LE CHANDELIER D`OR pdf free

M A 3 (GEII - S3)
C - S UITES ET SÉRIES
F. Morain-Nicolier
[email protected]
2014 - 2015 / URCA - IUT Troyes
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O UTLINE
1. I NTRODUCTION
2. S UITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES
3. VARIATION DES SUITES
4. C ONVERGENCE DES SÉRIES NUMÉRIQUES
5. S ÉRIES DE FONCTIONS
6. S ÉRIES ENTIÈRES
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1.1 E XEMPLES
DSF :
∞
f (t) = a0 +
∑ (an cos(nωt) + bn sin(nωt))
n=1
ou
∞
f (t) =
∑
n=−∞
TZ :
cn einωt .
∞
X (z) =
∑
n=−∞
fn z − n .
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1.2 G ÉNÉRALISATION
Dans chacun de ces exemples, une quantité
∞
S(x) =
∑ un ( x )
n=0
est calculée.
P ROBLÈME À RÉSOUDRE : La quantité S(x) existe-t-elle ?
I
S(x) est-elle finie ? Convergence ?
I
La réponse dépend évidemment de la valeur de x.
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1.3. O BJETS MATHÉMATIQUES EN JEU
Nous avons besoin de :
I
suite (un ) (signaux numériques, fonctions discrètes)
I
série {un } = ∑k un
série de fonctions {un }(x) = ∑k un (x) (transformations) :
I
yk = {un }(k).
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O UTLINE
1. I NTRODUCTION
2. S UITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES
3. VARIATION DES SUITES
4. C ONVERGENCE DES SÉRIES NUMÉRIQUES
5. S ÉRIES DE FONCTIONS
6. S ÉRIES ENTIÈRES
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2.1 S UITE NUMÉRIQUE
D ÉFINITION On appelle suite numérique toute application de
N sur R :
u:N→R
I
Rappel : N est l’ensemble des entiers naturels (ie. positifs)
I
un est le terme général de la suite, un = u(n)
I
une suite peut être considérée comme une liste ordonnée
de nombres réels
I
Elle peut éventuellement être définie sur une partie de N
de la forme I = {n ∈ N, n ≥ n0 } où n0 est un entier donné.
I
quelques exemples : suite nulle, constante, arithmétique,
géométrique, par récurrence, . . .
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2.1 S UITE NUMÉRIQUE
Que veut-on étudier sur les suites ?
Étant donné une suite (un )n∈N :
I
Quelles sont ses variations ?
I
Que se passe-t’il lorsque n devient infiniment grand, ie.
lim un =?
n→ ∞
⇒ étude de la convergence.
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2.1 S UITE NUMÉRIQUE
Q UESTION 1 1 - La suite de terme général un = (−1)n est
1. convergente
2. divergente
3. indéterminée
1. http://lc.cx/mpk
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2.2 S UITES GÉOMÉTRIQUES
La suite géométrique est l’outil privilégié pour l’étude de
phénomène à croissance (ou décroissance) exponentielle
(exemple : carbone 14, populations).
Définitions :
Soit r ∈ R un réel donné,
I
I
I
la suite géométrique de raison r est définie par le terme
général un = u0 rn
la suite arithmétique de raison r est définie par le terme
général un = u0 + rn
ce sont des suites récurrentes (ie. un+1 = f (un )).
Somme d’une suite géométrique (r 6= 1) :
n
∑ uk = u0 + . . . + un = u0 (1 + r + . . . + rn ) = u0
k =0
1 − rn+1
1−r
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2.3 S ÉRIE NUMÉRIQUE
Considérons des sommes infinies telles que :
1+
1 1 1
1
+ + + ... + n + ...
2 4 8
2
1+
1
1 1 1
+ + + ... + + ...
2 3 4
n
ou
I
I
I
Ce sont des sommes d’un nombre infini de termes
Que valent ces sommes ?
On construit (Sn ), la suite des sommes partielles de
(un )n∈N
(D ÉFINITION ) On appelle série {un }n∈N de terme général un ,
la limite de la suite (Sn )n∈N des sommes partielles
Sn = ∑ni=1 ui :
∞
Sn
∑ ui = nlim
→∞
i=1
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2.3 S ÉRIE NUMÉRIQUE
I
La série de terme général un est
I
I
convergente si ∑i∞=1 ui est finie
divergente si ∑i∞=1 ui est infinie
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2.3. S ÉRIE NUMÉRIQUE
Q UESTION 2 2 - La série {(−1)n } est
1. convergente
2. divergente
3. indéterminée
2. http://lc.cx/mpk
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2.3. S ÉRIE NUMÉRIQUE
(R EMARQUE ) Il existe des série indéterminées (somme
partielle non finie mais différente de ∞).
