Exercices 6
Suites numériques
Étude théorique et pratique des suites à valeurs dans R ou C.
6
Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Aspects théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Césaro & Cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Théorème des suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Modes de définition d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Étude qualitatives de suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Suites récurrentes d’ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Suites de nombres complexes, suites de points du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
Suites définies implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5
Suites définies par une somme ou un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6
Suites d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Indications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2
2
3
3
4
4
5
6
6
7
7
8
8
9
10
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Laurent Kaczmarek
Les difficultés sont échelonnées de la manière suivante : aucune, ♪ , ♪♪ , ♪♪♪ et ♪♪♪♪. Certains énoncés
sont tirés des annales des concours (oral et écrit) ; leur provenance est le plus souvent précisée. Les
exercices notés ♪♪♪ et ♪♪♪♪ sont particulièrement délicats.
1. Aspects théoriques
1.1. Convergence
1 . [ Puissances ] ( ind )
Soit (u n ) une suite à valeurs strictement positives telle que la suite
¡p ¢
n
u n converge vers `.
a) Justifier que ` Ê 0.
b) On suppose que 0 É ` < 1. Prouver que (u n ) converge vers 0.
c) On suppose que ` > 1. Prouver que (u n ) diverge vers +∞.
d) Montrer à travers divers exemples que si ` = 1, on ne peut rien conclure en général sur (u n ).
2 . [ Accroissements de limite nulle ] ( ind )
Une suite (u n ) telle que ∀p ∈ N∗ , u n+p − u n −−−−−→ 0 est-elle nécessairement convergente ?
n→+∞
3 . [ Un classique ♪ ] ( ind )
Soit (u n ) une suite réelle telle que ∀(k, n) ∈ (N∗ )2 , 0 É u n É
1 k
+ . Montrer que u n −−−−−→ 0.
n→+∞
k n
p
2 ♪♪ ] ( ind )
¡p
¢n
On pose, pour tout n ∈ N∗ , u n = 2 − 1 .
4 . [ Irrationnalité de
a) Montrer qu’il existe deux suites d’entiers relatifs (a n )nÊ0 et (b n )nÊ0 telles que,
p
∀n Ê 0, u n = a n + b n 2
b) Montrer qu’une suite d’entiers relatifs est convergente si et seulement si elle est stationnaire.
p
c) En déduire que 2 est irrationnel.
1.2. Césaro & Cie
5 . [ Le lemme de l’escalier ♪ ] ( ind )
un
−−−−−→ `.
n n→+∞
p
−−−−−→ `. Montrer que n u n −−−−−→ `.
a) Soient (u n ) ∈ RN et ` ∈ R ∪ {±∞} tels que u n+1 − u n −−−−−→ `. Montrer que
n→+∞
¡ ¢N
u n+1
b) Soient (u n ) ∈ R∗+ et ` ∈ R ∪ {±∞} tels que
un
n→+∞
n→+∞
à !1/n
p
n
2n
n!
c) Étudier le comportement asymptotique des suites définies par a n =
et b n =
.
n
n
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Exercices 6 \ 2
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6 . [ Variation sur Césaro ♪♪ ] ( ind )
Soit (u n ) une suite réelle. On définit la suite (v n ) par :
vn =
u 1 + 2u 2 + · · · + nu n
n2
Montrer que si la suite (u n ) est convergente, alors la suite (v n ) est convergente.
7 . [ A Cesaro-like theorem ♪♪ ] ( ind )
On considère une suite réelle (u n ) de limite `. On définit alors la suite (v n ) par
à !
n n
1 X
uk
vn = n
2 k=0 k
Montrer que la suite (v n ) admet ` pour limite.
1.3. Suites extraites
8 . [ Grand classique des suites extraites ♪ ] ( ind )
Soit (u n ) ∈ RN telle que les suites (u 2n ), (u 2n+1 ) et (u 3n ) convergent. Prouver que (u n ) converge.
