ECE 2 - Lycée Alexandre Dumas

Travail estival
Rentrée 2014
Lycée A. Dumas
St Cloud
ECE2
Culture générale ECE/ECS
I- Contraction de texte
Sujet HEC 2010 à télécharger :
http://www.concours-bce.com/sites/concours-bce.com/files/annales/303-2010-Sujet.pdf
II- Lectures sur la vérité
Mme de Lafayette, La Princesse de Clèves (au moins jusqu'à la scène de l'aveu).
Corneille, Le Menteur, Le Cid, L'Illusion comique.
Molière, Tartuffe.
Jean-Jacques Rousseau, Confessions, livre I ; Les Rêveries du promeneur solitaire (3e et 4e
promenades).
Marivaux, Les Fausses confidences.
Lalcos, Les Liaisons dangereuses.
Zola, J'accuse. La vérité en marche.
Agatha Christie, Le meurtre de Roger Ackroyd.
Pierre Bayard, Qui a tué Roger Ackroyd ?, Minuit.
Antoine Bello, Les Falsificateurs, Les Éclaireurs.
José Carlos Somoza, La Caverne de la vérité.
Joseph Gabel, Mensonge et maladie mentale, Allia.
René Girard, Mensonge romantique et vérité romanesque.
ECONOMIE, SOCIOLOGIE et HISTOIRE DU MONDE
CONTEMPORAIN
ECE2
C. JUNG
Programme officiel :
ESH (6h/semaine)
Module 3 La mondialisation économique et financière
7- La dynamique de la mondialisation économique
8- La dynamique de la mondialisation financière
9- L’intégration européenne
Module 4 Déséquilibres, régulation et action publique
10- Les déséquilibres macroéconomiques et financiers
11- Les politiques économiques
12- Les politiques sociales
ECONOMIE APPROFONDIE (2h/semaine)
Module 3 Microéconomie
1- L’équilibre de marché en situation de concurrence imparfaite
2- Les marchés des facteurs de production
3- Les défaillances du marché et les outils pour en limiter les effets
Module 4 Macroéconomie
1- L’approche macroéconomique « classique »
2- Le modèle IS-LM-BP
3- Les nouvelles approches de la microéconomie
Pourquoi un travail préparatoire ?
L’année est courte et les meilleurs candidats démarrent dès maintenant (c’est un concours !). De
plus après deux mois d’arrêt la reprise est plus lente. Enfin la maîtrise de certains points du cours
est indispensable à la compréhension de certains thèmes de la seconde année, exemple : Pour
aborder le système monétaire international il faut maîtriser la création monétaire et les circuits de
financement.
C’est donc le moment de :
- Revoir l’ensemble du cours. Il est recommandé d’établir des fiches sur les points importants
du cours de première année…
- Lire et travailler sur l’ouvrage Brève histoire de la pensée économique de Jacques
VALIER, Ed: Flammarion Champs essais (8.20€) . Facile de lecture, il a l’intérêt d’aborder
l’essentiel de l’histoire de la pensée économique, bagage indispensable pour se repérer dans
les théories. Un travail personnel de fiches est conseillé : apports des différents courants,
principaux auteurs, limites…
- Un travail écrit portant sur des thèmes de cet ouvrage comportant environ 4 ou 5 questions
sera réalisé vendredi 5 septembre.
Lecture conseillée…
Pour réviser l’essentiel de l’histoire économique, de la micro et macroéconomie, des théories
économiques un ouvrage concis et riche à la fois :
Les principes fondamentaux de l’économie de Sébastien KULEMANN et Laurent DELAUZUN,
Ed: Le GENIE DES GLACIERS Les mementos(13€)
A prévoir :
Le manuel utilisé sera, comme l’an passé, L’économie aux concours des grandes écoles sous
la dir. ECHAUDEMAISON Nouveaux programmes Ed :NATHAN (35€). L’intérêt de ce
manuel est qu’il regroupe les deux années.
Une bibliographie détaillée sera distribuée à la rentrée.
Un dictionnaire de sciences économiques et sociales est fortement recommandé.
Soignez ce travail préparatoire,
Bonnes vacances à tous !
C. JUNG
[email protected]
Allemand : Travail d’été EC2 2014- LV2
Ce travail comporte plusieurs volets :
1. Le programme de révisions spécifié ci-après, permettant la mise au point des contenus
culturels et la fixation des éléments linguistiques. La présentation d’un cahier ou d’un
classeur comportant l’ensemble des éléments étudiés en 2013-14 est un préalable pour la
participation au cours à la rentrée. Les contenus doivent être acquis. Pour ce faire, le
travail doit être réparti sur une période suffisante pour permettre la mémorisation (plusieurs
semaines).Il sera élaboré au moins 7 mindmappings correspondant aux 7 chapitres
concernés : Geographie, made in Germany, Wahlen, Staatssymbole, politische Parteien, das
Reichstagsgebäude, die Berliner Republik ( und die Vergangenheitsbewältigung/ Am Ende
kommen Touristen).
Un contrôle de connaissances faisant le bilan de la 1 ère année aura lieu lors du 2ème
cours.
2. Vous êtes nombreux à avoir besoin de travailler votre vocabulaire. Vous pouvez choisir des
méthodes modernes pour le faire !
http://www.goethe.de/lrn/duw/app/deindex.htm
3. Un entraînement à l’oral fait par exemple à partir du site « deutsche Welle » Entraînez vous
à lire/répéter pour améliorer votre accent . Vous pouvez aussi vous abonner à des podcasts.
4. Un document d’auto évaluation sur une feuille de copie double: traduction:1 page thème, 1
page version, avec les éléments personnels qui doivent le plus retenir votre attention ;
grille personnelle de relecture d’expression écrite: quelles sont les erreurs les plus fréquentes
dans vos devoirs ? A quoi devez vous faire particulièrement attention ? Mettez un item par
ligne.
5. - Pour le 1er cours:
-Présenter un article traitant d’une thématique d’actualité des pays germanophones,
dont vous aurez préparé le commentaire comme pour une khôlle (prise de notes
uniquement). Ne choisissez pas un article trop long (tout le monde devra lire tous les
articles), veillez cependant à ce qu’il ait un contenu pertinent. Votre communication doit durer
entre 3 et 5 minutes. ( entraînez – vous en vous enregistrant)
- adresser en pièce jointe une version word de l’article en question à Mme Thiery, de
préférence en juillet, mais au plus tard le 15 Août. [email protected]
1. A. La mise au point des contenus culturels :
- Politique 1 : les institutions, les symboles nationaux, la république de Berlin, le Bundestag
- Politique 2 : les principaux partis, les leaders, les chanceliers depuis 1945
- Géographie
- Berlin ; Reichstagsgebäude
- L’Allemagne face à son passé: die Vergangenheitsbewältigung: Dürfen die Deutschen
Patrioten sein ? + les 3 autres textes ; « Am Ende kommen Touristen ».
 Pour chacun de ces chapitres,
a. Relisez vos notes (ou le cours) ; Travaillez le vocabulaire correspondant le cas
échéant.
b. Refaites les traductions afférentes (versions généralement). Ce sont à chaque
fois des aspects particuliers du chapitre traité. Vous pouvez refaire le travail
mentalement (sans tricher !), vous pouvez aussi vous enregistrer, et vérifier avec
votre corrigé sous les yeux.
1
Nicole Thiery_PREPA/ADMIN/ETE_EC2_2014
c.
