Suites et séries de fonctions

Psi 945 – 2014/2015
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Exercices
Suites et séries de fonctions
1
Convergence de suites de fonctions
Exercice 1 — Exemples
Étudier 1 la convergence simple et uniforme des suites de fonctions :
1. fn : x ∈ R+ 7→ nα xe−nx (avec α ∈ R) ;
2. fn : x ∈ R 7→ sin ((1 + 1/n) x) ;
(
xn ln x si x > 0
3. fn : x ∈ [0, 1] 7→
0
si x = 0
(
nxn ln x si x > 0
4. fn : x ∈ [0, 1] 7→
0
si x = 0
2
x
5. fn : x ∈ R 7→ min n,
n
Exercice 2 — f (x/n)
Soit f ∈ C(R+ , R). On définit sur R+ : fn (x) = f (x/n). Étudier la convergence simple et uniforme de (fn )n>1 .
n
x
Exercice 3 — f √
; difficile !
n
n
x
+
Soit f ∈ C(R, R∗ ). On définit sur R : fn (x) = f √
. Étudier la convergence simple et uniforme de (fn )n>1 .
n
Exercice 4 — CCP 2009
2 2
On pose, pour n ∈ N : fn (x) = ne−n x . Étudier la convergence simple de (fn )n∈N sur R. Montrer la convergence
uniforme sur tout intervalle de la forme [a, +∞[ avec a > 0. Étudier la convergence uniforme sur ]0, +∞[.
Exercice 5 — CCP 2010
2
Soit, pour n ∈ N∗ , fn : x ∈ R 7→ nxe−x ln n . Étudier la convergence simple et uniforme de (fn )n>1 .
Exercice 6 — ENSAM 2010 ; finir en ε
n
Soit h ∈ C 0 ([0, π/2], R) et, pour n ∈ N, fn (x) = h(x) (sin x) . Étudier la convergence simple et uniforme de
(fn )n∈N .
Exercice 7 — Sous la diagonale ; difficile
Soit f ∈ C(R+ , R+ ) telle que :
∀x > 0,
0 < f (x) < x.
Montrer que (f (n) )n∈N converge uniformément sur tout segment de R+ (avec f (n) = f ◦ · · · ◦ f ).
2
Séries de fonctions : convergence, régularité, comportement asymptotique
Exercice 8 — CCP 2008 ; instructif
∞
X
e−nx
On pose f (x) =
(−1)n+1
·
n
n=1
1. Montrer que le domaine de définition de f est R+ .
2. Montrer que la série converge uniformément sur [0, +∞[.
3. Exprimer f (x) à l’aide des fonctions usuelles.
1. Avant le TD, chacun en travaille au moins une, qu’il doit être capable d’aller exposer au tableau
1
Exercice 9 — Uniformément, pas normalement
X (−1)n−1 e−nx
√
converge uniformément sur R+ , mais pas normalement.
Montrer que la série de fonctions
n
n>1
Exercice 10 — CCP 2010
+∞
X
ln(1 + nx2 )
Soit S : x 7→
·
n2
n=1
1. Montrer que S est définie et continue sur R.
2. S est-elle dérivable ?
Exercice 11 — Étude aux bordsX
On définit, pour x ∈ R : F (x) =
n>1
x
·
x2 + n2
1. Montrer que F est bien définie et continue sur R.
2. Donner un équivalent de F en 0 et en +∞.
Exercice 12 — Mines 2010, 2011, 2012, 2013, 2014... 2015 ?
∞
X
√
1. Déterminer le domaine de convergence de f (x) =
e−x n .
n=0
2. Montrer que f est C ∞ sur ce domaine.
3. Donner un équivalent de f en 0.
On termine par deux résultats plus théoriques et assez classiques.
Exercice 13 — Classique ; en ε
Soit (fn )n∈N une suite de fonctions convergent uniformément vers f sur I, et (xn )n∈N une suite de points de I
convergeant vers l ∈ I. Montrer : fn (xn ) −→ f (l).
n→+∞
Exercice 14 — Le(s) théorème(s) de Dini ; difficile
Soit (fn ) une suite de fonctions continues croissantes convergeant simplement sur un segment vers une fonction
continue . Montrer que la convergence est uniforme.
Donner un contre-exemple si on enlève l’hypothèse de continuité de f .
Un autre résultat dû à Dini nous dit que si les convergences sont croissantes (à x fixé, la suite (fn (x))n∈N est
croissante), toujours avec la limite continue, alors la convergence est uniforme.
3
Récoltes MP 2011 et 2012
Exercice 15 — CCP
X
1. Montrer que si
fn converge uniformément, alors (fn )n∈N converge uniformément vers 0.
X
2. La série
z n converge-t-elle uniformément sur le disque ouvert unité ?
Exercice 16 — IIE, CCP, Centrale, Mines...
+∞ X
1
1
On définit, pour x ∈ R+ : S(x) =
−
·
n n+x
n=1
1. (a) Montrer que S est bien définie.
(b) Calculer S(0) et S(1).
(c) Trouver K tel que S soit K-lipschitzienne.
2. (a) Montrer que S est dérivable.
(b) Montrer que S est de classe C ∞ sur R+ .
1
1
3. En utilisant ϕx : t > 1 7→ −
, donner un équivalent de S au voisinage de +∞.
t
t+x
4. Donner l’allure de la courbe représentative de S.
Exercice 17 — TPE
Soit un (x) = (−1)n+1
+∞
X
e−(n+2)x
· On pose U (x) =
un (x).