9 . [ Approximations rationnelles d’un irrationnel ♪♪ ] ( ind )
a) Montrer qu’une suite d’entiers converge si et seulement si elle est stationnaire.
b) Soit (q n ) une suite d’entiers naturels qui ne tend pas vers +∞. Montrer que l’on peut extraire de
(q n ) une sous-suite constante.
c) Soit
vn =
pn
qn
avec
∀ n ∈ N , p n ∈ Z, q n ∈ N ∗
une suite de rationnels qui converge vers x ∈ R \ Q. Montrer que (q n ) et (|p n |) tendent vers +∞.
1.4. Divergence
10 . [ La série harmonique ♪ ] ( ind )
Soient Ê 1 et Hn =
n 1
X
.
k=1 k
a) Montrer que (Hn ) est croissante. Qu’en déduit-on quant au comportement asymptotique de (Hn ) ?
1
b) Montrer que ∀n Ê 1, H2n − Hn Ê . Décrire le comportement asymptotique de (Hn ).
2
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Exercices 6 \ 3
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11 . [ Une généralisation ♪♪ ] ( ind )
Soit α ∈ R\πZ. On considère les suites définies par a n = sin(nα) et b n = cos(nα). Prouvez qu’elles divergent.
12 . [ Partie fractionnaire de la racine carrée ♪♪ ] ( ind )
Pour x ∈ R, on note {x} = x − bxc la partie fractionnaire de x. Montrer que la suite
pas.
¡©p ª¢
n ne converge
2. Suites monotones
2.1. Théorème des suites monotones
13 . [ Vers Stirling ♪ ] ( ind )
p à !
n 2n
.
Soit (u n )nÊ1 la suite définie par u n = n
n
4
a) Déterminer le sens de variation de (u n )nÊ1 .
r
n
b) Démontrer que ∀n Ê 1, u n É
.
2n + 1
c) Montrer que la suite (u n )nÊ1 converge vers un réel ` tel que
1
1
É`É p .
2
2
14 . [ Suites bornées convexes ou concaves ♪ ] ( ind )
On considère une suite (u n ) bornée telle que la suite (u n+1 − u n ) soit monotone. Montrer que la suite
(u n ) est convergente.
15 . [ Radicaux itérés ♪♪ ] ( ind )
Si (u n )nÊ1 est une suite réelle à termes positifs, on lui associe la suite (v n )nÊ1 définie par
r
vn =
u1 +
q
p
u2 + · · · + un
a) Montrer que la suite (v n )nÊ1 est croissante.
b) Prouver que si la suite (u n )nÊ1 est constante, alors (v n )nÊ1 est convergente. Déterminer sa limite.
c) Que peut-on dire de (v n )nÊ1 si (u n )nÊ1 est majorée ?
16 . [ Limites supérieure et inférieure d’une suite bornée ♪♪ ] ( ind )
On considère une suite réelle (u n ) bornée. On pose v n = sup u p et w n = inf u p .
pÊn
pÊn
a) Justifier que les suites (v n ) et (w n ) sont bien définies.
b) Déterminer le sens de variation des suites (v n ) et (w n ).
c) En déduire que (v n ) et (w n ) sont convergentes.
d) Montrer que (u n ) converge si et seulement si (v n ) et (w n ) convergent vers la même limite.
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Exercices 6 \ 4
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2.2. Suites adjacentes
17 . [ Un inusable du genre ♪ ] ( ind )
Soient p et q deux réels strictement positifs tels que p + q = 1 et p > q. Soient (u n ) et (v n ) deux suites de
réels telles que
½
u n+1 = pu n + q v n
∀n ∈ N,
v n+1 = pv n + qu n
a) Montrer que les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes.
b) Calculer la limite commune de (u n ) et (v n ).
