Suites et séries numériques de PCSI

Suites et séries numériques de PCSI
I - Généralités sur les suites numériques
On appellera suite réelle tout élément de RN .
1) Convergence — Unicité de la limite
Étant donné un réel ℓ, on dit que la suite réelle (un ) admet ℓ pour limite si et seulement si
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ |un − ℓ| ≤ ε.
Lorsqu’un tel nombre ℓ existe, on dit que la suite (un ) est convergente, ou encore qu’elle admet une
limite ﬁnie.
Le nombre ℓ est alors unique, appelé la limite de la suite (un ), noté lim un .
n→∞
Dans le cas contraire, on dit que la suite (un ) est divergente.
On dit que (un ) admet pour limite +∞ (resp. −∞) si et seulement si
∀A > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ un ≥ A (resp. un ≤ −A).
Attention ! Dans le cas où (un ) admet pour limite ±∞, (un ) est divergente.
2) Composition de limites
Soient f une fonction numérique et (un )n∈N une suite réelle telle que un soit dans l’ensemble de déﬁnition
de f à partir d’un certain rang.
Si (un )n∈N converge vers a et si f admet une limite ℓ en a, alors la suite f (un )
Si (un )n∈N converge vers a et si f est continue en a, alors la suite f (un )
n∈N
n∈N
converge vers ℓ.
converge vers f (a).
3) Convergence et relation d’ordre
a) Passage à la limite dans une inégalité
Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles convergentes telles que, à partir d’un certain rang,
un ≤ vn , alors lim (un ) ≤ lim (vn ).
Attention ! Avant d’appliquer cette propriété, bien justiﬁer l’existence des limites (voir aussi le paragraphe suivant).
1
Attention ! Les inégalités strictes ne se transmettent pas en général (cf. ∀n ∈ N∗
> 0).
n
b) Théorème d’encadrement
Soient (un )n∈N , (vn )n∈N , (wn )n∈N trois suites réelles telles que :
• à partir d’un certain rang, un ≤ vn ≤ wn ;
• (un )n∈N et (wn )n∈N convergent vers une même limite ℓ.
Alors (vn )n∈N converge également vers ℓ.
Attention ! Ce n’est pas le cas sans l’hypothèse de la limite commune à (un )n∈N et (wn )n∈N
(cf. ∀n ∈ N − 1 ≤ (−1)n ≤ 1).
NB : Ce résultat permet d’établir la convergence de (vn )n∈N , contrairement au “passage à la limite”.
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4) Convergence des suites monotones
Théorème : toute suite réelle croissante majorée converge ;
toute suite réelle décroissante minorée converge.
Plus précisément, si (un )n∈N est une suite réelle croissante, alors
lim un = sup {un , n ∈ N} ∈ R ∪ {+∞}
n→∞
(soit elle est majorée, auquel cas elle converge, soit elle a pour limite +∞).
De même, si (un )n∈N est une suite réelle décroissante, alors
lim un = inf {un , n ∈ N} ∈ R ∪ {−∞}
n→∞
(soit elle est minorée, auquel cas elle converge, soit elle a pour limite −∞).
5) Suites adjacentes
Déﬁnition : deux suites réelles (an )n∈N et (bn )n∈N sont adjacentes si et seulement si l’une est croissante,
l’autre décroissante et lim (an − bn ) = 0.
n→∞
Théorème : si (an )n∈N et (bn )n∈N sont adjacentes, avec (an )n∈N croissante et (bn )n∈N décroissante,
alors ∀ (p, q) ∈ N2 ap ≤ bq et (an )n∈N et (bn )n∈N convergent vers une même limite.
NB : un énoncé équivalent est le théorème des segment emboîtés : si [an , bn ]
sante de segments de R, telle que lim (an − bn ) = 0, alors
n→∞
n∈N
est une suite décrois-
[an , bn ] est un singleton.
n∈N
Remarque pratique : pour montrer que deux suites sont adjacentes, sachant que l’une est croissante
et l’autre décroissante, penser éventuellement à montrer d’abord que les deux convergent (par exemple
à l’aide du § 1), puis que leurs limites sont égales (en utilisant les déﬁnitions des suites). On en déduit
que la diﬀérence converge vers 0 !
