Sujet

PCSI 843
2014-2015
Lycée du Parc
Devoir surveillé 1
Consignes :
• Calculatrice interdite.
• Ne mélanger pas les exercices, une nouvelle copie pour chaque exercice.
• Numéroter chaque copie et mettre son nom sur chaque feuille.
• Encadrer les résultats.
• Les phrases d’explications courtes et claires avant tout calcul peut permettre de gagner des points.
• Les copies dont la propreté et la présentation laissent à désirer seront sanctionnées (Les ratures et
les plaques de blanc correcteur sont à bannir).
Exercice 1 :
1. Quel est le nombre le plus proche de 1 parmi
1020
1+1020
et 1 + 10−20 ?
2. Déterminer pour quelles valeurs de x, on a
|2x| − |2x + 2| + |x + 3| ≤ 3.
3. Discuter en fonction de a du nombres de solution(s) de

1
 2x + y − 3z =
x + 3y − 2z =
2
.

7x − 4y − a2 z = a − 4
Exercice 2 :
On pose s(1) = 1, s(2) = 3 + 5, s(3) = 7 + 9 + 11,...de sorte que s(n) corresponde à la somme des
n premiers nombres impairs non encore écrits.
1. Calculer s(i) pour i = 1, 2, 3 et 4.
n
X
2. Énoncer et démontrer la forme réduite de
k.
k=0
3. On note ℓ(k) le k-ème entier impair positif.
(a) Exprimer ℓ(k) en fonction de k.
(b) Exprimer de manière réduite
N
X
ℓ(k).
k=1
(c) En déduire s(n) pour n ∈ N∗ .
4. (Re-)Démontrer, en utilisant les résultats précédents, la forme réduite de
n
X
i3 .
k=1
Exercice 3 :
x3 + 2
. On étudiera précisément les asymptotes.
x2 + 2x + 1
Exercice 4 : [Différentes manières de calculer une moyenne]
Etudier et tracer la fonction h : x 7→
On suppose que a, b sont 2 réels fixés avec 0 < a < b.
On rappelle les moyennes usuelles :
Moyenne arithmétique de a et b : Ma (a, b) = a+b
2 .
√
Moyenne géométrique de a et b : Mg (a, b) = ab.
Moyenne harmonique de a et b : Mh (a, b) =
2ab
a+b .
1. Montrer que si 0 < x < y, on a
x<
2xy
x+y
√
< xy <
<y
x+y
2
2. Moyenne arithmético-harmonique :
On définit les suites (un ) et (vn ) par

u0 = a, v0 = b




2un vn
∀n ∈ N, un+1 =
un + vn


un + vn


vn+1 =
2
(a) Montrer que
∀n ∈ N,
a ≤ un < un+1 < vn+1 < vn ≤ b.
(b) Montrer les suites (un ) et (vn ) convergent.
(c) Montrer que les limites de (un ) et (vn ) sont égales, on notera Mah (a, b) cette limite.
(d) Déterminer Mah (a, b). (On pourra étudier la quantité un vn .)
3. Moyenne arithmético-géométrique :
On définit les suites (tn ) et (hn ) par

t0 = a, h0 = b



p
∀n ∈ N, tn+1 = tn hn

tn + hn


hn+1 =
2
En adaptant la méthode de la question 2., démontrer que les suites (tn ) et (hn ) convergent vers
une même limite que l’on notera Mag (ab). On ne cherchera pas à déterminer Mag (a, b).
4. Moyenne géométrico-harmonique :
On définit les suites (wn ) et (zn ) par

w0 = a,



∀n ∈ N,



(a) Montrer que
z0 = b
2wn zn
wn+1 =
w
√ n + zn
zn+1 = wn zn
∀n ∈ N,
tn zn = wn hn = ab.
(b) Montrer que les suites (wn ) et (zn ) convergent vers une même limite que l’on notera
Mgh (a, b).
5. Montrer que Mah (a, b)2 = Mag (a, b)Mgh (a, b).
6. Montrer que
a<
2ab
a+b
< Mgh (a, b) < Mah (a, b) < Mag (a, b) <
< b.
a+b
2
7. Montrer que
En déduire que Mag ( 1b , a1 ) =
∀k > 0,
1
Mgh (a,b) .
Mag (ka, kb) = kMag (a, b).

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