18 . [ Séries de Riemann ♪ ] ( ind )
Soit p un entier tel que p Ê 2. Pour n ∈ N∗ , on pose
un = 1 +
1
1
+···+ p
p
2
n
et
v n = un +
1
n p−1
Montrer que (u n ) et (v n ) sont des suites adjacentes
19 . [ La constante d’Euler ♪♪ ] ( ind )
Pour tout n Ê 1, on pose
Sn =
n 1
X
,
k=1 k
γn = S n − ln(n),
µ
¶
1
δn = γn − ln 1 +
n
et
Montrer que les deux suites (γn ) et (δn ) sont adjacentes et que leur limite commune appartient à ]0, 1[.
On la note γ, constante d’Euler.
20 . [ Oldfashioned ♪♪ ] ( ind )
Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b, (u n ) et (v n ) les suites définies par
½
u0 = a
v0 = b
et
∀n Ê 0,
p
u
= un v n
n+1
v
n+1
=
un + v n
2
Prouver que les suites sont adjacentes. Leur limite commune s’appelle la moyenne arithméticogéométrique de a et b, on ne cherchera pas à la calculer !
21 . [ Le critère des séries alternées ♪♪ ] ( ind )
Soit (a n ) une suite de réels positifs décroissante de limite nulle. On pose, pour tout n ∈ N,
un =
n
X
(−1)k a k
k=0
a) Montrer que la suite (u n ) est convergente.
b) Soit ` = lim(u n ). Montrer que, quel que soit n ∈ N, |u n − `| É a n+1 .
c) Pour n ∈ N, on pose
Sn =
n (−1)k
X
k=0 k + 1
Montrer que (S n ) converge puis calcule sa limite.
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3. Modes de définition d’une suite
3.1. Étude qualitatives de suites récurrentes
22 . [ La suite babylonienne ♪ ] ( ind )
Soient c et a 0 deux réels strictement positifs. On définit (a n ) par ∀n ∈, a n+1 =
c
an
+
.
2
2a n
a) Montrer que la suite (a n ) est convergente.
b) Déterminer sa limite.
23 . [ Une primitive non explicite ♪ ] ( ind )
un
Z
Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 1 et ∀n ∈ N, u n+1 =
2
e −x dx.
0
a) Vérifier que la suite (u n ) est bien définie et qu’elle est monotone.
b) Montrer qu’elle converge.
c) Déterminer sa limite.
24 . [ Étude de quelques systèmes ♪ ] ( ind )
Étudier les suites récurrentes suivantes :
p
4 + 3u n ;
µ ¶
1
1
b) u n+1 = sin
+1;
4
un
π
c) u n+1 = p cos(u n ) ;
3 3
a) u n+1 =
d) u n+1 = exp (1 − u n ) ;
e) u n+1 =
2
1 + u n2
;
f ) u n+1 =
6
2 + u n2
k) u n+1 = arctan (u n ) ;
;
l) u n+1 = u n + sin (u n ) ;
1
g) u n+1 = (u n2 + 8) ;
6
h) u n+1 = exp (u n − 1) ;
m) u n+1 =
0;
i) u n+1 = exp (u n ) ;
j) u n+1 =
exp(−u n )
, u0 >
un
n) u n+1 = 1 − u n2 .
1
exp (u n ) ;
10
25 . [ Une suite déguisée ♪♪ ] ( ind )
Soit a > 0. Étudier la suite (u n ) définie par u 1 = ln(a) et ∀ n Ê 2, u n =
n−1
X
ln(a − u k ).
k=1
26 . [ Une suite définie par u n+1 = f n (u n ) ♪♪ ] ( ind )
On définit une suite (u n ) par u 1 = 1 et la relation de récurrence u n =
un
a) Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , 0 É p É 2.
n
¡
p ¢
b) En déduire que u n / n converge et donner sa limite.
¡
p ¢
c) Déterminer la limite de u n − n .
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p
n + u n−1 .