(R EMARQUE ) Une série à termes positifs ne peut être
indéterminée.
I
Exemple : X = 1 + 12 + 14 + 18 + . . .
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1. I NTRODUCTION
2. S UITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES
3. VARIATION DES SUITES
4. C ONVERGENCE DES SÉRIES NUMÉRIQUES
5. S ÉRIES DE FONCTIONS
6. S ÉRIES ENTIÈRES
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3.1 VARIATIONS D ’ UNE SUITE : MONOTONIE
S UITE CROISSANTE Soit (un )n∈N une suite numérique. Elle est
croissante si pour tout entier naturel n :
un ≤ un+1
I
Suite strictement croissante ⇔ un < un+1
I
Comment montrer qu’une suite est croissante ?
S UITE DÉCROISSANTE Soit (un )n∈N une suite numérique. Elle
est décroissante si pour tout entier naturel n :
un ≥ un+1
S UITE MONOTONE C’est une suite croissant ou décroissante
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3.2 VARIATIONS D ’ UNE SUITE :
MAJORATION / MINORATION
(D ÉFINITION ) La suite (un )n∈N est majorée s’il existe un réel
M tel que
un ≤ M, ∀n ∈ N
M est alors un majorant de (un )n∈N .
(D ÉFINITION ) La suite (un )n∈N est minorée s’il existe un réel m
tel que
un ≥ m, ∀n ∈ N
m est alors un minorant de (un )n∈N .
(D ÉFINITION ) Un suite est bornée si et seulement si il existe un
réel A tel que
|un | ≤ A.
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3.3 VARIATIONS D ’ UNE SUITE :
MAJORATION / MINORATION
I
Remarques :
I
I
I
une suite croissante est minorée
une suite décroissante est majorée
Exemples
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3.4 C ONVERGENCE
(D ÉFINITION ) On dit que (un )n∈N est convergente si
limn→∞ un existe et est fini.
Alors, le nombre l donné par
l = lim un
n→ ∞
est un nombre réel appelé limite de la suite.
I
une suite qui ne converge pas est divergente.
I
Il existe deux façon de diverger :
I
I
I
soit limn→∞ un = ±∞
soit limn→∞ un n’existe pas.
exemple : (un )n∈N avec un = an (a > 0).
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3.5 O PÉRATIONS
Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites convergentes. Si l et l0
sont les limites respectives de (un )n∈N et (vn )n∈N , alors
1. La suite somme (un + vn )n∈N converge vers l + l0
2. Pour tout réel α, la suite (αun )n∈N converge vers αl
3. La suite produit (un vn )n∈N converge vers ll0 .
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3.6 C RITÈRES DE CONVERGENCE
(Théorème fondamental)
I
Toute suite décroissante et minorée est convergente
I
Toute suite croissante et majorée est convergente.
I
exemple : (un )n∈N avec un = 1 +
1
n
Donc :
I
Toute suite croissante non-majorée est divergente vers +∞
I
Toute suite décroissante non-minorée est divergente vers
−∞
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3.6 C RITÈRES DE CONVERGENCE : T HÉORÈME DES
GENDARMES
Si (un )n∈N , (vn )n∈N et (wn )n∈N sont trois suites telles que
un ≤ vn ≤ wn , ∀n ∈ N
et
l = lim un = lim wn
n→ ∞
n→ ∞
alors
lim vn = l
n→ ∞
I
variantes utiles.
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3.6 C RITÈRES DE CONVERGENCE : RELATIONS AVEC
LES FONCTIONS
I
Soit (un )n∈N une suite numérique telle que un = f (n), alors
lim un = lim f (x).
n→ ∞
x→ ∞
- Soit (un )n∈N une suite numérique telle que un = g( n1 ),
alors
lim un = lim g(x).
n→ ∞
I
x → 0+
rappels sur les limites de fonction numériques : fractions
rationnelles, ex , ln(x) et xα .
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3. VARIATION DES SUITES
4. C ONVERGENCE DES SÉRIES NUMÉRIQUES
5. S ÉRIES DE FONCTIONS
6. S ÉRIES ENTIÈRES
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4.1 C ONDITION NÉCESSAIRE DE CONVERGENCE
(T HÉORÈME ) Pour que la série {un }n∈N soit convergente, il
faut que
lim un = 0.
n→ ∞
(R EMARQUE ) Dans la pratique, on utilise souvent :
lim un 6= 0 ⇒ {un } diverge
n→ ∞
I
Exemple : la série {n2 }.
