Préparation du DAEU par le CNED - Mathématiques Faculté Jean Monet de Sceaux Regroupement du vendredi 17 janvier 2014 Exercice 1 : Une revue spécialisée est diff,rsée uniquement par abonnement. En 2010, il y avait 40 mille abonnés à cette re\ue. Depuis cette date, on a remarqué que chaque année 85 %o des abonnés renouvellent leur abonnement et 12 mille nouvelles personnes souscrivent un abonnement. On note anle nombre d'adhérents pour l'année 2010+n; on a donc as = 40 et ar+1= 0,85 an +12 pour tout entier naffieln. 1. Calculer a1 at a2. 2. Soit la suite (un) définie paî un= a, > 0. a) Montrer que la suite (2,) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b) Démontrer que, pour tout entier naturel fr, an = 80 - 40 X 0,85'. c) Selon ce modèle, le directeur de cette revue peut-il envisager de la diffuser à 100 mille exemplaires 80 pour tout zz ? Exercice 2 z D'après sujet Polynésie 2006 Une enquête est réalisée auprès des clients d'une compagnie aérienne. Elle révèle que 40oÂ des clients utilisent la compagnie pour des raisons professionnelles, que 35% des clients utilisent la compagnie pour des raisons touristiques et le reste pour diverses autres raisons. Sur l'ensemble de la clientèle, 40% choisit de voyager en première classe et le reste en seconde classe. En fait, 60% des clients pour raisons professionnelles voyagent en première classe, alors que seulement 200lo des clients pour raisons touristiques voyagent en première classe. On choisit au hasard un client de cette compagnie. On suppose que chaque client à la même probabilité d'être choisi. On note : - A l'évènement << le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles » - 7l'évènement << le client interrogé voyage pour des raisons touristiques » - D l'évènement << le client interrogé voyage pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques >> - V l'évènement << le client interrogé voyage en première classe ». