Exercices

1S.2
Exercices sur les suites
Septembre 2014
Exercice 1
On considère qu'un couple de lapin engendre un autre couple après deux
mois de vie. Au 1er janvier on introduit un couple de lapins. Calculer le nombre
de couples de lapin au début de chaque mois, puis trouver une logique dans cette
suite. Diviser le nombre de couples au 1er décembre par celui au 1er novembre.
Que vous inspire ce quotient ? Programmer la suite de ces quotients. Émettre
une conjecture.
Exercice 2
1. Calculer la somme des n premiers entiers naturels.
2. Développer (k + 1)3 .
3. Calculer S =
k=n
X
k 2 , la somme des carrés des n premiers entiers naturels.
k=0
Exercice 3
Un mur est situé à deux mètres devant vous. Vous faites un premier pas en
direction du mur de 1m. Le deuxième pas sera de 50 cm. Par la suite chaque
pas aura une longueur égale à la moitié de la longueur du pas précédent. Pour
n ≥ 1, on note ln la longueur du nième pas et dn la distance totale parcourue
après le nième pas.
1. Exprimer ln en fonction de n et calculer la longueur du 10ième pas.
2. Exprimer dn en fonction de n et calculer d10 .
3. Combien de pas vous faudra-t-il pour atteindre le mur ?
Exercice 4
On considère la suite (un ) dénie par

u0 = 3
2
pour n ∈ N.
un + 1
On admet que ∀n ∈ N, un ≥ 3, et pour tout entier naturel n, on pose
vn =
un+1 =
un − 1
un + 2
1. Monter que (vn ) est une suite géométrique.
2. Exprimer un en fonction de n.
Exercice 5
Résoudre
N. Berthet
1
1
1
+
··· + 8 = 0
x x2
x
1
LLG 2014/2015
1S.2
Exercices sur les suites
Septembre 2014
Exercice 6
Trouver la septième ligne.
1
11
21
1211
111221
312211
A l'aide d'un algorithme, calculer le nombre de chires sur la vingtième ligne.
Exercice 7
En additionnant les numéros des pages que j'ai déjà lues, j'obtiens 351. En
additionnant les numéros de celles qui me restent à lire, j'obtiens 469.
1. Quel est le numéro de la dernière page que j'ai lue ?
2. Quel est le nombre de pages de mon livre ?
Exercice 8


u1 = 2014
i=n
Soit un une suite telle que pour n ≥ 1, X

ui = n2 un

i=1
Calculer u2014
Exercice 9
On dénit la suite (un ) par
et on pose vn =

u0 = 1
un+1 =
1
, ∀n ∈ N
un
2un
pour n ∈ N
2 + 3un
1. Justier l'existence des suites (un ) et (vn ).
2. Monter que la suite (vn ) est arithmétique.
3. Exprimer un en fonction de n.
Exercice 10
On considère une suite récurrente dénie par ses deux premiers termes et la
relation un+2 = aun+1 + bun avec x2 − ax − b = 0 admettant deux solutions
réelles r1 et r2 . On admet alors qu'il existe λ et µ tels que un = λ(r1 )n + µ(r2 )n
pour n ∈ N.
N. Berthet
2
LLG 2014/2015
1S.2
Exercices sur les suites
Septembre 2014
1. Calculer le 50ème terme de la suite
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 · · ·
2. Démontrer la conjecture de l'exercice 1
Exercice 11
1. Chercher les raisons possibles pour les suites géométriques non nulles
vériant un+2 = 3un+1 − 2un .
2. On admet que les suites vériant cette relation de récurrence sont des
combinaisons linéaires de suites géométriques de raisons celles trouvées
à la question
 1.

u0 = 1
u1 = 2


un+2 = 3un+1 − 2un , pour n ∈ N
Calculer u20
On pose
Exercice 12
Dans une population, un jeune peut se reproduire un an après sa naissance
et devient alors adulte. Le taux de survie est de sa = 0.311 chez les adultes et
sj = 0.26 chez les jeunes. Le taux de reproduction ( nombre de jeunes nés dans
l'année par adulte vivant au début de l'année) est de 2.65. On appelle An le
nombre d'adultes l'année n et Jn le nombre de jeunes l'année n.
1. Exprimer An+2 en fonction de An+1 et An , pour n ∈ N.
2. Chercher les raisons possibles pour les suites géométriques non nulles
vériant la relation de la question 1.
3. On admet que les suites vériant cette relation de récurrence sont des
combinaisons linéaires de suites géométriques de raisons celles trouvées
à la question 2.
On pose A0 = 100 et J0 = 50. Exprimer An en fonction de n. Que penser
de l'évolution de cette population ?
Exercice 13
La fréquence du LA d'un diapason est de 440Hz. La fréquence du LA de
l'octave supérieure est de 880Hz. Une octave se décompose en 12 notes dont les
fréquences sont les termes d'une suite géométrique. Calculer sa raison.
N. Berthet
3
LLG 2014/2015

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