6) Suites extraites
Déﬁnition : on appelle suite extraite (ou sous-suite) d’une suite (an )n∈N toute suite de la forme
aϕ(n) n∈N , où ϕ est une application strictement croissante de N dans N (en particulier lim ϕ = +∞).
+∞
Exemples : (an+1 )n∈N , (a2n )n∈N , (a2n )n∈N sont des suites extraites de (an )n∈N .
Propriété : si (an )n∈N admet une limite (dans R), alors toute suite extraite de (an )n∈N admet la même
limite.
Exercice classique : si (a2n )n∈N et (a2n+1 )n∈N admettent une même limite ℓ, alors (an )n∈N admet
pour limite ℓ (mais cf. (−1)n n∈N . . . ).
II - Quelques idées pour l’étude de suites récurrentes
1) Généralités
On se donne une application f : D → R et on s’intéresse aux suites réelles (un )n∈N déﬁnies par la donnée
de u0 , dans l’ensemble de déﬁnition D de f , et la relation de récurrence : ∀n ∈ N un+1 = f (un ).
a) Déﬁnition de la suite (un )n∈N
On peut chercher une partie F de D, stable par f , telle que u0 ∈ F ; il est alors clair par récurrence
que la suite est déﬁnie et a tous ses termes dans F .
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b) Représentation graphique
Ayant tracé le graphe Γ de f et la bissectrice ∆ du repère (d’équation y = x), partant du point (u0 , u1 )
de Γ, on trace un segment parallèle à Ox pour rejoindre (u1 , u1 ) de ∆, puis un segment parallèle à Oy
pour rejoindre (u1 , u2 ) de Γ,. . .
c) Limites possibles
Si (un )n∈N converge vers ℓ et f continue en ℓ, nécessairement f (ℓ) = ℓ.
d) Cas où f est croissante
Si f : F → F est croissante sur F , on montre par récurrence que (un )n∈N est monotone :
si u0 < u1 , alors (un )n∈N est croissante ; si u0 > u1 , alors (un )n∈N est décroissante.
NB : la position de u0 par rapport à u1 peut-être fournie par l’étude du signe de f (x) − x.
e) Cas où f est décroissante
Si f : F → F est décroissante sur F , alors les deux sous-suites (u2p )p∈N et (u2p+1 )p∈N sont monotones,
de sens contraires :
• si u0 < u2 , alors (u2p )p∈N est croissante et (u2p+1 )p∈N décroissante ;
• si u0 > u2 , alors (u2p )p∈N est décroissante et (u2p+1 )p∈N croissante.
En eﬀet, ces deux suites sont des suites récurrentes associées à la fonction f ◦ f , qui est croissante !
NB : la position de u0 par rapport à u2 peut-être fournie par l’étude du signe de f ◦ f (x) − x.
Rappel : (un )n∈N converge vers ℓ si et seulement si(u2p )p∈N et (u2p+1 )p∈N convergent vers ℓ.
2) Rapidité de convergence
a) Cas d’une fonction contractante
Supposons f : F → F et k ∈ [0, 1[ tels que : ∀ (x, y) ∈ F 2 |f (x) − f (y)| ≤ k · |x − y| (penser à
l’inégalité des accroissements ﬁnis . . . ).
Si f admet pour point ﬁxe ℓ dans F et si u0 ∈ F , une récurrence immédiate montre que
∀n ∈ N
|un − ℓ| ≤ kn · |u0 − ℓ|
(majoration par une suite géométrique). On a convergence très rapide de (un )n∈N vers ℓ.
b) Convergence quadratique
Supposons f : F → F , λ ∈ R+∗ et ℓ ∈ F point ﬁxe de f tels que : ∀x ∈ F
Si u0 ∈ F et p ∈ N, une récurrence immédiate montre que
∀n ≥ p
|un − ℓ| ≤ λ2
n−p
−1
· |up − ℓ|2
|f (x) − ℓ| ≤ λ · |x − ℓ|2 .
n−p
Pourvu que |λ · (up − ℓ)| < 1, pour une certaine valeur de p, on a convergence “ultra-rapide” de (un )n∈N
vers ℓ. On a coutume de dire que le nombre de décimales exactes est doublé à chaque itération (si l’on
considère un comme une valeur approchée de ℓ).
