Lycée Louis-Le-Grand, Paris MPSI 4 – Mathématiques 2014/2015 A. Troesch Analyse 3 – Suites : convergence Exercice 1 – Soit (un ) et (vn ) deux suites à valeurs dans [0, 1] telles que tendent vers 1. lim un vn = 1. Montrer que (un ) et (vn ) n→+∞ Exercice 2 – Soit (un )n∈N une suite à valeurs dans Z. Montrer que (un )n∈N converge vers une limite finie si et seulement si elle est stationnaire, c’est-à-dire s’il existe un entier N tel que uN = uN +1 = · · · . 1/n Exercice 3 – Soit (un )n∈N une suite à termes dans R∗+ . On suppose que (un )n∈N converge vers un réel ℓ. 1. Montrer que si ℓ < 1, alors (un )n∈N converge vers 0. 2. Montrer que si ℓ > 1, alors (un )n∈N converge vers +∞. Exercice 4 – (Moyenne de Cesaro) 1 (u1 + · · · + un ) n Montrer que si (un )n∈N∗ tend vers ℓ (fini ou infini), alors (vn )n∈N∗ tend aussi vers ℓ. u n Montrer que si (un+1 − un )n∈N∗ tend vers ℓ (fini ou infini), alors tend vers ℓ. n n∈N∗ 1/n On suppose que (un )n∈N∗ est à termes dans R∗+ . Montrer que si uun+1 converge vers ℓ, alors u n n n∈N∗ n∈N∗ converge aussi vers ℓ. 1/n 2n Déterminer la limite de (un )n∈N∗ définie par un = . n Soit (un )n∈N∗ une suite réelle et soit ∀n ∈ N∗ , vn = 1. 2. 3. 4. Exercice 5 – 1. Soit (ωn )n∈N une suite réelle, et (tn )n∈N la suite réelle définie par : ∀n ∈ N, tn = Montrer que si (ωn ) admet une limite ℓ, alors tn admet aussi ℓ comme limite. n Z 1 1 + t2 2. Soit (an )n∈N la suite réelle définie par : an = dt. 2 0 (a) Montrer que (an )n∈N tend vers 0. 1 + (n + 1)an . (b) Montrer que pour tout n ∈ N, an+1 = 2n + 3 3. Soit un = nan et vn = 2un+1 − un . ω0 + 2ω1 + · · · + 2n ωn . 2n+1 (a) Montrer que (vn ) tend vers 1. (b) En exprimant un+1 en fonction de v0 , . . . , vn , déterminer la limite de (un ). Exercice 6 – En considérant sin(n + 1), montrer que la suite (sin(n)) n’admet pas de limite en +∞. Exercice 7 – Soit f une fonction réelle continue et positive sur l’intervalle [a, b]. On admet l’existence d’un maximum M de f sur [a, b] (résultat classique d’analyse). Montrer que : lim n→+∞ Z b n ! n1 (f (x)) dx a =M Exercice 8 – Soit (un )n∈N une suite réelle bornée telle que pour tout n ∈ N∗ , 2un 6 un+1 + un−1 . 1. Montrer que la suite (un+1 − un ) converge vers 0. 1 2. La suite (un ) est-elle convergente ? Exercice 9 – Soit (un )n∈N une suite à valeurs dans [0, 1] telle que pour tout n ∈ N, (1 − un )un+1 > 14 . Montrer que (un ) 1 est convergente, puis que lim un = . n→+∞ 2 Exercice 10 – Soit (an )n∈N une suite de réels positifs. A cette suite a = (an ), on associe une suite u(a) = (un (a))n∈N définie par : s r q √ un (a) = a0 + a1 + a2 + · · · + an . 1. Montrer que (un (a)) est une suite croissante. 2. Si (a) est la suite constante égale à 1, montrer que u(a) converge, et calculer sa limite. 3. Si la suite (a) est donnée par an = λ2 n+1 , pour un λ > 0 donné, montrer que u(a) converge, et calculer sa limite. 