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27 . [ Un classique indémodable ♪♪ ] ( ind )
On considère la suite réelle (u n ) définie par
u0
= 5
u n+1 = u n +
1
un
a) Établir que, pour tout n ∈ N, u n2 Ê u 02 + 2n.
b) Montrer que ∀n ∈ N∗ ,
n 1
X
É ln(n).
k=1 k
c) En déduire que 45 < u 1000 < 45, 1.
3.2. Suites récurrentes d’ordre deux
28 . [ Variations sur les récurrences linéaires ♪ ] ( ind )
Dans chacun des cas suivants, calculer u n en fonction de n, u 0 et u 1 :
a) u n − 2 cos(α)u n−1 + u n−2 = 0 ;
b) u n+2 + 4u n+1 − 4u n = n.
29 . [ Fibonacci party ♪ ] ( ind )
Soit (φn ) la suite définie par φ0 = 0 , φ1 = 1 et ∀n Ê 0, φn+2 = φn+1 + φn .
a) Exprimer φn en fonction de n.
b) Montrer que ∀n Ê 0, φ2n+1 = φn φn+2 + (−1)n .
c) En déduire que la suite définie par S n =
n
X
(−1)k
converge vers une limite que l’on calculera.
k=1 φk φk+1
30 . [ Une équation fonctionnelle ♪♪♪ ] ( ind )
¡
¢
Déterminer les bijections du segment [0, 1] dans lui-même vérifiant ∀ x ∈ [0, 1], f 2x − f (x) = x.
3.3. Suites de nombres complexes, suites de points du plan
31 . [ Deux suites classiques ♪ ] ( ind )
a) Soit (z n ) vérifiant ∀n ∈ N, z n+1 = 2z n − z n . Expliciter z n en fonction de n.
b) Étudier la convergence d’une suite (z n ) définie par ∀n ∈ N, z n+1 =
z n + |z n |
.
2
32 . [ Récurrence couplée ♪ ] ( ind )
¡ ¢2
Soient (a n ) et (b n ) deux suites définies par (a 0 , b 0 ) ∈ R∗+ et
∀n ∈ N,
an
a n+1 = 2
a n + b n2
b n+1 =
bn
a n2
+ b n2
Exprimer a n et b n en fonction de n.
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3.4. Suites définies implicitement
33 . [ Étude d’une suite définie implicitement ♪ ] ( ind )
a) Soit n ∈ N∗ . Montrer que l’équation x −1−ln(x +n) = 0 admet une unique solution sur R∗+ . On note
x n cette solution.
b) Montrer que x n Ê 1 + ln(n) pour tout n ∈ N∗ . En déduire la limite de (x n ).
c) Montrer que (x n ) est strictement croissante.
d) Soit α > 0. Montrer que f n (n α ) −−−−−→ +∞. En déduire que x n É n α à partir d’un certain rang.
n→+∞
e) Montrer que, pour tout α > 0, n −α x n −−−−−→ 0.
n→+∞
34 . [ Centrale-PSI 2010 ♪ ] ( ind )
Soit n ∈ N∗ .
a) Prouver l’existence d’un unique a n ∈ [0, 1] tel que a nn = cos(a n ).
b) Établir que la suite (a n ) converge puis déterminer sa limite.
35 . [ Centrale-PSI 2008 ♪ ] ( ind )
Soit n ∈ N. On considère l’équation En : e x − x n = 0.
a) Montrer que, à partir d’un certain rang, En admet exactement deux racines positives 0 É u n É v n .
b) Montrer que (u n ) converge vers une limite que l’on précisera.
c) La suite (v n ) converge-t-elle ?
36 . [ Un classique ♪♪ ] ( ind )
On considère une suite (a n ) de réels positifs ou nuls, avec a 0 > 0 et a n > 0. Pour tout n ∈ N∗ , on pose
Pn (x) = −a 0 +
n
X
ak x k
k=1
a) Montrer que Pn admet une et une seule racine strictement positive. On notera u n cette racine.
b) Montrer que la suite (u n ) est convergente.
c) Dans le cas particulier où la suite (a n ) est définie par a n = n + 1, calculer la limite de (u n ).