√
√
1
a
Exemple : pour a > 0 donné, soient F = [ a, +∞[ et f : x →
x+
; on vériﬁe que a est point
2
x
ﬁxe de f et que
√
√ 2
√ 2
1
1
∀x ∈ F
f (x) − a =
x− a ≤ √ x− a
2x
2 a
Pour a = 2 et u0 = 2, on trouve :
u1 ≈ 1.5000000000000000000000000000000000000000000000000
u2 ≈ 1.4166666666666666666666666666666666666666666666667
u3 ≈ 1.4142156862745098039215686274509803921568627450980
u4 ≈ 1.4142135623746899106262955788901349101165596221157
u5 ≈ 1.4142135623730950488016896235025302436149819257762
u6 ≈ 1.4142135623730950488016887242096980785696718753772
tandis
que :
√
2 = 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769 . . .
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c) Obtention d’équivalents à l’aide du théorème de Cesàro
On suppose ici F de la forme [0, b] (b > 0) et f : F → F telle que
f (x) = x − a.xp + o (xp )
où a > 0, p > 1
Alors, pour u0 > 0, suﬃsamment proche de 0, il est aisé de vériﬁer que (un )n∈N décroît vers 0.
1
1
On cherche α tel que vn = α − α admette une limite réelle non nulle :
un+1 un
uα − uα
vn ∼ n 2αn+1 car un+1 ∼ un puisque f (x) ∼ x
0
un
or
uαn+1 = f (un )α = uαn · 1 − a.unp−1 + o unp−1
α
= uαn · 1 − α.a.unp−1 + o unp−1
d’où
vn ∼ α.a · unp−1−α
On choisit donc α = p − 1, alors (vn ) converge vers (p − 1) .a et, par sommation, le théorème de Cesàro
permet de montrer que
1
p−1 ∼ n. (p − 1) .a
un
d’où
1
p−1
1
un ∼
(p − 1) .a.n
1
3
Exemple : avec f : x → sin x, b = 1, a = , p = 3, on obtient un ∼
(convergence lente !)
6
n
3) Suites arithmético-géométriques
Ici F = R et f : x → ax + b (a ∈ R\ {0, 1}et b ∈ R∗ ). Les idées précédentes s’appliquent, mais on peut
exprimer directement un en fonction de n :
b
• on détermine le point ﬁxe ω de f : ω =
;
1−a
• on remarque que la suite (un − ω)n∈N est géométrique, de raison a.
Par suite,
∀n ∈ N un = ω + an . (u0 − ω)
et (un )n∈N converge (vers ω) si et seulement si (|a| < 1 ou u0 = ω).
4) Récurrences homographiques
ax + b
d
a
avec c = 0 et ad − bc = 0 ; f est une bijection de R\ −
dans R\
; la
cx + d
c
c
déﬁnition de la suite (un )n∈N dans le cas général n’est pas triviale, il est bon de trouver F stable par
f. . . Précisément, (un )n∈N est déﬁnie si et seulement si u0 n’appartient pas à l’ensemble des valeurs
prises par la suite (vn )n∈N telle que
d
v0 = −
et ∀n vn+1 = f −1 (vn ) (tant qu’elle est déﬁnie !)
c
Les points ﬁxes de f sont les solutions d’une équation du second degré.
On peut ici aussi exprimer directement un en fonction de n :
un − α
• si f admet deux points ﬁxes distincts α et β, on vériﬁe que la suite
est géométrique ;
un − β
Ici f : x →
• si f admet un unique point ﬁxe α (racine double. . . ), on vériﬁe que la suite
arithmétique.