4. Soit (an ) et deux suites à termes positifs. Si pour tout n, an 6 a′n , montrer que on a aussi pour tout n, un (a) 6 un (a ). Est -ce que u(a) converge lorsque an = n ? an = n! ? an = nn ? (a′n ) ′ 1 5. Montrer que pour tout n, on a un (a) > an2n+1 . Trouver un exemple de suite (an ) telle que u(a) ne converge pas. Exercice 11 – Soient u0 > 0, v0 > 0, u0 > v0 , 0 < q < p, et pour tout n > 0, un+1 = pun + qvn p+q et vn+1 = qun + pvn . p+q Montre que (un ) et (vn ) converge vers une limite commune, qu’on déterminera. Exercice 12 – On note E l’ensemble des suites réelles (un )n∈N qui vérifient la relation de récurrence ∀n ∈ N∗ , un+1 = (4n + 2)un + un−1 . 1. On considère les deux suites (αn )n∈N et (βn )n∈N appartenant à E et définies par α0 = β1 = 1 et α1 = β0 = 0. (a) Étudier la monotonie et la convergence des suites (αn )n∈N et (βn )n∈N . (b) Soit n ∈ N. Montrer que αn+1 βn − αn βn+1 = (−1)n+1 . α2n α2n+1 αn (c) En étudiant les deux suites et , montrer que converge vers un réel ℓ. β2n n∈N∗ β2n+1 n∈N∗ βn n∈N∗ αn 1 − ℓ 6 . (d) Montrer que pour tout entier naturel n non nul, βn βn βn+1 2. Dans cette question, (un )n∈N désigne une suite de E. (a) Montrer qu’il existe deux réels λ et µ tels que : pour tout n de N, un = λαn + µβn . (b) Déterminer, suivant les valeurs de λ et µ la limtie de (un ) (la discussion pourra faire intervenir le réel ℓ). Exercice 13 – Pour chacune des suites ci-dessous, expliciter le terme un en fonction de n : 1. u0 = 2, pour tout n > 0, un+1 = un + 4 2. u0 = 3, pour tout n > 0, un+1 = 3. u0 = 1, pour tout n > 0, un+1 = un 3 un 2 +1 4. u0 = 1, u1 = 2, pour tout n > 0, un+2 = 12un − un+1 . 5. u0 = 1, pour tout n > 0, un+1 = 2un + n − 1 6. u0 = 1, u1 = 1, pour tout n > 0, un+2 = un+1 + 2un + 3. ∗ Exercice 14 – On considère la suite u définie par ses deux premiers termes u0 et u1 strictement positifs, et la relation de récurrence : ∀n ∈ N, un+2 = 2 √ √ un+1 + un . Montrer que (un ) converge vers une limite finie qu’on déterminera. Exercice 15 – Étudier la convergence des suites définies par les récurrences ci-dessous : (a) u0 > √ −3 , un+1 = 2un + 3 2 (d) u0 ∈ R, un+1 = 1 (4 − u2n ) 3 (b) u0 > 0, un+1 = 2 u2n (e) u0 6= −5, un+1 = (c) u0 6= 1, un+1 = 4un + 2 un + 5 (f) u0 ∈ R, un+1 = cos(un ). Exercice 16 – On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0, +∞[ par f (x) = 1 ]1, +∞[ par g(x) = . Soit (un ) définie par u0 = 1 et pour tout n ∈ N : x−1 u2n+1 = f (u2n ) et 1 + un 1 − un √ 1 + x, et la fonction g définie sur u2n+2 = g(u2n+1 ). Étudier la convergence de (un ). Exercice 17 – On définit pour tout n ∈ N∗ le polynôme : Pn = 2n X (−1)k xk . k k=1 1. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , il existe un unique réel xn de R∗+ tel que Pn (xn ) = 0, et que de plus 1 < xn 6 2. Z xn 2n n t −1 ∗ dt > (xn − 1)2 . 