3.5. Suites définies par une somme ou un produit
37 . [ Avec partie entière ] ( ind )
a) Soit x ∈ R. Etudier le comportement asymptotique de la suite de terme général u n =
b) Soit x ∈ R. Etudier le comportement en +∞ de la suite définie par u n =
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bnxc
.
n
n bkxc
X
.
2
k=1 n
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38 . [ Binôme story ♪ ] ( ind )
à !! 3
n n 1/n
Y
.
Étudier la convergence de la suite de terme général u n =
k=0 k
Ã
39 . [ Un inusable ♪ ] ( ind )
a) Prouver que ∀x Ê 0, x −
x3
É sin(x) É x.
6
b) En déduire la convergence et la limite de la suite définie par ∀n Ê 1, u n =
µ ¶
n k
X
k
sin 2 .
n
n
k=0
40 . [ X-PC 2012 ♪♪ ] ( ind )
On pose, pour n ∈ N∗ ,
un =
n
X
n
n
X
X
1
1
1
, vn =
, wn =
p
p
p
2 +k
2 + k2
2 + k3
n
n
n
k=1
k=1
k=1
Étudier le comportement asymptotique des suites (u n ), (v n ) et (w n ).
41 . [ Binôme, quand tu nous tiens ♪♪ ] ( ind )
à !
n
X
k n cos(k)
Montrer que
(−1)
−−−−−→ 0.
n→+∞
k
2k
k=0
3.6. Suites d’intégrales
42 . [ Interversion des limites ♪ ] ( ind )
Étudier le comportement des suites de termes généraux :
1
Z
a)
0
xn
dx ;
p
1+x
π/2
Z
b)
sinn (t )dt ;
0
Z
c)
0
e
lnn (t )dt ;
1
Z
d)
0
tn
e −t dt .
1+ tn
43 . [ Une récurrence double ♪ ] ( ind )
Z π
cos(nt )
On note, pour tout n ∈ N, In =
dt .
2
− cos(t )
0
a) Montrer que ∀n ∈ N, In+2 = 4In+1 − In .
Z π
(2 − cos(t ))m
b) Pour m ∈ {1, 2}, calculer
dt et en déduire une expression de In en fonction de n.
2 − cos(t )
0
44 . [ Une suite d’intégrales ♪♪ ] ( ind )
Z 1
Prouver que la suite définie par In =
0
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1
dt converge et déterminer sa limite.
1+ t +···+ tn
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4. Indications
1 . [ Puissances ]
p
Simple passage à la limite dans les inégalités au a). Au b) et c), remarquer que u n = v nn avec v n = n u n ,
il ne s’agit pas de formes indéterminées. Au d), on a une forme indéterminée. On pourra, par exemple,
considérer les suites de la forme u n = (1 + k/n)n .
2 . [ Accroissements de limite nulle ]
Non, une telle suite peut même diverger vers +∞. Trouver un cex sous la forme de d’une puissance de
n.
3 . [ Un classique ♪ ]
En jouant sur le paramètre k, trouver une suite (εn ) telle que u n É εn pour tout n ∈ N et vérifiant
εn −−−−−→ 0.
n→+∞
4 . [ Irrationnalité de
p
2 ♪♪ ]
Appliquer la formule du binôme et distinguer les indices de sommation selon leur parité (ou bien raisonner par récurrence). Pour le b), considérer u n+1 − u n en revenant
à la définition epsilonesque de la
p
convergence. Pour le c), raisonner par l’absurde en écrivant 2 = p/q, en remarquant que la suite de
terme général qu n tend vers 0 et en se souvenant du b).