I
Attention : la condition est nécessaire mais non
suffisante.
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4.2 S CHÉMA D ’ ÉTUDE
(Théorèmes)
I
Si (un ) ne converge pas vers 0, {un } n’est pas convergente.
I
Si (un ) ne converge pas vers 0 et un > 0 alors {un } diverge.
Schéma d’étude de ∑n∞=0 un
Étudier limn→∞ un . Deux cas possibles :
1. Si limn→∞ un = 0, chercher un critère de convergence selon
le signe de un . La série peut converger, diverger ou être
indéterminée.
2. Si limn→∞ un 6= 0 ou n’existe pas, alors la série diverge ou
est indéterminée.
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4.3 E XEMPLES FONDAMENTAUX
S ÉRIE GÉOMÉTRIQUE : un = an , a ∈ R.
∞
S=
∑ an = 1 + a + a2 + . . . + an + ...
n=0
S ÉRIE HARMONIQUE : un = n1 .
∞
S=
1
1 1
= 1 + + + ...
n
2 3
n=0
∑
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4.4 C RITÈRES DE CONVERGENCE
Ces critères ne donnent pas la somme de la série
(T HÉORÈME ) Si ∑n∞=0 kun k converge, alors ∑n∞=0 un converge.
Les critères sont donc donnés pour des séries à termes positifs.
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4.4 C RITÈRE DE D ’A LEMBERT
Soit un ≥ 0, si limn→∞
un+1
un
= l, alors
I
l < 1 ⇒ {un } converge
I
l > 1 ⇒ {un } diverge
I
l = 1 ⇒ le critère ne permet pas de décider
Exemple :
I
un =
1
n!
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4.4 C RITÈRE DE D ’A LEMBERT
Q UESTION 3 3 - La série { n1 } est
1. convergente
2. divergente
3. le critère de d’Alembert ne permet pas de décider
3. http://lc.cx/mpk
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4.4 C RITÈRE DE C AUCHY
Soit un ≥ 0, si limn→∞
√
n
un = l, alors
I
l < 1 ⇒ {un } converge
I
l > 1 ⇒ {un } diverge
I
l = 1 ⇒ le critère ne permet pas de décider
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4.4 C RITÈRE DE C AUCHY
Q UESTION 4 4 - La série { 2nn } est
1. convergente
2. divergente
3. le critère de Cauchy ne permet pas de décider
4. http://lc.cx/mpk
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4.4 C RITÈRE DE MAJORATION
Soient {un } et {vn }, avec un ≥ 0 et vn ≥ 0, telles que
0 ≤ un ≤ vn .
I
Si {vn } converge, alors {un } converge
I
Si {un } diverge, alors {vn } diverge
Exemple :
I
un =
1
n2
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4.4 C RITÈRE DE MAJORATION ( CONSÉQUENCE )
I
Si il existe α > 1 tel que limn→∞ nα un < +∞ alors {un }
converge.
I
Si il existe 0 < α < 1 tel que limn→∞ nα un > 0 alors {un }
diverge.
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4.4 C OMPARAISON À UNE INTÉGRALE GÉNÉRALISÉE
Si f (x) est une fonction continue, Rpositive et décroissante sur
∞
[0, ∞[, alors S = ∑n∞=0 f (n) et I = 0 f (x)dx ont le même
comportement.
(N OTE ) La borne inférieure peut être changée (1 au lieu de
0 par exemple).
(N OTE ) On utilise souvent l’intégrale de référence
I=
Z ∞
1
a
xα
dx
qui converge si α > 1 et diverge si α < 1.
Exemple : série de Riemann
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O UTLINE
1. I NTRODUCTION
2. S UITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES
3. VARIATION DES SUITES
4. C ONVERGENCE DES SÉRIES NUMÉRIQUES
5. S ÉRIES DE FONCTIONS
6. S ÉRIES ENTIÈRES
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(PAUSE ) : L’ HYPOTHÈSE DE R IEMANN
F IGURE : Bernhard Riemann (1826–1866)
La fonction ζ (zêta) de Riemann est définie par
∞
ζ (s) =
1
ns
n=1
∑
pour s complexe.
H YPOTHÈSE DE R IEMANN Les zéros non-triviaux de ζ sont sur
la droite des réels 12 .