-
Elaborez (si ce n’est déjà fait comme il avait été demandé) un mindmapping
spécifique et/ou votre carnet de vocabulaire qui seront destinés à vos révisions de
l’an prochain. Ces documents seront demandés le jour de la rentrée.
1.B. Grammaire et traduction.
a. , Reprenez :
Les temps de l’indicatif : présent, prétérit, futur, parfait
Les verbes de modalité
L’impératif
Le subjonctif II
Les relatives
Le passif
Le tableau des mots de liaison et la phrase complexe. Ils doivent être parfaitement assimilés.
Compléments de lieu et de temps
La négation
Revoyez les cours, utilisez vos grilles personnelles de relecture et (re)faites les exercices
corrigés de votre livre de grammaire, notamment lorsque vous faites des erreurs récurrentes.
Notez d’éventuelles questions à soumettre lors du 1er cours à la rentrée. Il n’est pas prévu de
revenir sur ces questions au cours de la 2 ème année. Veillez donc à bien les approfondir.
Certains d’entre vous ont besoin de retravailler le reste. N’hésitez pas à y passer du temps.
b. Reprenez les thèmes grammaticaux et, si ce n’est déjà fait, faites des fiches sur les points
particuliers abordés à cette occasion. Les « pièges » proposés au concours sont toujours les
mêmes. Les connaître, c’est savoir les résoudre. Vous devez impérativement dominer les
contenus ciblés .
c.
Reprenez les thèmes à entrée systématique : faire ; sembler, paraître ; accepter ; arrêter ; etc.
d. Grammaire p. 157 : liste de verbes à apprendre PAR CŒUR .(c’est nouveau)
1.C.Méthodologie :
Revoyez les fiches distribuées :
- tableau des mots de liaison, argumentation.
- Introduction à la traduction, fiche de khôlle.
2. S’entraîner à l’oral :
1. Langsam gesprochene Nachrichten :
(Documents radiophoniques accompagnés des scripts)
http://www.dwworld.de/dw/article/0,2144,3088462,00.html
2. Top-Thema mit Vokabeln
(Documents radiophoniques accompagnés d’aides lexicales et de questions)
http://www.dw-world.de/dw/0,2142,8031,00.html
3. regarder en ligne le journal télévisé de la première chaîne de télévision allemande ARD, ou
une version synthétique de ce journal (« Tagesschau in 100 Sekunden »), sur le
site www.tagesschau.de. De nombreuses vidéos consacrées à l’actualité allemande sont
également disponibles sur le site www.mittagsmagazin.zdf.de.’URVIL L
2
Nicole Thiery_PREPA/ADMIN/ETE_EC2_2014
ANGLAIS pour ECS 2èA
et ECE 2èA lv1/lv2
Mle PERROT
Lycée A.Dumas, Saint Cloud
Pour septembre 2014
Dossier de presse
Vous préparerez un dossier incluant quatre articles (d’une page maximum, 600 mots minimum – pas de
mini-articles ni de publicités ou documents iconographiques seuls) choisis dans au moins trois journaux
ou magazines différents de la presse anglophone, datés de juillet-août 2014.
Sources possibles (liste non exhaustive) : Time, Newsweek, The International Herald Tribune,
The Economist, Business Week, The Guardian, The Times, The Independent, The Daily
Telegraph, The New York Times...
Accessibles notamment sur le Net :
http:// www.time.com ; www.newsweek.com ; www.economist.com ; www.guardian.co.uk ;
www.nytimes.com
Vous présenterez chaque article du dossier en une quinzaine de lignes rédigées en anglais :
- introduction et synthèse (sujet de l’article)
- puis vous justifierez votre choix (pertinence : économie, politique ; intérêt personnel)
Ce dossier sera à rendre lors du premier cours de septembre (présentation soignée et ordonnée SVP).
+ Rendre une fiche en anglais (synthèse ou discussion d’1 à 2 pages pour chaque) sur DEUX des
ouvrages* suivants (résumé/ intérêt personnel) au 1er cours ; interrogation lors de la 1ère colle.
Lecture de romans* en anglais:
Wilkie COLLINS “The Woman in White” ; Patrick GALE “Tree Surgery for Beginners”; Nadine
GORDIMER “Burger’s Daughter” ; Nathaniel HAWTHORNE “The Scarlet Letter” ; Doris LESSING “The
Grass is Singing” ; Ian McEWAN “The Daydreamer” ; Toni MORRISON “The Bluest Eyes”; Philip ROTH
“The Plot against America” ; John STEINBECK “The Grapes of Wrath”; Virginia WOOLF “Orlando”.
Essais*ou histoire : Eric FONER “The Story of American Freedom”; Jared DIAMOND “Collapse”; Eric
SCHLOSSER “Fast Food Nation”; Steven D.LEVITT and Stephen J.DUBNER “Freakonomics”.
La prépa demande un investissement personnel conséquent : rythme de travail
régulier, tous les soirs et le weekend. Consolidez vos bases cet été !
Matériel
Conservez le manuel de vocabulaire et la grammaire utilisés en 1è année pour la 2è année :
Words –Classes préparatoires HEC de Florent Gusdorf, Editions Ellipses.
Grammaire appliquée de l’anglais de P.Boucher et F.Ogée, Editions Sedes (3è éd°, 2011).
Recommandés : Fiches de civilisation américaine et britannique (Fichaux etc, Ellipses 2011), Civilisation
des Etats-Unis (en anglais, M-C Pauwels, Hachette Univ, 2009), Definitely British, Absolutely American !
(coordonné par F.Fichaux, Ellipses, 2è éd°, 2011), un bon dictionnaire bilingue (Le Robert et Collins).
Révisions de grammaire (bases à maîtriser)
Les temps (emploi du present perfect et du past –le prétérit-).
For/ since/ ago/ during.
Les modaux. Le passif.
Les questions (pronoms interrogatifs).
Les subordonnées temporelles et phrases avec if.
Much/ many, (a) little/ (a) few, indénombrables courants (advice, information, news...).
Les comparatifs et superlatifs.
Entraînement à la compréhension orale / Prononciation
Vous pouvez écouter des reportages sur Internet : sites www.bbc.co.uk (podcasts); www.npr.org
(National Public Radio, américain); www.voa.gov (Voice of America) ; www.euronews.net/. Conférences
sur www.ted.com.
TV : BBC World News, CNN, France 24 Anglais (et sur www.livestation.com, www.pluzz.fr ).
Bon travail et bonnes vacances.
!
Mme Roumaneix
Travail dʼespagnol à faire pour la rentrée 2014
Pour la rentrée, vous aurez à faire deux traductions, un thème grammatical et une version que
vous trouverez ci-joints. Vous devrez également répondre aux questions suivantes:
1.
2.
¿En qué consiste el llamado “Estado de las Autonomías” español, vigente desde 1979?
¿Cuáles son sus ventajas y sus límites?
