Suites et séries numériques de PCSI I - Généralités sur les suites numériques On appellera suite réelle tout élément de RN . 1) Convergence — Unicité de la limite Étant donné un réel ℓ, on dit que la suite réelle (un ) admet ℓ pour limite si et seulement si ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ |un − ℓ| ≤ ε. Lorsqu’un tel nombre ℓ existe, on dit que la suite (un ) est convergente, ou encore qu’elle admet une limite finie. Le nombre ℓ est alors unique, appelé la limite de la suite (un ), noté lim un . n→∞ Dans le cas contraire, on dit que la suite (un ) est divergente. On dit que (un ) admet pour limite +∞ (resp. −∞) si et seulement si ∀A > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ un ≥ A (resp. un ≤ −A). Attention ! Dans le cas où (un ) admet pour limite ±∞, (un ) est divergente. 2) Composition de limites Soient f une fonction numérique et (un )n∈N une suite réelle telle que un soit dans l’ensemble de définition de f à partir d’un certain rang. Si (un )n∈N converge vers a et si f admet une limite ℓ en a, alors la suite f (un ) Si (un )n∈N converge vers a et si f est continue en a, alors la suite f (un ) n∈N n∈N converge vers ℓ. converge vers f (a). 3) Convergence et relation d’ordre a) Passage à la limite dans une inégalité Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles convergentes telles que, à partir d’un certain rang, un ≤ vn , alors lim (un ) ≤ lim (vn ). Attention ! Avant d’appliquer cette propriété, bien justifier l’existence des limites (voir aussi le paragraphe suivant). 1 Attention ! Les inégalités strictes ne se transmettent pas en général (cf. ∀n ∈ N∗ > 0). n b) Théorème d’encadrement Soient (un )n∈N , (vn )n∈N , (wn )n∈N trois suites réelles telles que : • à partir d’un certain rang, un ≤ vn ≤ wn ; • (un )n∈N et (wn )n∈N convergent vers une même limite ℓ. Alors (vn )n∈N converge également vers ℓ. Attention ! Ce n’est pas le cas sans l’hypothèse de la limite commune à (un )n∈N et (wn )n∈N (cf. ∀n ∈ N − 1 ≤ (−1)n ≤ 1). NB : Ce résultat permet d’établir la convergence de (vn )n∈N , contrairement au “passage à la limite”. Suites et séries numériques de PCSI Page 2 4) Convergence des suites monotones Théorème : toute suite réelle croissante majorée converge ; toute suite réelle décroissante minorée converge. Plus précisément, si (un )n∈N est une suite réelle croissante, alors lim un = sup {un , n ∈ N} ∈ R ∪ {+∞} n→∞ (soit elle est majorée, auquel cas elle converge, soit elle a pour limite +∞). De même, si (un )n∈N est une suite réelle décroissante, alors lim un = inf {un , n ∈ N} ∈ R ∪ {−∞} n→∞ (soit elle est minorée, auquel cas elle converge, soit elle a pour limite −∞). 5) Suites adjacentes Définition : deux suites réelles (an )n∈N et (bn )n∈N sont adjacentes si et seulement si l’une est croissante, l’autre décroissante et lim (an − bn ) = 0. n→∞ Théorème : si (an )n∈N et (bn )n∈N sont adjacentes, avec (an )n∈N croissante et (bn )n∈N décroissante, alors ∀ (p, q) ∈ N2 ap ≤ bq et (an )n∈N et (bn )n∈N convergent vers une même limite. NB : un énoncé équivalent est le théorème des segment emboîtés : si [an , bn ] sante de segments de R, telle que lim (an − bn ) = 0, alors n→∞ n∈N est une suite décrois- [an , bn ] est un singleton. n∈N Remarque pratique : pour montrer que deux suites sont adjacentes, sachant que l’une est croissante et l’autre décroissante, penser éventuellement à montrer d’abord que les deux convergent (par exemple à l’aide du § 1), puis que leurs limites sont égales (en utilisant les définitions des suites). On en déduit que la différence converge vers 0 ! 