1
un − α
est
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III - Séries numériques
1) Déﬁnitions — Notion de convergence
Soit (un )n∈N une suite d’éléments de K (K = R ou C).
On appelle série de terme général un , notée
un , la suite (Sp )p∈N déﬁnie par :
p
∀p ∈ N Sp =
un .
n=0
Pour tout p dans N, Sp est la somme partielle de rang p de la série.
Ainsi la série un est dite convergente si et seulement si la suite (Sp )p∈N converge, auquel cas sa limite
S est la somme de la série ; on écrit alors :
p
∞
S=
un = lim
p→∞
n=0
un
n=0
et l’on appelle reste de rang p de la série la diﬀérence Rp = S − Sp .
La série
un est dite divergente lorsque la suite (Sp ) diverge (y compris lorsque Sp −→ ±∞).
p→∞
Remarques :
1) On associe de même à une suite (un )n≥n0 , déﬁnie à partir d’un certain rang n0 , la série
un converge, alors, pour tout p,
2) Si
un .
n≥n0
un converge également (les sommes partielles de ces
n≥p+1
deux séries diﬀèrent d’une constante !) et le reste de rang p s’écrit :
∞
Rp = S − Sp =
un .
n=p+1
3) Pour toute suite (Sp ), il existe une unique suite (un ) telle que (Sp ) soit la suite des sommes partielles
de la série
un ; cette suite (un ) est déﬁnie par :
et ∀n ≥ 1 un = Sn − Sn−1
u0 = S0
4) Une suite (vn ) converge si et seulement si la série
convergence,
(vn+1 − vn ) converge, avec en outre, en cas de
∞
n=0
(vn+1 − vn ) = lim vn − v0
n→∞
Condition nécessaire de convergence : si la série
et donc si (un ) ne converge pas vers 0, alors
un converge, alors lim un = 0
n→∞
un diverge (on parle de divergence grossière ou triviale).
Dém. un = Sn − Sn−1 pour n ≥ 1. . .
Attention ! Réciproque fausse ! ! (voir
n≥1
(ln (n + 1) − ln n),
√
√
n+1− n ,
Exemples :
1)
(−1)n ,
n≥1
2)
n≥1
1
pour α ∈ R− divergent grossièrement.
nα
1
converge et a pour somme 1 (c’est
n (n + 1)
n≥1
1
1
−
).
n n+1
n≥1
1
,. . . )
n
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Séries de référence
1) Séries géométriques dans C : soit z ∈ C ;
z n converge si et seulement si |z| < 1 et
∞
zn =
si |z| < 1 ,
n=0
1
1−z
avec Rp =
(en eﬀet, divergence grossière pour z = 1 et, pour z = 1, Sp =
2) Séries de Riemann : soit α ∈ R ;
n≥1
z p+1
1−z
1 − z p+1
).
1−z
1
converge si et seulement si α > 1.
nα
Dém. (par comparaison à une intégrale) Soit α ∈ R+∗ (si α ≤ 0, divergence grossière).
1
La fonction x → α est continue et décroissante sur R+∗ , d’où
x
1
1
1
∀n ∈ N∗ ∀x ∈ [n, n + 1]
α ≤ α ≤ α
(n + 1)
x
n
et, en intégrant sur [n, n + 1], qui est d’amplitude 1 :
n+1
1
dx
1
≤ α .
α ≤
α
(n + 1)
x
n
n
∗
J’en déduis, pour p ∈ N , par sommation pour n allant de 1 à p et grâce à la relation de Chasles :
∀n ∈ N∗
p
∀p ∈ N∗
1
≤
(n + 1)α
n=1
p+1
1
p
dx
1
≤
α
x
nα
n=1
d’où, en réindexant la somme de gauche et en utilisant l’inégalité de gauche avec p − 1 à la place de p
p+1
∀p ∈ N∗
1
p
dx
1
≤ Sp =
≤1+
α
x
nα
n=1
p
1
dx
.
xα
Or la suite (Sp ) est une suite croissante de nombres réels : soit elle est majorée, auquel cas elle converge,
soit elle a pour limite +∞.
