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M0SE 1003
Feuille 6 : fonctions de deux variables
Exercice 1
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer les dérivées partielles
∂ 2 fi
∂ 2 fi
∂x2 (x, y), ∂y 2 (x, y),
puis les dérivées partielles secondes
et
∂fi
∂fi
∂x (x, y), ∂y (x, y) ;
∂ 2 fi
∂x∂y (x, y).
1. f1 : (x, y) 7→ x2 + y 2 − 2x − 4y;
2. f2 : (x, y) 7→ x + ex y − y.
Exercice 2
On reprend les fonctions de l’exercice précédent.
1. Déterminer leurs points critiques.
2. S’agit-il d’extrêmas locaux ?
Exercice 3
Étudier les points critiques des fonctions suivantes (les trouver, puis déterminer
leur nature) :
1. f (x, y) = 4xe−x
2. g(x, y) =
2
−y 2
;
cos(x)
y 2 +1 ;
3
3. h(x, y) = x − xy + y 2 ;
4. u(x, y) = x2 + xy + y 2 − 3x − 6;
5. v(x, y) = x2 + 2y 2 − 2xy − 2y − 5.
Exercice 4 *
Soit q un réel fixé. Pour tout point M de coordonnées (x, y) du plan R2 on définit
−−→
q
f (M ) = , où r = kOM k.
r
1. Exprimer f comme une fonction de (x, y) ∈ R2 .
∂f
∂x (x, y)
et ∂f
∂y (x, y).
→
−
−
−
3. En déduire que pour tout (x, y) ∈ R2 , ∇f (x, y) = − rq2 →
u , où →
u =
2. Calculer les dérivées partielles
Exercice 5 Calculer l’intégrale
R 1 e−y
√ dxdy.
x=1 y=0 x x
R2
Exercice
R 6
Calculer D f (x, y) d(x, y) pour les fonctions f et domaines D suivants :
f (x, y) = x2 (2y + 1),
√
f (x, y) = x + y,
D = [−1, 1] × [0, 1]
D = [0, 1] × [0, 1]
Exercice 7
Soit D = {(x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0, x + y ≤ 1}. Calculer
Z
xy d(x, y)
D
1
−−→
OM
−−→ .
kOM k
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Feuille 6 : fonctions de deux variables
Exercice 8
Soit D = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [0, 1], x ≤ y ≤ x2 }. Calculer
Z
x2 d(x, y)
D
Exercice 9
Soit D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 − x ≤ 0}. Calculer
Z
x d(x, y)
D
Exercice 10 *
Soit Dr ⊂ R2 le disque autour de l’origine de rayon r, et ∆r le carré de côté 2r
centré en l’origine.
Z Z
2
2
1. Calculer I(r) =
e−(x +y ) dxdy
Dr
Z Z
−(x2 +y 2 )
e
dxdy. Utiliser I(r) pour donner un encadre2. Soit J(r) =
∆r
ment de J(r).
3. En déduire lim J(r).
r→+∞
2

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