(n + 1)(n + 2)
n=0
2
1. Montrer que U est définie puis continue puis de classe C 1 sur R+ .
2. Montrer que U est de classe C 2 sur ]0, +∞[.
3. Calculer U 00 + U 0 .
4. En déduire U 0 , puis U .
X
5. Convergence de
U (n) ?
n∈N
Exercice 18 — CCP
Soit fn : x ∈ [0, π/2] 7→ n(cos x)n sin x.
1. Convergence simple ?
2. Uniforme ?
Z
π/2
3. Soit g ∈ C([0, π/2], R). Déterminer la limite de
fn (t)g(t)dt lorsque n tend vers +∞.
0
Exercice 19 — CCP
Pour x > 0 et n > 1, on pose fn (x) =
+∞
P
xe−nx
, puis : S(x) =
fn (x), sous réserve de convergence.
ln n
n=2
1. Étudier les convergences simple, uniforme et normale de cette série de fonctions.
2. S est-elle C 1 sur R∗+ ?
3. S est-elle dérivable à droite en 0 ?
Exercice 20 — TPE
+∞
P n2
Soit ϕ(x) =
x .
n=0
1. Domaine de définition de ϕ ?
2. Équivalent de ϕ en 1.
4
Des indications
– Exercice 1 :
1. Convergence simple sans problème. Les variations de fn sont simples à étudier...
2. L’inégalité des accroissements finis nous donne la convergence uniforme sur [−A, A]. On a par ailleurs :
fn (nπ/2) − f (nπ/2) = ±1 donc kfn − f k∞ > 1.
3. Je trouve kfn k∞ = O(1/n).
4. Ici, kfn k∞ = e−1 , avec convergence uniforme sur [0, 1 − α] (la bosse glisse vers 1).
5. Convergence uniforme vers 0 sur [−A, A], mais bien sûr pas R, puisque kfn k∞ −→ +∞.
n→+∞
– Exercice 2 : convergence simple vers f (0), uniforme sur [−A, A] par continuité en 0, mais pas sur R (prendre f
non bornée par exemple).
– Exercice 3 : tout est fonction de la position de f (0) vis-à-vis de 1 en première approximation :
– si f (0) < 1, il y a convergence simple vers 0 (uniforme sur [−A, A] mais pas R) ;
– si f (0) > 1, il y a « divergence simple » !
– si f (0) = 1, différents scénarios peuvent se produire : regarder f (x) = 1 − x, f (x) = 1 − x2 , f (x) = 1 − x3 ...
– Exercice 4 : on a kf k∞,[a,+∞[ = fn (a), et kfn k∞,]0,+∞[ = 1 par continuité de fn en 0.
– Exercice 5 : divergence sur ] − 1, 1[ ; convergence ailleurs, uniforme sur [1 + ε, +∞[.
– Exercice 6 : convergence simple sans problème. Elle est uniforme sur [0, π/2−α] et pas [0, π/2] lorsque h(π/2) 6= 0.
Si h(π/2) = 0, travailler en ε pour établir la convergence uniforme sur [0, π/2].
– Exercice 7 : la convergence simple est claire dès qu’on voit cela comme un problème de suite vérifiant un+1 =
f (un ) (avec un = f (n) (x)). Il n’y a pas convergence uniforme sur R+ , mais sur [0, A], on peut établir la
f (x)
majoré par K < 1 sur [α, A], donc
convergence uniforme en epsilonisant : dès que α > 0 est fixé, on a
x
(n)
f (x) va «rapidement» atteindre [0, α].
1
e−nx
– Exercice 8 : la majoration du reste pour les séries alternées donne la convergence uniforme : |Rn (x)| 6
6 ·
n
n
0
On trouve ensuite (convergences normales sur [α, +∞[) f 0 (x) = (ln(1 + e−x )) sur ]0, +∞[, puis grâce à la limite
en +∞ : f (x) = ln(1 + e−x ). Penser à prouver que la relation se prolonge en 0 !
1
– Exercice 9 : encore une majoration du reste d’une série alternée. On a par ailleurs kfn k∞ = √ ·
n
3
1
···
n3/2
– Exercice 11 : il y a convergence normale sur [−A, A] (mais pas sur R, au passage : regarder fn (n)). À n fixé,
+∞
X
f (x)
π2
1
1
=
on a fn (x) −→ 2 quand x tend vers 0, et on a alors sans problème
−→
(majoration de la
x→0 n
x x→0 n=1 n2
6
1
lorsque x tend vers +∞. On évalue
différence, ou double-limite). Ensuite, toujours à n fixé, on a fn (x) ∼
x
π
π
alors xf (x) par une comparaison somme/intégrale, qui donne finalement : xf (x) ∼ x , et donc : f (x) −→
·
x→+∞ 2
2
∞
– Exercice 12 : la convergence des séries dérivées est normale sur [a, +∞[, d’où le caractère C . Au voisinage de
2
0, une comparaison somme/intégrale fournit comme équivalent : 2 · Au fait :
x
> int(exp(-sqrt(u)),u=0..infinity);
2
– Exercice 10 : convergence normale sur [0, A]. On trouve ensuite kfn0 k∞ =
Et en +∞ ? Prolongez l’exercice...
– Exercice 13 : epsiloniser : |fn (xn ) − f (l)| 6 |fn (xn ) − f (xn )| + |f (xn ) − f (l)|.
– Exercice 14 : casser le segment en une subdivision telle que la différence des images par f entre deux points
consécutifs ne dépasse pas ε... On notera qu’ici encore, fn : x 7→ xn constitue un contre-exemple simple aux
deux théorèmes de Dini (sans l’hypothèse sur la continuité de la limite).
4

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