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(PAUSE ) : L’ HYPOTHÈSE DE R IEMANN
F IGURE : Représentation du module de la fonction zêta de Riemann
(Wikipedia)
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(PAUSE ) : L’ HYPOTHÈSE DE R IEMANN
I
I
I
Prix Clay du millénaire : 1 million de dollars.
Hypothèse vérifiée pour dix mille milliards de zéros (1013 ).
La fonction permet de relier les nombres entiers et les
nombres premiers.
Euler a montré que :
ζ (s) =
1
1 − p−s
p premier
∏
I
ζ est une série dont le terme général dépend de la variable
s
∞
1
ζ (s) = ∑ s
n
n=1
I
C’est une série de fonctions : objet que nous allons étudier
(en particulier les séries entières).
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5.1 S ÉRIES DE FONCTIONS
(D ÉFINITION ) Une série de fonctions est une série dont le
terme général dépend d’une variable : un (x) par
exemple.
I
La somme (des termes) est donc également une fonction de
x:
∞
S(x) =
∑ un ( x )
n=0
Exemples :
n
I
{ xn } est une série entière.
I
{ cosn(nx) } est une série de Fourier.
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5.2 D OMAINE DE CONVERGENCE
x étant considéré fixe, la série peut converger ou non.
(D ÉFINITION ) L’ensemble des x tels que S(x) existe est le
domaine de convergence D de la série
Exemple : {xn }
I
?
Une nouvelle question : un (x) continue ⇒ {un } continue ?
Exemple : {x2 (1 − x2 )n }
I
Plus généralement, quelles sont les propriétés de un (x)
vérifiées également par {un (x)} et sous quelles conditions ?
I
Il faut préciser la notion de convergence.
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5.3 C ONVERGENCE SIMPLE / UNIFORME / NORMALE
(R APPEL ) La série {un (x)} converge simplement si
lim Sn (x) = S(x)
n→ ∞
⇔ ∀e > 0, ∃n > N (x) ⇒ |Sn (x) − S(x)| < e.
(D ÉFINITION ) La série {un (x)} converge uniformément si N,
dans la définition précédente, ne dépend pas de x.
C.U. ⇒ C.S.
(D ÉFINITION ) La série {un (x)} converge normalement sur
[a, b] s’il existe une série numérique {vn } à termes
positifs, convergente, telle que :
|un (x)| < vn , ∀x ∈ [a, b]
C.N. ⇒ C.U. ⇒ C.S.
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5.4 C ONVERGENCE ET CONTINUITÉ
Si un (x) est continue sur [a, b] et si {un (x)} C.U. sur [a, b], alors
S(x) = ∑n∞=0 un (x) est continue sur [a, b].
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5.4 C ONVERGENCE ET INTÉGRATION
Il est possible d’intégrer terme à terme une série qui C.U. :
Z
∞ Z
un (x)dx .
S(x)dx = Cte + ∑
n=0
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5.4 C ONVERGENCE ET DÉRIVATION
Il est possible de dériver terme à terme une série qui C.U. :
S0 (x ) =
∞
∑ un0 (x).
n=0
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2. S UITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES
3. VARIATION DES SUITES
4. C ONVERGENCE DES SÉRIES NUMÉRIQUES
5. S ÉRIES DE FONCTIONS
6. S ÉRIES ENTIÈRES
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5.1 D ÉFINITION
Le terme général d’une série entière s’écrit un (x) = an xn où an
est indépendant de x :
∞
{un (x)} =
∑ un (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn + . . .
n=0
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6.2 A PPLICATION : CONVERGENCE D ’ UNE TZ
La TZ d’un signal xn est
∞
∑
X (z) =
n=−∞
xn z − n .
Montrons que la région de convergence de X(z) est un anneau,
en la décomposant en deux séries :
−1
∑
X (z) =
n=−∞
|
xn z−n +
{z
X1 ( z )
∞
∑ xn z−n .
n=0
}
|
{z
X2 (z)
}
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série
Xr(z)
converge alors pour lzl
>Rr_.
Avec le changement de variable / =
-k,
(Â,+, TZ
montrer d'ure madère :
que la
similaire
Xl (z) converge pour
6.2 A peut
PPLICATION
CONVERGENCE
D ’lzl
UNE
R,a
la lirnite
série
est
:
= 1/[
AinsiR,+
une
TZlim
converge
lx( -/)lt/t si
(2.e)
,- + -
si, la série (2.1) converge en général dans un anneau du plan complexe des z donné
0
( R,- (
lzl
0 ≤ Rx − < | z | < Rx + ≤ ∞
( R,* ( +-
i est illustré sur la figure
tt évident que si Àx-
)
.
