Télécharger les corrections - MaJ le 24/03/2015

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
2014/2015
A. Troesch
Analyse 3 – Suites : convergence
Exercice 1 – Soit (un ) et (vn ) deux suites à valeurs dans [0, 1] telles que
tendent vers 1.
lim un vn = 1. Montrer que (un ) et (vn )
n→+∞
Exercice 2 – Soit (un )n∈N une suite à valeurs dans Z. Montrer que (un )n∈N converge vers une limite finie si et seulement
si elle est stationnaire, c’est-à-dire s’il existe un entier N tel que uN = uN +1 = · · · .
1/n
Exercice 3 – Soit (un )n∈N une suite à termes dans R∗+ . On suppose que (un )n∈N converge vers un réel ℓ.
1. Montrer que si ℓ < 1, alors (un )n∈N converge vers 0.
2. Montrer que si ℓ > 1, alors (un )n∈N converge vers +∞.
Exercice 4 – (Moyenne de Cesaro)
1
(u1 + · · · + un )
n
Montrer que si (un )n∈N∗ tend vers ℓ (fini ou infini), alors (vn )n∈N∗ tend aussi vers ℓ.
u n
Montrer que si (un+1 − un )n∈N∗ tend vers ℓ (fini ou infini), alors
tend vers ℓ.
n n∈N∗
1/n
On suppose que (un )n∈N∗ est à termes dans R∗+ . Montrer que si uun+1
converge
vers
ℓ,
alors
u
n
n
n∈N∗
n∈N∗
converge aussi vers ℓ.
1/n
2n
Déterminer la limite de (un )n∈N∗ définie par un =
.
n
Soit (un )n∈N∗ une suite réelle et soit ∀n ∈ N∗ , vn =
1.
2.
3.
4.
Exercice 5 –
1. Soit (ωn )n∈N une suite réelle, et (tn )n∈N la suite réelle définie par : ∀n ∈ N, tn =
Montrer que si (ωn ) admet une limite ℓ, alors tn admet aussi ℓ comme limite.
n
Z 1
1 + t2
2. Soit (an )n∈N la suite réelle définie par : an =
dt.
2
0
(a) Montrer que (an )n∈N tend vers 0.
1 + (n + 1)an
.
(b) Montrer que pour tout n ∈ N, an+1 =
2n + 3
3. Soit un = nan et vn = 2un+1 − un .
ω0 + 2ω1 + · · · + 2n ωn
.
2n+1
(a) Montrer que (vn ) tend vers 1.
(b) En exprimant un+1 en fonction de v0 , . . . , vn , déterminer la limite de (un ).
Exercice 6 – En considérant sin(n + 1), montrer que la suite (sin(n)) n’admet pas de limite en +∞.
Exercice 7 – Soit f une fonction réelle continue et positive sur l’intervalle [a, b]. On admet l’existence d’un maximum M
de f sur [a, b] (résultat classique d’analyse). Montrer que :
lim
n→+∞
Z
b
n
! n1
(f (x)) dx
a
=M
Exercice 8 – Soit (un )n∈N une suite réelle bornée telle que pour tout n ∈ N∗ , 2un 6 un+1 + un−1 .
1. Montrer que la suite (un+1 − un ) converge vers 0.
1
2. La suite (un ) est-elle convergente ?
Exercice 9 – Soit (un )n∈N une suite à valeurs dans [0, 1] telle que pour tout n ∈ N, (1 − un )un+1 > 14 . Montrer que (un )
1
est convergente, puis que lim un = .
n→+∞
2
Exercice 10 – Soit (an )n∈N une suite de réels positifs. A cette suite a = (an ), on associe une suite u(a) = (un (a))n∈N
définie par :
s
r
q
√
un (a) = a0 + a1 + a2 + · · · + an .
1. Montrer que (un (a)) est une suite croissante.
2. Si (a) est la suite constante égale à 1, montrer que u(a) converge, et calculer sa limite.
3. Si la suite (a) est donnée par an = λ2
n+1
, pour un λ > 0 donné, montrer que u(a) converge, et calculer sa limite.