Cependant votre travail ne sʼarrête pas à cela, et vous devez continuer pendant lʼété à lire la
presse espagnole et latino-américaine (elpais.es, 20minutos.com, lavanguardia.es,
bbcmundo.com, etc), à regarder les informations en espagnol sur tve.es, non seulement pour
être au courant de ce qui se passe, mais également pour maintenir, voire même, enrichir votre
niveau dʼespagnol. Profitez également de cette période pour revoir ce que vous avez fait au
cours de lʼannée et pour refaire toutes les traductions, étoffez votre culture hispanique en
voyant des films (Almodóvar, Amenábar, Iñárritu, par exemple) ou des documentaires (Salvador
Allende, La bataille du Chili, The take, Mourir à Madrid, Che,...), en lisant de la littérature
( Crónica de una muerte anunciada de Gabriel García Márquez, La familia de Pascual Duarte de
Camilo José Cela). Enfin, si vous ressentez le besoin de préciser vos connaissances, ce qui ne
saurait être un mal, je vous propose de consulter le Manuel de civilisation espagnol et latinoaméricaine de Catherine Delamarre-Sallard, Bréal, 2005.
Bonnes vacances à tous, je suis sûre quʼelles ne manqueront pas dʼêtre studieuses.
!
Mme Roumaneix
THEME
1. Si l’Espagne voulait concurrencer le Japon, elle devrait travailler beaucoup.
2. Quand ils n’auront plus peur du risque, ils pourront monter leur entreprise.
3. N’oubliez pas, Mr le Directeur, que l’Espagne est l’un des marchés les plus importants d’Europe.
4. Conseillez-leur, Madame, d’accepter les risques et leur entreprise finira par s’en sortir.
5. Même si le prix de l’essence baissait encore un peu, elle serait plus chère qu’il y a 20 ans.
6. Cette expérience est d’autant plus intéressante que nous ne sommes plus seuls: nous serons
douze.
7. Plus ils gagneront d’argent, plus ils voudront en gagner, c’est un cercle vicieux dont il faut sortir.
8. Le gouvernement fait tout son possible pour résoudre le problème du chômage, mais il n’y
parvient pas.
9. Vous voudriez savoir l’heure de mon arrivée, mais malheureusement je ne peux pas vous le
dire.
10. C’est en travaillant très dur qu’elle avait obtenu ce poste, il y a maintenant deux ans.
VERSION
Mientras uno de los policias se entrega a un descarado cotejo entre nuestras fisionomías y la de
los numerosos “buscados” que adornaban las paredes, el otro, el que se perfiliría como el “jefe”,
acababa de hacerse con los pasaportes, leía en voz alta “¡España!”, e, inundado por una súbita
emoción, nos instaba a tomar asiento, a ponernos cómodos, a descansar, a fumar, si lo
deseábamos, a sentirnos dijo como “en casa”.
- Bienvenidos -añadió- ¡Bienvenidos a Bolivia!
Debíamos de ser los primeros españoles que había visto en su vida. Y, según todas las
apariencias, le gustábamos. Estaba encantado, “honrado, diría”, de recibirnos.
- ¡Vienen de tan lejos y de tan cerca!
El subordinado, en cambio, no participaba de la grandeza del momento. Acabó su cotejo visual,
nos tendió unos papeles y resopló sobre un bolígrafo.
-¿Dónde piensan alojarse?
- En un hotel, en una pensión...no sabemos.
- Y claro, Gutiérrrez, en un hotel...-el jefe no dejaba de sonreír- ¿Y qué puede importar? Son
españoles. ¿Acaso no ha escuchado?
- Sí, pero...-Gutiérrez no parecía muy convencido- Tienen que cumplimentar la boleta.
- ¿No escuchó? -ahora el jefe contraía los labios y cerraba los ojos-. Gutiérrez de repente se nos
volvió sordo. Españoles, le he dicho. Que es como decir bolivianos. ¡Estos señores son
bolivianos! ¡Doble nacionalidad! -prosiguió nuestro valedor- ¿Ha escuchado alguna vez hablar de
la doble nacionalidad?
"
"
"
"
"
Cristina Fernández Cubas, Las cosas que ya no existen, 2000
ECE2 –ECS2 2014-2015
La vérité
Bibliographie sélective
Jorge Luis Borgès Fictions (poche)
René Descartes Discours de la méthode (poche)
Umberto Eco La guerre du faux (poche)
Sigmund Freud L’avenir d’une illusion (poche)
Martin Heidegger Chemins qui ne mènent nulle part (Gallimard)
David Hume Enquête sur l’entendement humain (poche)
Michel de Montaigne Essais (Livre II, chapitre XII ; livre III, chapitre XI ; poche)
Friedrich Nietzsche Le livre du philosophe (poche, Aubier-Montaigne)
Blaise Pascal De l’esprit géométrique (poche)
Platon Ménon (poche, collection GF)
Platon Théétète (collection GF)
Platon République (collection GF)
Jean-Paul Sartre Les mains sales (poche)
Baruch Spinoza Traité théologico-politique (collection GF)
Oscar Wilde Le déclin du mensonge (éditions Allia)
+
Matrix, film de Andy et Larry Wachowski
Matrix, machine philosophique (Ellipses 2003)
Douze hommes en colère, film de Sydney Lumet
+
Alain Lévi Les scepticismes (collection Que sais-je ?)
La liste proposée ici comprend des ouvrages d’inspiration très variée et de difficulté fort
différente. Prenez la peine de vous aider de l’informatique (pour une fois conseillée) afin de
connaître le contenu de chacun des livres mentionnés. Cela peut vous donner le désir d’en
savoir un peu plus.
Quand vous aurez commencé votre travail de lecture, pensez, au fil de vos réflexions, à
repérer tous les passages qui traitent de la vérité, à les noter sur un carnet avec la mention
exacte de la page, voire à les recopier fidèlement, et n’oubliez pas que l’on peut évoquer le
concept de vérité sans utiliser le mot « vérité ».
De plus, un contrôle écrit, et évalué par une note, sera organisé dès la rentrée sur la lecture des
deux ouvrages suivants, qui doivent donc obligatoirement être lus durant l’été :
Platon Ménon
Freud L’avenir d’une illusion
C LASSE P RÉPARATOIRE É CONOMIQUE ET C OMMERCIALE ,
OPTION
É CONOMIQUE
M ATHÉMATIQUES -I NFORMATIQUE
T RAVAIL
ESTIVAL
Durant cette période estivale, votre premier travail est de faire des fiches et de revoir les exercices
faits en première année, ainsi que les devoirs surveillés et leurs corrections. Essayez de travailler en fichant
les méthodes utilisées pour tel type d’exercice. Ceci concerne chaque chapitre, y compris le programme
d’informatique. Je vous conseille de travailler extrêmement sérieusement le cours : toutes les définitions et
tous les théorèmes de première année doivent être sus (y compris les démonstrations que vous avez eu en
colle). Je vous rappelle que le programme des concours porte sur les deux années, et que les techniques de
première année doivent être maitrisées pour envisager sereinement d’acquérir celles de seconde année.
Pour préparer efficacement la rentrée et ne pas perdre de temps au début de l’année qui s’annonce
courte (sept mois seulement, de septembre à mars inclus, dont trois fois deux semaines de vacances), vous
avez le premier chapitre à travailler pendant les vacances. Il s’agit principalement de rappels concernant la
convergence des suites de nombres réels, avec pour nouveauté dans la partie IV l’introduction des relations
d’équivalence u n ∼ v n et de négligeabilité u n = o(v n ). Pour vous entrainer avec ces nouvelles notions, vous
devez rédiger les démonstrations des huit propriétés de la proposition 4.7 en page 7. D’autre part, la feuille
d’exercices est à préparer également.
Enfin, deux sujets sont à chercher pendant l’été. Un devoir surveillé aura lieu peu de temps après la
rentrée, et sera composé d’exercices tirés de ces deux sujets.