6) Suites extraites Définition : on appelle suite extraite (ou sous-suite) d’une suite (an )n∈N toute suite de la forme aϕ(n) n∈N , où ϕ est une application strictement croissante de N dans N (en particulier lim ϕ = +∞). +∞ Exemples : (an+1 )n∈N , (a2n )n∈N , (a2n )n∈N sont des suites extraites de (an )n∈N . Propriété : si (an )n∈N admet une limite (dans R), alors toute suite extraite de (an )n∈N admet la même limite. Exercice classique : si (a2n )n∈N et (a2n+1 )n∈N admettent une même limite ℓ, alors (an )n∈N admet pour limite ℓ (mais cf. (−1)n n∈N . . . ). II - Quelques idées pour l’étude de suites récurrentes 1) Généralités On se donne une application f : D → R et on s’intéresse aux suites réelles (un )n∈N définies par la donnée de u0 , dans l’ensemble de définition D de f , et la relation de récurrence : ∀n ∈ N un+1 = f (un ). a) Définition de la suite (un )n∈N On peut chercher une partie F de D, stable par f , telle que u0 ∈ F ; il est alors clair par récurrence que la suite est définie et a tous ses termes dans F . Suites et séries numériques de PCSI Page 3 b) Représentation graphique Ayant tracé le graphe Γ de f et la bissectrice ∆ du repère (d’équation y = x), partant du point (u0 , u1 ) de Γ, on trace un segment parallèle à Ox pour rejoindre (u1 , u1 ) de ∆, puis un segment parallèle à Oy pour rejoindre (u1 , u2 ) de Γ,. . . c) Limites possibles Si (un )n∈N converge vers ℓ et f continue en ℓ, nécessairement f (ℓ) = ℓ. d) Cas où f est croissante Si f : F → F est croissante sur F , on montre par récurrence que (un )n∈N est monotone : si u0 < u1 , alors (un )n∈N est croissante ; si u0 > u1 , alors (un )n∈N est décroissante. NB : la position de u0 par rapport à u1 peut-être fournie par l’étude du signe de f (x) − x. e) Cas où f est décroissante Si f : F → F est décroissante sur F , alors les deux sous-suites (u2p )p∈N et (u2p+1 )p∈N sont monotones, de sens contraires : • si u0 < u2 , alors (u2p )p∈N est croissante et (u2p+1 )p∈N décroissante ; • si u0 > u2 , alors (u2p )p∈N est décroissante et (u2p+1 )p∈N croissante. En effet, ces deux suites sont des suites récurrentes associées à la fonction f ◦ f , qui est croissante ! NB : la position de u0 par rapport à u2 peut-être fournie par l’étude du signe de f ◦ f (x) − x. Rappel : (un )n∈N converge vers ℓ si et seulement si(u2p )p∈N et (u2p+1 )p∈N convergent vers ℓ. 2) Rapidité de convergence a) Cas d’une fonction contractante Supposons f : F → F et k ∈ [0, 1[ tels que : ∀ (x, y) ∈ F 2 |f (x) − f (y)| ≤ k · |x − y| (penser à l’inégalité des accroissements finis . . . ). Si f admet pour point fixe ℓ dans F et si u0 ∈ F , une récurrence immédiate montre que ∀n ∈ N |un − ℓ| ≤ kn · |u0 − ℓ| (majoration par une suite géométrique). On a convergence très rapide de (un )n∈N vers ℓ. b) Convergence quadratique Supposons f : F → F , λ ∈ R+∗ et ℓ ∈ F point fixe de f tels que : ∀x ∈ F Si u0 ∈ F et p ∈ N, une récurrence immédiate montre que ∀n ≥ p |un − ℓ| ≤ λ2 n−p −1 · |up − ℓ|2 |f (x) − ℓ| ≤ λ · |x − ℓ|2 . n−p Pourvu que |λ · (up − ℓ)| < 1, pour une certaine valeur de p, on a convergence “ultra-rapide” de (un )n∈N vers ℓ. On a coutume de dire que le nombre de décimales exactes est doublé à chaque itération (si l’on considère un comme une valeur approchée de ℓ). √ √ 1 a Exemple : pour a > 0 donné, soient F = [ a, +∞[ et f : x → x+ ; on vérifie que a est point 2 x fixe de f et que √ √ 2 √ 2 1 1 ∀x ∈ F f (x) − a = x− a ≤ √ x− a 2x 2 a Pour a = 2 et u0 = 2, on trouve : u1 ≈ 1.5000000000000000000000000000000000000000000000000 u2 ≈ 1.4166666666666666666666666666666666666666666666667 u3 ≈ 1.4142156862745098039215686274509803921568627450980 u4 ≈ 1.4142135623746899106262955788901349101165596221157 u5 ≈ 1.4142135623730950488016896235025302436149819257762 u6 ≈ 1.4142135623730950488016887242096980785696718753772 tandis que : √ 2 = 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769 . . . Suites et séries numériques de PCSI Page 4 c) Obtention d’équivalents à l’aide du théorème de Cesàro On suppose ici F de la forme [0, b] (b > 0) et f : F → F telle que f (x) = x − a.xp + o (xp ) où a > 0, p > 1 Alors, pour u0 > 0, suffisamment proche de 0, il est aisé de vérifier que (un )n∈N décroît vers 0. 