4. Soit (an ) et
deux suites à termes positifs. Si pour tout n, an 6 a′n , montrer que on a aussi pour tout n,
un (a) 6 un (a ). Est -ce que u(a) converge lorsque an = n ? an = n! ? an = nn ?
(a′n )
′
1
5. Montrer que pour tout n, on a un (a) > an2n+1 . Trouver un exemple de suite (an ) telle que u(a) ne converge pas.
Exercice 11 – Soient u0 > 0, v0 > 0, u0 > v0 , 0 < q < p, et pour tout n > 0,
un+1 =
pun + qvn
p+q
et
vn+1 =
qun + pvn
.
p+q
Montre que (un ) et (vn ) converge vers une limite commune, qu’on déterminera.
Exercice 12 –
On note E l’ensemble des suites réelles (un )n∈N qui vérifient la relation de récurrence
∀n ∈ N∗ , un+1 = (4n + 2)un + un−1 .
1. On considère les deux suites (αn )n∈N et (βn )n∈N appartenant à E et définies par α0 = β1 = 1 et α1 = β0 = 0.
(a) Étudier la monotonie et la convergence des suites (αn )n∈N et (βn )n∈N .
(b) Soit n ∈ N. Montrer que αn+1 βn − αn βn+1 = (−1)n+1 .
α2n
α2n+1
αn
(c) En étudiant les deux suites
et
, montrer que
converge vers un réel ℓ.
β2n n∈N∗
β2n+1 n∈N∗
βn n∈N∗
αn
1
− ℓ 6
.
(d) Montrer que pour tout entier naturel n non nul, βn
βn βn+1
2. Dans cette question, (un )n∈N désigne une suite de E.
(a) Montrer qu’il existe deux réels λ et µ tels que : pour tout n de N, un = λαn + µβn .
(b) Déterminer, suivant les valeurs de λ et µ la limtie de (un ) (la discussion pourra faire intervenir le réel ℓ).
Exercice 13 – Pour chacune des suites ci-dessous, expliciter le terme un en fonction de n :
1. u0 = 2, pour tout n > 0, un+1 = un + 4
2. u0 = 3, pour tout n > 0, un+1 =
3. u0 = 1, pour tout n > 0, un+1 =
un
3
un
2
+1
4. u0 = 1, u1 = 2, pour tout n > 0, un+2 = 12un − un+1 .
5. u0 = 1, pour tout n > 0, un+1 = 2un + n − 1
6. u0 = 1, u1 = 1, pour tout n > 0, un+2 = un+1 + 2un + 3.
∗
Exercice 14 –
On considère la suite u définie par ses deux premiers termes u0 et u1 strictement positifs, et la relation de récurrence :
∀n ∈ N, un+2 =
2
√
√
un+1 + un .
Montrer que (un ) converge vers une limite finie qu’on déterminera.
Exercice 15 – Étudier la convergence des suites définies par les récurrences ci-dessous :
(a) u0 >
√
−3
, un+1 = 2un + 3
2
(d) u0 ∈ R, un+1 =
1
(4 − u2n )
3
(b) u0 > 0, un+1 =
2
u2n
(e) u0 6= −5, un+1 =
(c) u0 6= 1, un+1 =
4un + 2
un + 5
(f) u0 ∈ R, un+1 = cos(un ).
Exercice 16 – On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0, +∞[ par f (x) =
1
]1, +∞[ par g(x) =
. Soit (un ) définie par u0 = 1 et pour tout n ∈ N :
x−1
u2n+1 = f (u2n )
et
1 + un
1 − un
√
1 + x, et la fonction g définie sur
u2n+2 = g(u2n+1 ).
Étudier la convergence de (un ).
Exercice 17 – On définit pour tout n ∈ N∗ le polynôme : Pn =
2n
X
(−1)k xk
.
k
k=1
1. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , il existe un unique réel xn de R∗+ tel que Pn (xn ) = 0, et que de plus 1 < xn 6 2.
Z xn 2n
n
t −1
∗
dt > (xn − 1)2 .