Bon courage, et soyez dès à présent sérieux et motivés.
P-A GIÉ
Lycée Alexandre Dumas
Mathématiques
ECE2
Chapitre I – Compléments sur les suites numériques
Table des matières
1 Limites de suites
1.1 Suites convergentes ou divergentes . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Unicité de la limite et suites récurrentes du type u n+1 = f (u n ) .
.
.
.
.
2
2
2
3
3
2 Limites de suites et inégalités
2.1 Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Encadrements de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
3 Suites monotones et limites
3.1 Suites majorées, minorées, bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
4 Outils de comparaisons pour les suites
4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Utilisation . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Croissances comparées . . . . . . .
4.5 Formes indéterminées . . . . . . . .
6
6
7
8
8
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Annexes
5.1 Opérations sur les limites et formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Méthode d’étude des suites récurrentes définies par u n+1 = f (u n ) . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Méthode d’étude d’une suite implicite (u n )n∈N où u n est la solution d’une équation f (x) = v n
ou f n (x) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre I
–1–
10
10
11
12
13
Compléments suites.LATEX
Lycée Alexandre Dumas
Mathématiques
ECE2
1 Limites de suites
1.1 Suites convergentes ou divergentes
Suites convergentes, divergentes
Proposition et définition 1.1. Soit (u n )n∈N une suite de nombres réels.
1. On dit que la suite (u n )n∈N est convergente lorsque lim u n existe et est finie.
n → +∞
Dans ce cas :
– La limite est unique :
lim u n = ℓ1
n → +∞
lim u n = ℓ2
n → +∞
)
=⇒ ℓ1 = ℓ2
– La suite (u n )n∈N est bornée.
– Toute sous-suite extraite de (u n )n∈N est également convergente, et de même limite. En particulier : lim u n+1 = lim u 2n = lim u n .
n → +∞
n → +∞
n → +∞
2. On dit que la suite (u n )n∈N est divergente lorsqu’elle ne possède pas de limite ou lorsqu’elle
tend vers ±∞.
³
´
Remarque 1.2. Attention, une suite bornée n’est pas nécessairement convergente, par exemple (−1)n
.
n∈N
Méthode : sous-suites
On peut utiliser la propriété des sous-suites sous sa forme contraposée : si on a deux sous-suites de
(u n )n∈N qui n’ont pas la même limite alors la suite (u n )n∈N ne converge pas.
Exemple 1.3. La suite (u n )n∈N définie par ∀n ∈ N, u n = (−1)n est divergente car la suite paire et la suite
impaire extraites n’ont pas la même limite (1 6= −1).
On dispose également du résultat :
Sous-suites paire et impaire extraite
Théorème 1.4. Soit (u n )n∈N une suite. Si les sous-suites extraites (u 2n )n∈N et (u 2n+1 )n∈N convergent
vers la même limite ℓ, alors (u n )n∈N est convergente, de limite ℓ.
1.2 Suites géométriques
Tout d’abord, le cas des suites (q n )n∈N :
Limite de q n
Théorème 1.5. Soit q ∈ R.
– Si q > 1 alors lim q n = +∞.
n → +∞
– Si −1 < q < 1 alors (q n )n∈N converge vers 0.
– Si q < −1 ou q = −1 alors (q n )n∈N n’a pas de limite (donc diverge).
– Si q = 1 alors (q n )n∈N est une suite constante égale à 1 et donc converge vers 1.
Résumé suivant les valeurs de q reportées sur un axe gradué :
Si q < −1
n
lim q n’existe pas
n → +∞
!
−3
−2
lim q n = +∞
lim q = 0
n → +∞
−4
Si q > 1
Si −1 < q < 1
n
−1
n → +∞
!
0
1
2
3
4
Démonstration. Pour q 6= 0, on étudie lim |q n | en écrivant |q n | = |q|n = e n ln(|q|) .
n → +∞
Chapitre I
–2–
Compléments suites.LATEX
Lycée Alexandre Dumas
Mathématiques
ECE2
Méthode : limite d’une suite géométrique
Pour étudier la limite d’une suite géométrique définie par u 0 et u n = q n u 0 , il ne faut pas oublier de tenir compte du signe de u 0 et appliquer les règles sur les opérations concernant les limites (paragraphe
suivant).
1.3 Opérations sur les limites
Proposition 1.6. Si deux suites (u n )n∈N et (v n )n∈N sont convergentes, de limites respectives ℓ1 et ℓ2 , alors :
– Leur somme (u n + v n )n∈N est convergente, de limite ℓ1 + ℓ2 ;
– Leur produit (u n v n )n∈N³ est ´convergent, de limite ℓ1 ℓ2 ;
u
ℓ
– Si ℓ2 6= 0, leur quotient v n
(défini à partir d’un certain rang n 0 ) est convergent, de limite 1 .
n nÊn0
ℓ2
Dans tous les autres cas, on se réfère au tableau des opérations sur les limites en annexe page 10.
∞
0
On observe plusieurs formes indéterminées (F.I.) : ∞ − ∞, ∞ × 0, ℓ
0 , ∞ et 0 . En général pour lever les F.I.,
il faudra factoriser par le terme dominant, on y reviendra dans la dernière partie de ce chapitre.
1.4 Unicité de la limite et suites récurrentes du type u n+1 = f (u n )
Point fixe
Définition 1.7. Soit f une fonction définie sur un intervalle I . On appelle point fixe de f tout réel x 0
solution de l’équation f (x) = x. Autrement dit :
x 0 est un point fixe de f si, et seulement si f (x 0 ) = x 0 .
Méthode : recherche d’un point fixe
La plupart du temps, pour déterminer un point fixe d’une fonction, il faudra poser g (x) = f (x) − x et
chercher les solutions de l’équation g (x) = 0. Si l’on ne peut pas résoudre cette équation de manière
algébrique, le théorème de la bijection pourra assurer l’existence d’une solution α, et une valeur approchée pourra être déterminée par dichotomie ou grâce à l’étude d’une suite récurrente de limite
α.
Exemple 1.8. Montrer que la fonction f définie pour tout réel x par f (x) = e −x possède un unique point fixe
α, et que α ∈ [0; 1].
Intervalle stable
Définition 1.9. Soit f une fonction définie sur un intervalle I .
On dit que l’intervalle I est stable par f si, et seulement si, pour tout réel x de I , alors f (x) est élément
de I .
En particulier, l’intervalle [a; b] est stable par f si, et seulement si :
a É x É b =⇒ a É f (x) É b.
Méthode : intervalle stable
Pour montrer qu’un intervalle [a; b] est stable par f , on pourra :
1. Partir de a É x É b et effectuer des opérations élémentaires pour arriver à a É f (x) É b ;
2. Étudier les variations de f sur [a; b].
Exemple 1.10.
1. Soit f (x) =
p
2x + 4, pour tout x Ê 2. Montrer que l’intervalle [0; 4] est stable par f .
2. Soit f (x) = x(1 − x), pour tout x ∈ R. Montrer que l’intervalle [0; 1] est stable par f .
Chapitre I
–3–
Compléments suites.LATEX
Lycée Alexandre Dumas
Mathématiques
ECE2
Théorème du pointe fixe
Théorème 1.11. Soit f une fonction définie sur un intervalle stable I , et (u n )n∈N une suite définie
par son premier terme u 0 ∈ I et la relation de récurrence : ∀n ∈ N, u n+1 = f (u n ).
