. a. Quelle est la loi de probabilit´e de X ? b. Quelle est la probabilit´e que 4 filles soient interrog´ees durant 10 cours cons´ecutifs ? c. En moyenne, combien de filles sont interrog´ees sur une p´eriode de 10 jours cons´ecutifs ? d. Quel doit ˆetre le nombre minimal de cours cons´ecutifs pour que la probabilit´e qu’aucune fille ne soit interrog´ee soit inf´erieure `a 0,001 ? Exercice 3 (`A vos montres) Une usine d’horlogerie fabrique des montres. Au cours de la fabrication peuvent apparaˆıtre deux types de d´efauts, d´esign´es par a et b. 2% des montres fabriqu´ees pr´esentent le d´efaut a et 10% le d´efaut b. Une montre est tir´ee au hasard dans la production. On d´efinit les ´ev´enements suivants : A :« la montre tir´ee pr´esente le d´efaut a » ; B :« la montre tir´ee pr´esente le d´efaut b » ; C :« la montre tir´ee ne pr´esente aucun des deux d´efauts » ; D :« la montre tir´ee pr´esente un et un seul des deux d´efauts ». On suppose que A et B sont ind´ependants. 1. Montrer que la probabilit´e de l’´ev´enement C est ´egale `a 0,882. 2. Calculer la probabilit´e de l’´ev´enement D. 3. Au cours de la fabrication, on pr´el`eve au hasard successivement cinq montres. On consid`ere que le nombre de montres fabriqu´ees est assez grand pour que l’on puisse supposer que les tirages se font avec remise et sont ind´ependants. Soit X la variable al´eatoire qui, `a chaque pr´el`evement de cinq montres, associe le nombre de montres ne pr´esentant aucun des deux d´efauts a et b. On d´efinit l’´ev´enement E « quatre montres au moins n’ont aucun d´efaut ». Calculer la probabilit´e de l’´ev´enement E. On donnera une valeur approch´ee `a 10−3 pr`es. Exercice 4 (La cl´e du succ`es) 1. Un singe cherche `a ouvrir une porte avec un trousseau comportant 10 cl´es, dont une seule est adapt´ee `a la serrure. Il teste les cl´es une `a une, sans remise, jusqu’`a l’ouverture de la porte. On note X le nombre de cl´es essay´ees. a. Illustrer la situation par un arbre pond´er´e. -1- 23 mars 2014 Terminale S1 (2013-2014) Loi binomiale - Exercices b. D´eterminer la loi de probabilit´e de X. X suit-elle une loi ´equir´epartie ? c. Combien d’essais faut-il au singe en moyenne pour ouvrir la porte ? 2. Un autre jour, le singe muni du mˆeme trousseau, essaie `a nouveau ses cl´es une `a une pour ouvrir la porte ; mais ayant trop bu de lait de noix de coco, il proc`ede `a 10 essais sans mettre de cˆ ot´e les cl´es qu’il teste. Il effectue ainsi ses 10 tests d’une de fa¸con totalement ind´ependante. a. Justifier que cette exp´erience al´eatoire est une sch´ema de BERNOULLI (pr´eciser n et p). b. On d´esigne par Y la variable al´eatoire qui associe aux dix essais le rang de celui qui permet l’ouverture de la porte si cela se produit et la valeur 11 dans le cas contraire. i. Y suit-elle une loi binomiale ? ii. D´eterminer la loi de Y . iii. Quelle est la probabilit´e que la porte ne s’ouvre qu’au 9e essai ? 3. On suppose qu’en fait, le singe est ivre de noix de coco 1 jour sur 3, et que lorsque c’est le cas, il ne teste plus ses cl´es une `a une sans remise (comme dans la question 1.), mais avec remise (comme dans la question 2.). Ce jour, le singe ne parvient `a ouvrir la porte qu’au 9e essai. Quelle est la probabilit´e qu’il soit ivre de noix de coco ? Exercice 5 (Prise de d´ecision) Un groupe de citoyens demande `a la municipalit´e d’une ville de modifier un carrefour en affirmant que 40% des automobilistes tournent en utilisant une mauvaise file. Un officier de police constate que sur 500 voitures prises au hasard, 178 prennent effectivement une mauvaise file. 1. D´eterminer, en utilisant la loi binomiale sous l’hypoth`ese p = 0, 4 et les donn´ees ci-contre, l’intervalle de fluctuation `a 95% de la fr´equence de « mauvaise file » sur un ´echantillon de taille 500. 2. La constatation de l’officier de police permet-elle de se prononcer sur l’affirmation des citoyens ? -2- 23 mars 2014
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