2. Montrer que, pour tout n ∈ N :
t+1
2
1
3. En déduire l’existence et la valeur de la limite de xn .
Exercice 18 – Déterminer les valeurs d’adhérence de (un )
n∈N∗
n
(−1)n
, où : ∀n ∈ N , un = 1 +
.
n
∗
Exercice 19 – (Bolzano-Weierstrass et Borel-Lebesgue)
Soit (E, d) un espace métrique, et F un sous-ensemble de E.
• On dit que F est compact s’il vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass : de toute suite à valeurs dans F , on peut
extraire une suite convergeant vers une limite dans F .
[
• On appelle recouvrement de F par des ouverts la donnée d’une famille (Ui )i∈I d’ouverts de E tels que F ⊂
Ui (les
i∈I
Ui ne sont pas forcément disjoints). On dit que le recouvrement est fini si I est fini.
• On dit que F vérifie la propriété de Borel-Lebesgue si de tout recouvrement de F par des ouverts on peut extraire un
recouvrement fini de F .
Soit F un sous-ensemble de E vérifiant la propriété de Borel-Lebesgue, et soit (un )n∈N une suite à valeurs dans F .
1. Justifier que si x n’est pas valeur d’adhérence de (un )n∈N , alors il existe εx > 0 tel que la boule B(x, εx ) contient
un nombre fini de termes de la suite (un )n∈N .
2. En déduire que F est compact.
On pourrait montrer que réciproquement, si F est compact, alors F vérifie la propriété de Borel-Lebesgue. Cette propriété
caractérise donc les compacts.
Exercice 20 – Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de (un ) est fermé.
Exercice 21 – Soit (un )n∈N une suite d’éléments de R∗+ telle que lim un = 0. Montrer qu’on peut trouver une bijection
σ : N → N telle que (uϕ(n) )n∈N soit décroissante de limite nulle.
∗
Exercice 22 –
1. Soit (un )n∈N une suite telle que pour tout (m, n) ∈ N2 , un+m 6 un + um . Montrer que
ou finie.
un
n
tend vers une limite −∞
2. Soit (vn )n∈N une suite à valeurs dans R+ , telle que pour tout (m, n) ∈ N2 , vm+n 6 vm vn . Montrer que
√ converge et que sa limite est inf n∈N n vn .
3
√
n
vn
Exercice 23 – Soit (an ) et (bn ) deux suites complexes tendant vers 0. On suppose qu’il existe M ∈ R∗+ tel que pour
n
n
X
X
tout n ∈ N∗ ,
|bk | 6 M . Montrer que
ak bn+1−k tend vers 0.
∗
k=1
∗
k=1
Exercice 24 – Soit x un irrationnel, et (pn )n∈N et (qn )n∈N deux suites à valeurs entières, (qn ) ne s’annulant pas.
Montrer que si
pn
qn
→ x, alors |pn | → +∞ et |qn | → +∞.
Exercice 25 – Soit pour tout n ∈ N, un =
√
√
n − ⌊ n⌋. Montrer que tout x ∈ [0, 1] est valeur d’adhérence de (un ).
Exercice 26 – Montrer que si un+1 − un → 0, alors l’ensemble des valeurs d’adhérence de (un ) est un intervalle.
∗
Exercice 27 – (Oral X) Soit (un ) une suite bornée telle que un +
u2n
2
converge. Montrer que (un ) converge. Cela
reste-t-il vrai si (un ) n’est pas bornée ?
∗
Exercice 28 – (Caractérisation de la convergence au sens de Cesàro, oral X)
Soit (an )n>0 une suite réelle positive, majorée. Montrer qu’il y a équivalence entre :
n
1X
(i) Sn =
an −→ 0
n
k=0
(ii) Il existe A une partie de N de densité nulle (c’est-à-dire lim
n→+∞
∗
|A ∩ [[0, n − 1]]|
−→ 0) tel que lim an = 0.
n→+∞
n
n6∈A
Exercice 29 – Soit a et b deux réels tels que a < b. Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction continue, u0 ∈ [a, b] et pour tout
n ∈ N, un+1 = f (un ). On suppose de plus que un+1 − un −→ 0. Montrer que (un )n∈N converge.
4

Download Report