Si (u n )n∈N converge vers ℓ, et si f est continue en ℓ, alors ℓ est un point fixe de f :

∀n ∈ N, u n+1 = f (u n ) 

lim u n = ℓ
=⇒ f (ℓ) = ℓ
n → +∞


f continue en ℓ
Démonstration. L’unicité de la limite est l’argument essentiel. En effet, on a
lim un = ℓ donc :
n → +∞
lim un+1 = ℓ
n → +∞
(limite d’une sous-suite d’une suite convergente).
D’autre part, pour tout n ∈ N, un+1 = f (un ) et f est continue en ℓ, donc :
lim un+1 = lim f (un ) = f (ℓ).
n → +∞
n → +∞
Par unicité de la limite, on a nécessairement f (ℓ) = ℓ.
Remarque 1.12. L’intervalle stable I sert à établir que la suite est bien définie : on prouve par récurrence sur
n ∈ N que u n ∈ I .
On se référera à la méthode en page 12.
2 Limites de suites et inégalités
2.1 Comparaison de suites
Théorème de positivité
Théorème 2.1. Soit (u n )n∈N une suite convergente de limite ℓ.
Si a É u n É b (à partir d’un certain rang), alors a É ℓ É b.
En particulier, si u n Ê 0 (à partir d’un certain rang), alors ℓ Ê 0.
Autrement dit : la limite d’une suite positive (à partir d’un certain rang) est POSITIVE OU NULLE.
Corollaire 2.2. Soit (u n )n∈N et (v n )n∈N deux suites telles que u n É v n à partir d’un certain rang. Si les suites
(u n )n∈N et (v n )n∈N convergent vers ℓ et ℓ′ alors ℓ É ℓ′ .
Preuve. Il suffit d’appliquer le théorème précédent à la suite v − u positive et convergente vers ℓ′ − ℓ.
Remarque 2.3. L Ces résultats sont faux avec des inégalités strictes.
1 > 0 pour tout n ∈ N∗ , mais ℓ = lim 1 = 0 donc ℓ n’est pas strictement positive !
Par exemple, n
n → +∞ n
1
1
Également, si u n = 2 − n et v n = 2 + n , alors on a : u n < v n pour tout n Ê 1, et pourtant lim u n = 2 =
n → +∞
lim v n .
n → +∞
Chapitre I
–4–
Compléments suites.LATEX
Lycée Alexandre Dumas
Mathématiques
ECE2
Théorèmes de minoration
Théorème 2.4. Soit (u n )n∈N et (v n )n∈N deux suites telles que u n É v n à partir d’un certain rang.
– Si la suite (u n )n∈N tend vers +∞ alors (v n )n∈N tend vers +∞.
– Si la suite (v n )n∈N tend vers −∞ alors (u n )n∈N tend vers −∞.
En résumé :
)
∀n Ê n 0 , u n É v n
=⇒ lim v n = +∞
lim u n = +∞
n → +∞
n → +∞
)
∀n Ê n 0 , u n É v n
=⇒ lim u n = −∞
lim v n = −∞
n → +∞
n → +∞
Remarque 2.5. B On ne peut rien dire si u n É v n (pour tout n ∈ N) avec lim u n = −∞ ou lim v n = +∞.
n → +∞
n → +∞
1 et v = n.
Par exemple, avec u n = n
n
2.2 Encadrements de suites
Théorème des gendarmes ou des encadrements
Théorème 2.6. Soit (u n )n∈N , (v n )n∈N , (w n )n∈N trois suites telles que :
∀n Ê n 0 ,
un É v n É w n .
Supposons de plus que les suites (u n )n∈N et (w n )n∈N convergent vers une même limite ℓ. Alors la
suite (v n )n∈N est convergente, de même limite ℓ.
En résumé :

∀n Ê n 0 ,
un É v n É w n


(u n )n∈N converge et lim u n = ℓ =⇒ (v n )n∈N converge, et lim v n = ℓ
n → +∞
n → +∞

(w )
converge et lim w = ℓ
n n∈N
n → +∞
n
Remarque 2.7. B On ne peut rien dire si (u n )n∈N et (w n )n∈N ne convergent pas vers la même limite.
3 Suites monotones et limites
Rappelons les définitions :
Suites croissantes, décroissantes
Définition 3.1.
– La suite (u n )n∈N est croissante si, et seulement si, pour tout n ∈ N, u n É u n+1 .
– La suite (u n )n∈N est décroissante si, et seulement si, pour tout n ∈ N, u n Ê u n+1 .
– Une suite monotone est une suite croissante ou décroissante.
3.1 Suites majorées, minorées, bornées
Théorème de la limite monotone
Théorème 3.2.
– Toute suite croissante et majorée est convergente.
– Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Chapitre I
–5–
Compléments suites.LATEX
Lycée Alexandre Dumas
Mathématiques
ECE2
Remarque 3.3. B Pour une suite croissante, le majorant de la suite est un majorant de la limite mais ce
n’est pas nécessairement la limite.
En effet, s’il existe un majorant, il en existe une infinité. Or, la limite d’une suite est unique.
Méthode : limite d’une suite monotone
Pour une suite monotone, on a deux possibilités : soit elle est bornée et elle converge, soit elle n’est
pas bornée et elle diverge vers l’infini. Précisément :
(u n )n∈N
croissante
majorée par M
converge vers ℓ
u0 É ℓ É M
non majorée
diverge vers +∞
(u n )n∈N
décroissante
minorée par m
converge vers ℓ
m É ℓ É u0
non minorée
diverge vers −∞
3.2 Suites adjacentes
Parfois on ne peut pas montrer directement qu’une suite est convergente mais on peut utiliser une autre
suite et la notion de suites adjacentes :
Suites adjacentes
Définition 3.4. Deux suites sont dites adjacentes si et seulement si l’une est croissante et l’autre décroissante, et la différence tend vers 0.
Méthode : suites adjacentes
Pour montrer que deux suites (u n )n∈N et (v n )n∈N sont adjacentes, on prouve que :
– (u n )n∈N est croissante ;
– (v n )n∈N est décroissante ;
– lim v n − u n = 0 ou lim u n − v n = 0.
n →∞
n →∞
Suites adjacentes
Théorème 3.5. Deux suites adjacentes sont convergentes et de même limite.
Remarque 3.6. Le théorème portant sur les suites adjacentes donne DEUX résultats : la convergence, puis
la limite. Ceci implique qu’un couple de suites adjacentes ne tend pas vers une limite infinie.
L’avantage de ce théorème est que, sans rien faire, on obtient la convergence des deux suites. L’inconvénient
est que l’on a aucune idée de la valeur de la limite commune !
4 Outils de comparaisons pour les suites
4.1 Définition
Suites équivalentes ou négligeables
Définition 4.1. Soit (u n )n∈N et (v n )n∈N deux suites, avec v n 6= 0 à partir d’un certain rang. On dit qu’au
voisinage de +∞ :
u
– (u n )n∈N est négligeable devant (v n )n∈N , et on écrit u n = o(v n ) lorsque lim v n = 0. On dit : « u n est
n → +∞
un petit o de v n ».
u
– (u n )n∈N est équivalente à (v n )n∈N , et on écrit u n ∼ v n , lorsque lim v n = 1.