1 1 On cherche α tel que vn = α − α admette une limite réelle non nulle : un+1 un uα − uα vn ∼ n 2αn+1 car un+1 ∼ un puisque f (x) ∼ x 0 un or uαn+1 = f (un )α = uαn · 1 − a.unp−1 + o unp−1 α = uαn · 1 − α.a.unp−1 + o unp−1 d’où vn ∼ α.a · unp−1−α On choisit donc α = p − 1, alors (vn ) converge vers (p − 1) .a et, par sommation, le théorème de Cesàro permet de montrer que 1 p−1 ∼ n. (p − 1) .a un d’où 1 p−1 1 un ∼ (p − 1) .a.n 1 3 Exemple : avec f : x → sin x, b = 1, a = , p = 3, on obtient un ∼ (convergence lente !) 6 n 3) Suites arithmético-géométriques Ici F = R et f : x → ax + b (a ∈ R\ {0, 1}et b ∈ R∗ ). Les idées précédentes s’appliquent, mais on peut exprimer directement un en fonction de n : b • on détermine le point fixe ω de f : ω = ; 1−a • on remarque que la suite (un − ω)n∈N est géométrique, de raison a. Par suite, ∀n ∈ N un = ω + an . (u0 − ω) et (un )n∈N converge (vers ω) si et seulement si (|a| < 1 ou u0 = ω). 4) Récurrences homographiques ax + b d a avec c = 0 et ad − bc = 0 ; f est une bijection de R\ − dans R\ ; la cx + d c c définition de la suite (un )n∈N dans le cas général n’est pas triviale, il est bon de trouver F stable par f. . . Précisément, (un )n∈N est définie si et seulement si u0 n’appartient pas à l’ensemble des valeurs prises par la suite (vn )n∈N telle que d v0 = − et ∀n vn+1 = f −1 (vn ) (tant qu’elle est définie !) c Les points fixes de f sont les solutions d’une équation du second degré. On peut ici aussi exprimer directement un en fonction de n : un − α • si f admet deux points fixes distincts α et β, on vérifie que la suite est géométrique ; un − β Ici f : x → • si f admet un unique point fixe α (racine double. . . ), on vérifie que la suite arithmétique. 1 un − α est Suites et séries numériques de PCSI Page 5 III - Séries numériques 1) Définitions — Notion de convergence Soit (un )n∈N une suite d’éléments de K (K = R ou C). On appelle série de terme général un , notée un , la suite (Sp )p∈N définie par : p ∀p ∈ N Sp = un . n=0 Pour tout p dans N, Sp est la somme partielle de rang p de la série. Ainsi la série un est dite convergente si et seulement si la suite (Sp )p∈N converge, auquel cas sa limite S est la somme de la série ; on écrit alors : p ∞ S= un = lim p→∞ n=0 un n=0 et l’on appelle reste de rang p de la série la différence Rp = S − Sp . La série un est dite divergente lorsque la suite (Sp ) diverge (y compris lorsque Sp −→ ±∞). p→∞ Remarques : 1) On associe de même à une suite (un )n≥n0 , définie à partir d’un certain rang n0 , la série un converge, alors, pour tout p, 2) Si un . n≥n0 un converge également (les sommes partielles de ces n≥p+1 deux séries diffèrent d’une constante !) et le reste de rang p s’écrit : ∞ Rp = S − Sp = un . n=p+1 3) Pour toute suite (Sp ), il existe une unique suite (un ) telle que (Sp ) soit la suite des sommes partielles de la série un ; cette suite (un ) est définie par : et ∀n ≥ 1 un = Sn − Sn−1 u0 = S0 4) Une suite (vn ) converge si et seulement si la série convergence, (vn+1 − vn ) converge, avec en outre, en cas de ∞ n=0 (vn+1 − vn ) = lim vn − v0 n→∞ Condition nécessaire de convergence : si la série et donc si (un ) ne converge pas vers 0, alors un converge, alors lim un = 0 n→∞ un diverge (on parle de divergence grossière ou triviale). Dém. un = Sn − Sn−1 pour n ≥ 1. . . Attention ! Réciproque fausse ! ! (voir n≥1 (ln (n + 1) − ln n), √ √ n+1− n , Exemples : 1) (−1)n , n≥1 2) n≥1 1 pour α ∈ R− divergent grossièrement. nα 1 converge et a pour somme 1 (c’est n (n + 1) n≥1 1 1 − ). n n+1 n≥1 1 ,. . . ) n Suites et séries numériques de PCSI Page 6 Séries de référence 1) Séries géométriques dans C : soit z ∈ C ; z n converge si et seulement si |z| < 1 et ∞ zn = si |z| < 1 , n=0 1 1−z avec Rp = (en effet, divergence grossière pour z = 1 et, pour z = 1, Sp = 2) Séries de Riemann : soit α ∈ R ; n≥1 z p+1 1−z 1 − z p+1 ). 