5 . [ Le lemme de l’escalier ♪ ]
Pour le a), appliquer le lemme de Césaro à u n+1 − u n . Pour le c), considérer ln(u n ). On trouve que
a n −−−−−→ 4 et b n −−−−−→ 1/e.
n→+∞
n→+∞
6 . [ Variation sur Césaro ♪♪ ]
Considérer
wn = 2
u 1 + 2u 2 + · · · + nu n
n(n + 1)
et suivre la même méthode que la preuve du théorème de Césaro.
7 . [ A Cesaro-like theorem ♪♪ ]
Inspirez-vous de la preuve du théorème de Césaro.
8 . [ Grand classique des suites extraites ♪ ]
Prouver que les deux premières suites sont convergentes de même limite en trouvant pour chacune
d’elles une suite extraite qui est aussi extraite de la troisième.
9 . [ Approximations rationnelles d’un irrationnel ♪♪ ]
Raisonner par l’absurde au c), en supposant que (q n ) ne diverge pas vers +∞. Même remarque pour
(|p n |).
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10 . [ La série harmonique ♪ ]
La suite (Hn ) étant croissante, elle converge ou diverge vers +∞. L’idée est de prouver par l’absurde
qu’elle diverge vers +∞.
11 . [ Une généralisation ♪♪ ]
Exprimer a n+1 et b n+1 en fonction de a n et b n , puis montrez que si l’une des deux suites converge, alors
l’autre aussi.
12 . [ Partie fractionnaire de la racine carrée ♪♪ ]
¡©p ª¢
Trouver deux suites extraites de
n convergeant vers des limites différentes.
13 . [ Vers Stirling ♪ ]
Pour des raisons évidentes de simplification, il est adapté de former u n+1 /u n au a). Procéder par récurrence au b) en utilisant la simplification du a) pour l’hérédité. Pour le c), remarquer que u 1 = 1/2.
14 . [ Suites bornées convexes ou concaves ♪ ]
Montrer que (u n+1 − u n ) converge. Et discuter sur le signe de sa limite.
15 . [ Radicaux itérés ♪♪ ]
p
Au b), on note a n = v n ; vérifier que a n+1 = a + a n en notant a la valeur de u n : on est ramené à l’étude
d’une suite récurrente. Au c), noter a un majorant de (u n ) et vérifier que (v n ) est majorée par (a n ).
Utiliser le fait qu’une suite convergente est majorée.
16 . [ Limites supérieure et inférieure d’une suite bornée ♪♪ ]
Au b), établir que (v n ) est décroissante et (w n ) est croissante. Remarque que (v n − w n ) est décroissante
au d).
17 . [ Un inusable du genre ♪ ]
Utiliser u n + v n et u n − v n .
18 . [ Séries de Riemann ♪ ]
La suite (u n ) est clairement croissante. Un calcul élémentaire aboutit à
v n+1 − v n =
2n p−1 + n p − (1 + n)p
(1 + n)p n p−1
Montrer que (v n ) décroît en utilisant la formule du biniôme par exemple.
19 . [ La constante d’Euler ♪♪ ]
Utiliser la croissance de l’intégrale pour établir que
∀n ∈ N∗ ,
LLG \ PCSI2
1
1
É ln(n + 1) − ln(n) É
n +1
n
Exercices 6 \ 11
PCSI2 \ 2014-2015
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20 . [ Oldfashioned ♪♪ ]
On partira des inégalités suivantes : si 0 < x < y, 0 < x <
p
xy <
x+y
< y.
2
21 . [ Le critère des séries alternées ♪♪ ]
Au a), Vérifier que les suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont adjacentes. Au c), partir de
1
=
k +1
1
Z
t k dt
0
22 . [ La suite babylonienne ♪ ]
La suite est minorée par c et décroissante.
23 . [ Une primitive non explicite ♪ ]
La suite converge vars 0.
24 . [ Étude de quelques systèmes ♪ ]
Commencez par une étude graphique.
25 . [ Une suite déguisée ♪♪ ]
Exprimer u n+1 en fonction de u n .