2. Montrer que, pour tout n ∈ N : t+1 2 1 3. En déduire l’existence et la valeur de la limite de xn . Exercice 18 – Déterminer les valeurs d’adhérence de (un ) n∈N∗ n (−1)n , où : ∀n ∈ N , un = 1 + . n ∗ Exercice 19 – (Bolzano-Weierstrass et Borel-Lebesgue) Soit (E, d) un espace métrique, et F un sous-ensemble de E. • On dit que F est compact s’il vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass : de toute suite à valeurs dans F , on peut extraire une suite convergeant vers une limite dans F . [ • On appelle recouvrement de F par des ouverts la donnée d’une famille (Ui )i∈I d’ouverts de E tels que F ⊂ Ui (les i∈I Ui ne sont pas forcément disjoints). On dit que le recouvrement est fini si I est fini. • On dit que F vérifie la propriété de Borel-Lebesgue si de tout recouvrement de F par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini de F . Soit F un sous-ensemble de E vérifiant la propriété de Borel-Lebesgue, et soit (un )n∈N une suite à valeurs dans F . 1. Justifier que si x n’est pas valeur d’adhérence de (un )n∈N , alors il existe εx > 0 tel que la boule B(x, εx ) contient un nombre fini de termes de la suite (un )n∈N . 2. En déduire que F est compact. On pourrait montrer que réciproquement, si F est compact, alors F vérifie la propriété de Borel-Lebesgue. Cette propriété caractérise donc les compacts. Exercice 20 – Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de (un ) est fermé. Exercice 21 – Soit (un )n∈N une suite d’éléments de R∗+ telle que lim un = 0. Montrer qu’on peut trouver une bijection σ : N → N telle que (uϕ(n) )n∈N soit décroissante de limite nulle. ∗ Exercice 22 – 1. Soit (un )n∈N une suite telle que pour tout (m, n) ∈ N2 , un+m 6 un + um . Montrer que ou finie. un n tend vers une limite −∞ 2. Soit (vn )n∈N une suite à valeurs dans R+ , telle que pour tout (m, n) ∈ N2 , vm+n 6 vm vn . Montrer que √ converge et que sa limite est inf n∈N n vn . 3 √ n vn Exercice 23 – Soit (an ) et (bn ) deux suites complexes tendant vers 0. On suppose qu’il existe M ∈ R∗+ tel que pour n n X X tout n ∈ N∗ , |bk | 6 M . Montrer que ak bn+1−k tend vers 0. ∗ k=1 ∗ k=1 Exercice 24 – Soit x un irrationnel, et (pn )n∈N et (qn )n∈N deux suites à valeurs entières, (qn ) ne s’annulant pas. Montrer que si pn qn → x, alors |pn | → +∞ et |qn | → +∞. Exercice 25 – Soit pour tout n ∈ N, un = √ √ n − ⌊ n⌋. Montrer que tout x ∈ [0, 1] est valeur d’adhérence de (un ). Exercice 26 – Montrer que si un+1 − un → 0, alors l’ensemble des valeurs d’adhérence de (un ) est un intervalle. ∗ Exercice 27 – (Oral X) Soit (un ) une suite bornée telle que un + u2n 2 converge. Montrer que (un ) converge. Cela reste-t-il vrai si (un ) n’est pas bornée ? ∗ Exercice 28 – (Caractérisation de la convergence au sens de Cesàro, oral X) Soit (an )n>0 une suite réelle positive, majorée. Montrer qu’il y a équivalence entre : n 1X (i) Sn = an −→ 0 n k=0 (ii) Il existe A une partie de N de densité nulle (c’est-à-dire lim n→+∞ ∗ |A ∩ [[0, n − 1]]| −→ 0) tel que lim an = 0. n→+∞ n n6∈A Exercice 29 – Soit a et b deux réels tels que a < b. Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction continue, u0 ∈ [a, b] et pour tout n ∈ N, un+1 = f (un ). On suppose de plus que un+1 − un −→ 0. Montrer que (un )n∈N converge. 4
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