1−z 1 converge si et seulement si α > 1. nα Dém. (par comparaison à une intégrale) Soit α ∈ R+∗ (si α ≤ 0, divergence grossière). 1 La fonction x → α est continue et décroissante sur R+∗ , d’où x 1 1 1 ∀n ∈ N∗ ∀x ∈ [n, n + 1] α ≤ α ≤ α (n + 1) x n et, en intégrant sur [n, n + 1], qui est d’amplitude 1 : n+1 1 dx 1 ≤ α . α ≤ α (n + 1) x n n ∗ J’en déduis, pour p ∈ N , par sommation pour n allant de 1 à p et grâce à la relation de Chasles : ∀n ∈ N∗ p ∀p ∈ N∗ 1 ≤ (n + 1)α n=1 p+1 1 p dx 1 ≤ α x nα n=1 d’où, en réindexant la somme de gauche et en utilisant l’inégalité de gauche avec p − 1 à la place de p p+1 ∀p ∈ N∗ 1 p dx 1 ≤ Sp = ≤1+ α x nα n=1 p 1 dx . xα Or la suite (Sp ) est une suite croissante de nombres réels : soit elle est majorée, auquel cas elle converge, soit elle a pour limite +∞. • Pour α > 1, j’ai : p ∀p ∈ N∗ Sp ≤ 1 + 1 et donc (Sp ) converge. • Pour α = 1, j’ai ∀p ∈ N∗ p+1 Sp ≥ • Pour α ∈ ]0, 1[, j’ai 1 p+1 ∀p ∈ N∗ dx 1 − p1−α 1 = 1 + ≤1+ α x α−1 α−1 Sp ≥ 1 ce qui achève la démonstration. dx = ln (p + 1) −→ +∞ p→∞ x dx (p + 1)1−α − 1 = −→ +∞ p→∞ xα 1−α 2) Espace vectoriel des séries convergentes Si un et vn convergent et si λ ∈ K, alors (λun + vn ) converge et ∞ ∞ (λun + vn ) = λ Attention ! On peut avoir n=0 ∞ un + n=0 vn . n=0 (un + vn ) qui converge alors que un et 1 1 − ou (n − n). . . ). (voir par exemple n n+1 n≥1 vn divergent Suites et séries numériques de PCSI Page 7 3) Convergence absolue un est dite absolument convergente si et seulement si Définition : Théorème : si |un | converge. un converge absolument, alors elle converge et l’on a ∞ n=0 ∞ un ≤ n=0 (inégalité triangulaire). |un | Attention ! Réciproque fausse ! ! (Voir l’exemple ci-dessous.) un est dite semi-convergente si et seulement si Définition : ∞ Exemple : (−1)n−1 = ln 2 (alors que n n=1 Dém. Soit pour p ≥ 1 : 2p S2p (−1)n−1 = = n n=1 p−1 k=0 n≥1 1 − 2k + 1 un converge alors que |un | diverge. 1 diverge). n p k=1 2p 1 1 = −2 2k n=1 n p k=1 2p 1 1 = = 2k n=p+1 n p k=1 1 p+k et je reconnais une somme de Riemann : S2p et comme S2p+1 = S2p + ln 2, d’où le résultat. 1 = p p 1 k k=1 1 + p 1 −→ p→∞ 0 dx = ln 2 1+x 1 , les deux sous-suites (S2p ) et (S2p+1 ) convergent vers la même limite 2p + 1 4) Séries à termes réels positifs a) Condition nécessaire et suffisante de convergence Soit (un ) ∈ RN , telle que un ≥ 0 à partir d’un certain rang n0 . un converge si et seulement si la suite (Sp ) des sommes partielles est majorée. Sinon Sp −→ +∞. p→∞ (En effet, (Sp )p≥n0 est croissante.) b) Utilisation des relations de comparaison Propriété 1 : soient (un ) et (vn ) à termes réels positifs à partir d’un certain rang, telles que un = O (vn ) (c’est le cas en particulier lorsque un ≤ vn à partir d’un certain rang) ∗ si vn converge, alors un converge ; ∗ si un diverge, alors vn diverge. Propriété 2 : soient (un ) et (vn ) telles que un ∼ vn et de signe constant à partir d’un certain rang. un et vn sont de même nature. NB : deux suites équivalentes sont de même signe à partir d’un certain rang ; il suffit de connaître le signe de l’une des deux suites équivalentes. Attention ! Ces propriétés peuvent être en défaut lorsque un et vn ne sont pas de signe constant. Comparaison à une série de Riemann Lorsqu’un équivalent “simple” de un n’apparaît pas, mais que un tend “suffisamment vite” vers 0, penser à étudier nα un avec α convenablement choisi. . . En effet, s’il existe α > 1 tel que la suite (nα un ) soit bornée (en particulier si elle converge vers 0), alors 1 un est absolument convergente (en effet |un | = O ). nα s Par exemple, pour tout s > 0, e−n converge.
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