Les limites
Rjr,
(2.r 0)
+ caractérisent le signal x
À,-} , la série (2.1) n'est pas convergente.
2. I
et .R,
///l
([
).
résiortr de convetzenî.e
Fig.2.l
F IGURE : Domaine de convergence d’une TZ
4
Exemple
Soit le signal
:
x(&) = €(k)
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6.3 R AYON DE CONVERGENCE
(T HÉORÈME ) Il existe un réel R ≥ 0, nommé rayon de
convergence, tel que la série {an xn } est absolument
et uniformément convergente pour |x| < R, et
divergente pour |x| > R.
(N OTE ) Il est nécessaire d’étudier spécifiquement la
convergence en ±R
(C ONSÉQUENCE ) Si un (x) est continue ∀x et {un (x)} C.U.
∀|x| < R, alors la série {un (x)} est continue pour
|x| < R.
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6.4 D ÉTERMINATION DU RAYON DE CONVERGENCE
(Théorème) Pour x fixé, R est déterminé en appliquant le un
critère (d’Alembert ou Cauchy par exemple) à la série
{|un (x)|}.
I
Exemple : {xn }.
I
x
Exemple : { nd!
}.
n
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6.5 D ÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES ENTIÈRES
Si une fonction f (x) peut s’écrire sous la formes
∞
f (x) =
∑ an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn + . . .
n=0
alors le terme de droite est le développement en série entière
de la fonction.
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6.5 O PÉRATIONS SUR LES DSE
Somme et produit
Soient deux séries entières
∞
f (x) =
∑ an xn
(Rf )
n=0
et
∞
g(x) =
∑ bn xn
(Rg )
n=0
On montre que
∞
f (x) + g(x) =
∑ (an + bn )xn
(R ≥ inf(Rf , Rg ))
n=0
et
∞
f (x)g(x) =
∑ cn xn
(R ≥ inf(Rf , Rg ))
n=0
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6.5 O PÉRATIONS SUR LES DSE
Dérivation et intégration
(T HÉORÈME ) Toute série est dérivable et intégrable terme à
terme en conservant son rayon de convergence.
∞
S(x) =
∑ an xn
(R)
n=0
⇒ S0 (x ) =
∞
∑ an xn−1
(R)
n=1
et
⇒
I
Z
∞
S(x)dx = C +
an n+1
x
(R)
n
+1
n=0
∑
n
Exemple important : dérivation de { xn! }
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6.6 É QUATION D ’ ANALYSE : QUELS SONT LES COEFFS
D ’ UN D.S.E. ?
(D ÉFINITION ) Soit f (x) admettant un D.S.E. de rayon de
convergence R. Il est donné par (D.S.E. de
MacLaurin) :
f (x) = f (0) +
f 0 (0)
f 00 (0) 2
f (n) ( 0 ) n
x+
x +... +
x +...
1!
2!
n!
I
Démonstration
I
DSE usuels :
ex , sin(x), cos(x), (1 + x)α , ax , ln(1 + x), ln(1 − x), ...
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6.7. L IEN AVEC LES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
Si f est une fonction dérivable en a, le théorème de Taylor
indique que
f (x) = f (a) +
+... +
f 0 (a)
f (2) ( a )
(x − a) +
(x − a)2
1!
2!
f (n) ( a )
(x − a)n + Rn (x)
n!
où Rn est un reste.
Le lien avec les DSE est évident, en posant a = 0 :
f (x) = f (0) +
f 0 (0)
f (2) ( 0 ) 2
f (n) ( 0 ) n
x+
x + ... +
x + Rn ( x )
1!
2!
n!
Le DSE de f étant
f (x) = f (0) +
f 00 (0) 2
f (n) ( 0 ) n
f 0 (0)
x+
x + ... +
x + ...
1!
2!
n!
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6.7. L IEN AVEC LES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
(T HÉORÈME DE TAYLOR -Y OUNG ) Si f est une fonction
dérivable en a, le théorème de Taylor indique que
f (2) ( a )
f 0 (a)
(x − a) +
(x − a)2
1!
2!
f (n) ( a )
+... +
(x − a)n + Rn (x)
n!
f (x) = f (a) +
où Rn est un reste négligeable devant (x − a)n , c’est à dire
lim
x→a
Rn (x)
= 0.
(x − a)n
Ce qui est le cas si
Rn (x) =
f (n+1) ( 0 )
(x − a)n+1 + ...
(n + 1) !
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