+∞
n → +∞ n
n
Remarque 4.2.
Chapitre I
–6–
Compléments suites.LATEX
Lycée Alexandre Dumas
Mathématiques
ECE2
– u n = o(v n ) si et seulement s’il existe une suite (εn ) tendant vers 0 telle que u n = εn v n . Il s’agit en fait de
la vraie définition ! item Un des buts des équivalents et des négligeables est de simplifier le calcul des
limites.
– L Une suite n’est jamais équivalente à 0 (sauf la suite constante nulle ou nulle à partir d’un certain rang).
3
2
2 et n 5 + 5n 7 + 5 = o ¡n 8 ¢.
Exemple 4.3. 2 + 2−n ∼ 2 ; 2n + n4 + 4n ∼ n
+∞
+∞
n
Proposition 4.4. Soit (u n )n∈N et (v n )n∈N deux suites non nulles APCR, alors :
u n ∼ v n ⇐⇒ u n − v n = o(v n ) ⇐⇒ u n − v n = o(u n ) .
+∞
Remarque 4.5. Cette proposition est utile pour montrer l’équivalence de deux suites : on peut montrer que
leur différence est négligeable devant l’une ou l’autre des suites.
Remarque 4.6. B Cela ne veut pas dire que u n − v n converge vers 0. Contre-exemple avec u n = n et v n =
n + 1.
4.2 Propriétés
Opérations sur les équivalents
Proposition 4.7. On considère des suites non nulles à partir d’un certain rang. On a alors :
1. Produit : si u n ∼ v n et r n ∼ s n alors u n r n ∼ v n s n .
+∞
+∞
+∞
(En particulier, c’est vrai pour r n = s n ).
u
v
2. Quotient : si u n ∼ v n et r n ∼ s n , alors r n ∼ s n .
n +∞ n
+∞
+∞
3. Élévation à une puissance réelle : si u n ∼ v n (avec suites positives à partir d’un certain rang),
+∞
alors, pour tout α ∈ R, u nα ∼ v nα .
+∞
4. Valeur absolue : si u n ∼ v n , alors |u n | ∼ |v n |.
+∞
+∞
Propriétés des relations o et ∼
Proposition 4.8. On considère des suites non nulles à partir d’un certain rang. On a alors :
1. Transitivité : si u n ∼ v n et v n ∼ w n alors u n ∼ w n .
+∞
+∞
+∞
2. Équivalents et négligeables : si u n = o(v n ), alors u n + v n ∼ v n . (Dans une somme, on peut
+∞
négliger les termes. . . négligeables !)
3. Passage à l’inverse³: si ´u n = o(v n ) et si les suites u n et v n sont non nulles à partir d’un certain
rang, alors : v1 = o u1 .
n
n
Équivalents et limites
Proposition 4.9. On considère des suites non nulles à partir d’un certain rang. On a alors :
1. u n = o(1) ⇔ lim u n = 0.
n → +∞
2. Soit ℓ 6= 0. Alors u n ∼ ℓ ⇔ lim
+∞
n → +∞
un
= 1 ⇔ lim u n = ℓ.
ℓ
n → +∞
Remarque 4.10. B Les fautes de raisonnement arrivent très vite avec les équivalents. Ce qu’il faut retenir
principalement de cette proposition est qu’on peut multiplier ou diviser des équivalents MAIS SURTOUT
pas additionner (ou soustraire) les équivalents, ni les composer !
1 , v = −n + 1. On a u ∼ n, v ∼ −n et u + v = 1 + 1 ∼ 1 alors que n + (−n) = 0.
– Si u n = n + n
n
n
n
n
n
n
+∞
+∞
+∞
1.
– Si u n ∼ v n cela n’implique pas ln(u n ) ∼ ln(v n ). Par exemple, si u n = 1 et v n = 1 + n
+∞
+∞
– De même, si u n ∼ v n cela n’implique pas e un ∼ e v n . Par exemple, si u n = n et v n = n + 1.
+∞
Chapitre I
+∞
–7–
Compléments suites.LATEX
Lycée Alexandre Dumas
Mathématiques
ECE2
4.3 Utilisation
Utilisation de la relation d’équivalence
Théorème 4.11. Si u n ∼ v n , alors les suites (u n )n∈N et (v n )n∈N sont de même nature, c’est-à-dire :
+∞
– (u n )n∈N converge si, et seulement si, (v n )n∈N converge et dans ce cas elles ont la même limite.
– (u n )n∈N diverge vers +∞ si, et seulement si, (v n )n∈N diverge vers +∞ (idem pour −∞).
– (u n )n∈N n’a pas de limite si, et seulement si, (v n )n∈N n’a pas de limite.
Utilisation de la relation de négligeabilité
Théorème 4.12. Si u n = o(v n ) et :
– si la suite (v n )n∈N tend vers 0, alors la suite (u n )n∈N tend vers 0.
– si lim |u n | = +∞ alors lim |v n | = +∞.
n → +∞
n → +∞
4.4 Croissances comparées
On peut réécrire les croissances comparées avec ces définitions :
Croissances comparées
Théorème 4.13.
– « le logarithme est négligeable devant les puissances » :
¡ ¢
ln(n) = o(n) ou, plus généralement : ∀α > 0, ∀β > 0, (ln(n))α = o n β
– « les puissances sont négligeables devant l’exponentielle » :
¡
¢
n = o(e n ) ou, plus généralement : ∀α > 0, ∀β > 0, n α = o e βn
– « l’exponentielle est négligeable devant la factorielle » :
e n = o(n!) ou, plus généralement : ∀q > 0, q n = o(n!)
Méthode : croissances comparées
Quand la croissance comparée n’est pas directe, il faut revenir à une forme exponentielle pour utiliser
l’une des formules ci-dessus.
Exemple 4.14. Quelle est la limite de n 2 × 2−n ?
4.5 Formes indéterminées
Méthode : pour lever les indéterminations
1. Formes indéterminées du type ∞ − ∞.
Pour lever une telle indétermination, on factorise par le terme qui croit le plus vite en valeur
absolue vers +∞.
On peut retenir que les polynômes sont équivalents en +∞ à leur monôme de plus haut de
degré (à savoir démontrer).
∞ . On factorise par le terme qui croit le plus vite en valeur ab2. Formes indéterminées du type ∞
solue vers +∞ au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie.
On peut retenir que les fractions rationnelles sont équivalentes en +∞ au quotient de leurs
monômes de plus haut de degré (à savoir démontrer).
0.
3. Formes indéterminées du type 0
On factorise par le terme qui décroit le plus lentement en valeur absolue vers 0 au numérateur
et au dénominateur, puis on simplifie.
Chapitre I
–8–
Compléments suites.LATEX
Lycée Alexandre Dumas
Mathématiques
ECE2
Exemple 4.15.
1. e n − n 2 ∼ e n car n 2 = o(e n ) par croissances comparées, donc :
+∞
lim e n − n 2 = lim e n = +∞.
n → +∞
2.
n → +∞
n
e n − n2
∼ e n car n 2 = o(e n ) par croissances comparées, et ln(n)10 = o(3n ) par croissances com10 +∞
3
3 − ln(n)
parées, et on fait le quotient des équivalents. Ensuite :
n
lim
n → +∞ 3n
e n − n2
− ln(n)10
³ e ´n
en
=
lim
=0
n → +∞ 3n
n → +∞ 3
= lim
car −1 < e3 < 1.