• Pour α > 1, j’ai :
p
∀p ∈ N∗
Sp ≤ 1 +
1
et donc (Sp ) converge.
• Pour α = 1, j’ai
∀p ∈ N∗
p+1
Sp ≥
• Pour α ∈ ]0, 1[, j’ai
1
p+1
∀p ∈ N∗
dx
1 − p1−α
1
=
1
+
≤1+
α
x
α−1
α−1
Sp ≥
1
ce qui achève la démonstration.
dx
= ln (p + 1) −→ +∞
p→∞
x
dx
(p + 1)1−α − 1
=
−→ +∞
p→∞
xα
1−α
2) Espace vectoriel des séries convergentes
Si
un et
vn convergent et si λ ∈ K, alors
(λun + vn ) converge et
∞
∞
(λun + vn ) = λ
Attention ! On peut avoir
n=0
∞
un +
n=0
vn .
n=0
(un + vn ) qui converge alors que
un et
1
1
−
ou
(n − n). . . ).
(voir par exemple
n n+1
n≥1
vn divergent
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3) Convergence absolue
un est dite absolument convergente si et seulement si
Déﬁnition :
Théorème : si
|un | converge.
un converge absolument, alors elle converge et l’on a
∞
n=0
∞
un ≤
n=0
(inégalité triangulaire).
|un |
Attention ! Réciproque fausse ! ! (Voir l’exemple ci-dessous.)
un est dite semi-convergente si et seulement si
Déﬁnition :
∞
Exemple :
(−1)n−1
= ln 2 (alors que
n
n=1
Dém. Soit pour p ≥ 1 :
2p
S2p
(−1)n−1
=
=
n
n=1
p−1
k=0
n≥1
1
−
2k + 1
un converge alors que
|un | diverge.
1
diverge).
n
p
k=1
2p
1
1
=
−2
2k n=1 n
p
k=1
2p
1
1
=
=
2k n=p+1 n
p
k=1
1
p+k
et je reconnais une somme de Riemann :
S2p
et comme S2p+1 = S2p +
ln 2, d’où le résultat.
1
=
p
p
1
k
k=1 1 +
p
1
−→
p→∞
0
dx
= ln 2
1+x
1
, les deux sous-suites (S2p ) et (S2p+1 ) convergent vers la même limite
2p + 1
4) Séries à termes réels positifs
a) Condition nécessaire et suﬃsante de convergence
Soit (un ) ∈ RN , telle que un ≥ 0 à partir d’un certain rang n0 .
un converge si et seulement si la suite (Sp ) des sommes partielles est majorée. Sinon Sp −→ +∞.
p→∞
(En eﬀet, (Sp )p≥n0 est croissante.)
b) Utilisation des relations de comparaison
Propriété 1 : soient (un ) et (vn ) à termes réels positifs à partir d’un certain rang, telles que
un = O (vn ) (c’est le cas en particulier lorsque un ≤ vn à partir d’un certain rang)
∗ si
vn converge, alors
un converge ;
∗ si
un diverge, alors
vn diverge.
Propriété 2 : soient (un ) et (vn ) telles que un ∼ vn et de signe constant à partir d’un certain rang.
un et
vn sont de même nature.
NB : deux suites équivalentes sont de même signe à partir d’un certain rang ; il suﬃt de connaître le
signe de l’une des deux suites équivalentes.
Attention ! Ces propriétés peuvent être en défaut lorsque un et vn ne sont pas de signe constant.
Comparaison à une série de Riemann
Lorsqu’un équivalent “simple” de un n’apparaît pas, mais que un tend “suﬃsamment vite” vers 0,
penser à étudier nα un avec α convenablement choisi. . .
En eﬀet, s’il existe α > 1 tel que la suite (nα un ) soit bornée (en particulier si elle converge vers 0), alors
1
un est absolument convergente (en eﬀet |un | = O
).
nα
s
Par exemple, pour tout s > 0,
e−n converge.

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