26 . [ Une suite définie par u n+1 = f n (u n ) ♪♪ ]
au a), remarquer que
un
p =
n
r
u n−1
É
1+
n
s
u n−1
1+ p
n −1
p
puis raisonner par récurrence. Au b), encadrer u n grâce au a). On trouve que u n / n −−−−−→ 1. Au c),
n→+∞
remarquer que
p
p
p
u n−1
u n − n = n + u n−1 − n = p
p
n + u n−1 + n
p
En déduire que u n − n −−−−−→ 1/2 grâce au b).
n→+∞
27 . [ Un classique indémodable ♪♪ ]
2
Au a), remarquer que 2 < u k+1
− u k2 pour tout k ∈ N. Au b), utiliser la croissance de l’intégrale. Au c),
remarquer que
1
2
∀k ∈ N, 2 < u k+1
− u k2 É 2 + 2
u 0 + 2k
et déduire du b) un encadrement de u 1000 .
28 . [ Variations sur les récurrences linéaires ♪ ]
Au b), rechercher une suite (v n ) vérifiant la même relation de récurrence et de la forme v n = an + b.
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Exercices 6 \ 12
PCSI2 \ 2014-2015
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29 . [ Fibonacci party ♪ ]
Raisonner par exemple par récurrence au b). Il y du télescopage dans l’air au c).
30 . [ Une équation fonctionnelle ♪♪♪ ]
Soit x ∈ R. Considérer la suite définie par u 0 = x et la relation de récurrence u n+1 = f (u n ).
31 . [ Deux suites classiques ♪ ]
Étudier parties réelles et imaginaires de (z n ) au a). Au b), la suite définie par la partie imaginaire de z n
est géométrique. La suite (Re(z n )) est bornée et croissante.
32 . [ Récurrence couplée ♪ ]
Considérer la suite définie par z n = a n + i b n .
33 . [ Étude d’une suite définie implicitement ♪ ]
Au e), utiliser la question d) avec α/2 au lieu de α.
34 . [ Centrale-PSI 2010 ♪ ]
La suite (a n ) est croissante et a n −−−−−→ 1.
n→+∞
35 . [ Centrale-PSI 2008 ♪ ]
Par bijectivité du logarithme de R∗+ sur R, l’équation (En ) est équivalente sur R∗+ à x − n · ln(x) = 0. La
suite (u n ) converge vers 1 et (v n ) diverge vers +∞.
36 . [ Un classique ♪♪ ]
Étudier les variations de Pn au a). Au c), simplifier Pn en utilisant la formule de la série géométrique.
37 . [ Avec partie entière ]
Écrire la définition de la partie entière à l’aide des inégalités. La suite u n tend vers x. La suite (u n )
converge vers x/2.
38 . [ Binôme story ♪ ]
à !
n
On a, pour 0 É k É n, 1 É
É 2n .
k
39 . [ Un inusable ♪ ]
Encadrer u n et en déduire que la suite converge vers 1/3.
40 . [ X-PC 2012 ♪♪ ]
Le théorème d’encadrement permet de conclure pour u n ; reconnaître en v n une somme de Riemann ;
encadrer w n finement par la méthode des rectangles.
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41 . [ Binôme, quand tu nous tiens ♪♪ ]
Passer sur C.
42 . [ Interversion des limites ♪ ]
Le a) se traite directement par encadrement. Les b) et c) nécessitent un traitement plus subtil.
43 . [ Une récurrence double ♪ ]
Commencer par relire votre formulaire de trigonométrie. On utilisera les formules d’addition pour les
décompositions suivantes,
(n + 2)t = (n + 1)t + t et nt = (n + 1)t − t
Revoir les suites récurrentes linéaires pour le b).
44 . [ Une suite d’intégrales ♪♪ ]
La formule de la série géométrique et une petite analyse permettent de conjecturer que :
1
Z
In −−−−−→
n→+∞
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0
(1 − t )dt
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