³ ´n
−n
¡p ¢
1
3. 11 + 2 1
= 0 donc 2−n = o(1), et : ln(n) = o n
∼ −1
∼ − ln(n) car lim 2−n = lim 1
2
+∞
+∞
n → +∞
n → +∞
p −
ln(n)
n ln(n)
³
´
par croissances comparées, donc p1 = o 1 , et on fait le quotient des équivalents. Ensuite :
ln(n)
n
lim
n → +∞
1 + 2−n
= lim − ln(n) = −∞.
1
1
n → +∞
p −
ln(n)
n
On dispose d’équivalents particuliers pour lever des formes indéterminées spécifiques :
Équivalents particuliers
Proposition 4.16. Soit (u n )n∈N une suite de limite 0. Alors :
∀α ∈ R∗ , (1 + u n )α − 1
ln(1 + u n )
e
un
−1
∼
αu n
∼
un
∼
un
+∞
+∞
+∞
Exemple 4.17. Donner un équivalent puis la limite de :
p
1. x n = 2n ( 1 + e −n − 1)
³
´
+1
2. y n = (n + 1) ln n n
2
3. z n = n(e n − 1)
Chapitre I
–9–
Compléments suites.LATEX
Lycée Alexandre Dumas
Mathématiques
ECE2
5 Annexes
5.1 Opérations sur les limites et formes indéterminées
ℓ et ℓ′ désignent deux nombres réels.
Somme : lim u n + v n
n → +∞
On peut rencontrer la forme indéterminée « ∞ − ∞ » :
lim v n
+
ℓ∈R
+∞
lim u n
n → +∞
′
ℓ ∈R
ℓ + ℓ′
−∞
n → +∞
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
F.I.
−∞
Produit : lim u n × v n
n → +∞
On peut rencontrer la forme indéterminée « 0 × ∞ » :
lim v n
lim u n
n → +∞
ℓ>0
0
ℓ<0
×
′
ℓ >0
ℓ × ℓ′ > 0
0
0
0
+∞
−∞
n → +∞
′
ℓ <0
ℓ × ℓ′ < 0
0
ℓ × ℓ′ > 0
+∞
+∞
F.I.
−∞
−∞
−∞
F.I.
+∞
+∞
−∞
+∞
u
Quotient : lim v n
n → +∞ n
(avec v n 6= 0 à partir d’un certain rang.)
?
On peut rencontrer les formes indéterminées « ∞
∞ » et « 0 » :
lim v n
ℓ>0
0
lim u n
n → +∞
ℓ<0
+∞
−∞
÷
′
ℓ >0
ℓ >0
ℓ′
0
ℓ <0
ℓ′
+∞
−∞
+
0
+∞
F.I.
−∞
+∞
−∞
0
F.I.
F.I.
F.I.
F.I.
F.I.
n → +∞
−
0
−∞
F.I.
+∞
−∞
+∞
ℓ′ < 0
ℓ <0
ℓ′
0
ℓ >0
ℓ′
−∞
+∞
+∞
−∞
0
0
+
0
0−
−
0
0+
F.I.
F.I.
F.I.
F.I.
Remarque : On peut parfois supprimer une F.I. lorsque l’on divise par une suite qui tend vers zéro si on a 0+
ou 0− .
A Cependant 0 + et 0− sont toujours des F.I.
0
0
Chapitre I
– 10 –
Compléments suites.LATEX
Lycée Alexandre Dumas
Mathématiques
ECE2
5.2 Croissances comparées
– « le logarithme est négligeable devant les puissances » :
¡ ¢
ln(n) = o(n) ou, plus généralement : ∀α > 0, ∀β > 0, (ln(n))α = o n β
– « les puissances sont négligeables devant l’exponentielle » :
¡
¢
n = o(e n ) ou, plus généralement : ∀α > 0, ∀β > 0, n α = o e βn
– « l’exponentielle est négligeable devant la factorielle » :
e n = o(n!) ou, plus généralement : ∀q > 0, q n = o(n!)
Chacune de ces suites de référence est négligeable devant celle située à sa droite, en particulier, cela signifie
qu’elle « tend moins vite vers l’infini ». Si 0 < a < b :
(ln(n))a
(ln(n))b
na
nb
q n (si
1 < q < e)
en
q n (si
q > e)
n!
B Attention. Les « croissances comparées » servent uniquement en cas de forme indéterminées avec des
suites de « catégories » différentes : logarithmes, puissances ou exponentielles (géométriques). À l’intérieur
d’une même catégorie, on peut effectuer simplifier et effectuer le calcul de la limite.
Par exemple :
¡
¢
1 = 0 par quotient de limites.
– ln(n) = o ln(n)2 car lim ln(n) 2 = lim
n → +∞ (ln(n))
n → +∞ ln(n)
¡ ¢
– ln(n) = o n 2 car lim ln(n)
= 0 par croissances comparées.
n → +∞ n 2
³ ´n
n
– 2n = o(3n ) car lim 2n = lim 2
= 0 par limite de suites géométriques avec −1 < 2
3 < 1.
n → +∞ 3
n → +∞ 3
Chapitre I
– 11 –
Compléments suites.LATEX
Lycée Alexandre Dumas
Mathématiques
ECE2
5.3 Méthode d’étude des suites récurrentes définies par u n+1 = f (u n )
Méthode : suites récurrentes
t Pour montrer que, pour tout n ∈ N, u n Ê a, u n É b ou u n ∈ [a; b] :
M1 Faire une récurrence, en n’oubliant pas de vérifier que le calcul de u n est possible à chaque
étape s’il y a un problème d’existence de la suite u (lorsque le domaine de f n’est pas R) ;
Dans l’hérédité, on cherchera alors le signe de u n+1 − a et/ou u n+1 − b en exprimant ces différences en fonctions de u n − a et/ou u n − b.
M2 Utiliser la propriété de stabilité (∀x ∈ I , f (x) ∈ I avec I = [a; +∞[ ou ] − ∞; b] ou [a; b]) éventuellement établie auparavant lors de l’étude de la fonction. Dans ce cas, attention au premier
terme.
t Pour montrer que u est croissante ou décroissante :
M1 Utiliser le signe de f (x) − x sur I et u n ∈ I ;
M2 Si f est croissante, utiliser une récurrence avec P (n) : « u n É u n+1 » ou P (n) : « u n Ê u n+1 » en
regardant les premiers termes.
t Pour montrer que u est convergente : théorèmes de limite monotone la plupart du temps.
t Pour déterminer la limite de u : théorème du point fixe (attention à la continuité de f ). S’il y a plusieurs points fixes, utiliser u n ∈ I (la limite est nécessairement un point ou une borne de I ).
t Pour montrer que u est divergente : par l’absurde. On suppose u minorée (si elle est décroissante)
ou majorée (si elle est croissante), et alors elle converge vers un point fixe ℓ que l’on calcule, et on
trouve une contradiction.
t Pour utiliser l’inégalité des accroissements finis correctement :
Étape 1 : avoir vérifié ou établi au préalable que :
– ∀n Ê n 0 , u n+1 = f (u n ),
– f est continue et dérivable, ou directement de classe C 1 , sur I ,
– f admet un point fixe α ∈ I ,
– il existe un réel k ∈]0; 1[ tel que, pour tout x ∈ I , | f ′ (x)| É k.
Alors, pour tout n Ê n 0 , l’inégalité des accroissements finis appliquées entre α et u n assure que :
¯
¯
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
¯
¯
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
¯ f (u n ) − f (α)¯ É k ¯u n − α¯ ⇔ ¯u n+1 − α¯ É ¯u n − α¯.
Étape 2 : On prouve par récurrence que :
∀n Ê n 0 ,
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯u n − α¯ É k n−n0 ¯u n0 − α¯
Attention à l’initialisation. L’hérédité est assurée par l’inégalité prouvée en fin d’étape 1.
Étape 3 :
lim k n−n0 = 0 (car −1 < k < 1) donc, par le théorème des encadrements :
n → +∞
¯
¯
¯
¯
lim ¯u n − α¯ = 0
n → +∞
i.e. lim u n = α.
n → +∞
Chapitre I
– 12 –
Compléments suites.LATEX
Lycée Alexandre Dumas
Mathématiques
ECE2
5.4 Méthode d’étude d’une suite implicite (u n )n∈N où u n est la solution d’une équation f (x) =
v n ou f n (x) = 0.
On se donne une fonction f définie sur un intervalle et une suite (v n )n∈N , ou une famille de fonctions
( f n )n∈N toutes définies sur le même intervalle I et dépendant d’un entier n (par exemple, f n (x) = e −nx ).
Méthode : suites implicites
t Pour montrer l’existence de u n solution de l’équation f (x) = v n ou f n (x) = 0 : théorème de la bijection.
t Pour montrer que u n Ê a, ou u n É b ou u n ∈ [a; b] : on compare f n (u n ) et f n (a) et/ou f n (b), puis on
utilise la monotonie de f n
t Pour montrer que u est croissante ou décroissante :
M1 On compare les images de u n et u n+1 par f , puis on utilise la monotonie de f .
M1 On utilise le signe de f n+1 (x) − f n (x) et le fait que f n (u n ) = 0 = f n+1 (u n+1 ) par définition des
termes de la suite.
t Pour calculer la limite de la suite : la plupart du temps, par encadrements.
Il faut toujours avoir à l’esprit la relation définissant la suite u : f (u n ) = v n ou f n (u n ) = 0.
Chapitre I
– 13 –
Compléments suites.LATEX
Lycée Alexandre Dumas
[ Mathématiques \
Feuille d’exercices sur le chapitre I
4. Montrer que la suite (u n v n ) est constante.
En déduire la limite commune des suites u et v.
Suites numériques, outils de comparaison
x3 = n
x +1
1. Montrer que pour tout entier n Ê 0, l’équation (E n ) possède une unique solution, notée x n , sur R.
Exercice 5 (Suite implicite « simple »). On note (E n ) l’équation (E n ) :
Exercice 1 (Équivalents). Déterminer, sous réserve d’existence, un équivalent
puis la limite de chacune des suites suivantes
1. u n = 4n 2 − 5n + 3
2. u n = −2n 2 + 7n + 3
3. u n = n − 35
n
2
+ 2n − 5
3n
4. u n =
−4n 2 + 3n − 8
5. u n = 1, 1n − n 92 + e −n
³ ´n p
6. u n = 3
4 − n
³ ´n p
7. u n = 3
4 × n
2
Donner la valeur de x 0 .
2. Quelle est la monotonie de la suite (x n )n∈N ?
3n 2 + 2n − 5n
ln(n) − 4n 2 + 3n − 8
p
p
9. u n = 2n + 1 + 2n
p
p
10. u n = 2n + 1 − 2n
´
³
2
11. u n = n ln 1 + n
8. u n =
3. Montrer que ∀n Ê 1,
n É xn É n + 1
4. En déduire la limite de la suite (x n )n∈N et donner un équivalent.
Exercice 6 (Suite implicite « dure »). On définit, pour tout entier n ∈ N, la fonction
f n par : f n (x) = x n + 9x 2 − 4, pour tout x ∈ R.
1. Montrer que l’équation f n (x) = 0 admet une et une seule solution strictement positive, qu’on note u n .
i
h
2 .
2. Calculer u 1 et u 2 , puis vérifier que, ∀n ∈ N∗ , u n ∈ 0; 3
3. Montrer que : ∀x ∈]0; 1[, f n+1 (x) < f n (x).
Que peut-on en déduire concernant la suite (u n )n∈N ?
Exercice 2.
1. Soit (u n )n∈N une suite vérifiant : ∀n ∈ N, n 2 É u n É n 2 + n + 1. Déterminer la
limite et un équivalent de u n .
1 É v É 1 . Déterminer la li2. Soit (v n )n∈N une suite vérifiant : ∀n ∈ N∗ , n +
n
n
1
mite de nv n , en déduire un équivalent de v n puis sa limite.
4. Montrer que (u n )n∈N est convergente, vers une limite qu’on notera ℓ.
5. Déterminer la limite de u nn et en déduire la valeur de ℓ.
u2
Exercice 3 (Point fixe). Soit u la suite définie par ∀n ∈ N, u n+1 = 2u n− 1 et u 0 = 3.
n
2
Exercice 7 (IAF). Soit la suite u définie par u 0 = 0 et u n+1 = 1
5 (3 + u n ). On pose
2
f : x 7→ 1
5 (3 + x ).
1. (a) Dresser le tableau de variation de f sur [0, 1] et montrer que [0, 1] est un
intervalle stable par f .
1. Montrer que ∀n Ê 0, u n existe et u n Ê 1 puis déterminer la monotonie de la
suite u.
2. Justifier la convergence de la suite u et expliciter sa limite.
Exercice 4 (Suites adjacentes). Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b. On
définit deux suites u et v par
2u n v n
u +v
u 0 = a, v 0 = b et ∀n Ê 0 u n+1 = u +
et v n+1 = n 2 n .
n vn
2.
1. Montrer que ∀n Ê 0, 0 < u n < v n puis donner la monotonie des suites u et v
v −u
v −u
2. Montrer que ∀n Ê 0, 0 É v n+1 − u n+1 É n 2 n puis 0 É v n − u n É 0 n 0 .
2
En déduire lim (v n − u n ).
n→+∞
(b) Déterminer l’unique point fixe r ∈ [0, 1] de f .
¯
¯
(c) Montrer que ∀x ∈ [0, 1], ¯ f ′ (x)¯ É 2
5.
(a) Montrer que ∀n Ê 0, u n ∈ [0, 1].
³ ´n
2
|u
|
|u
|
(b) Démontrer que ∀n Ê 0, |u n+1 − r | É 2
−
r
puis
−
r
É
n
n
5
5 .
(c) Expliciter un rang n 0 tel que ∀n Ê n 0 , |u n − r | É 10−10 .
(d) En déduire une valeur approchée à 10−10 près de r.
3. Déduire des questions précédentes que les deux suites sont convergentes.
Exercices chapitre I
ECE2
–1–
E01 - Compléments suites.TEX
dƌĂǀĂŝůĞƐƚŝǀĂůϮϬϭϰ
DĂƚŚĠŵĂƚŝƋƵĞƐ͕ŽƉƚŝŽŶĠĐŽŶŽŵŝƋƵĞ
^h:dŶΣϭ
dƌĂǀĂŝůĞƐƚŝǀĂůϮϬϭϰ
DĂƚŚĠŵĂƚŝƋƵĞƐ͕ŽƉƚŝŽŶĠĐŽŶŽŵŝƋƵĞ
^h:dŶΣϮ

Download Report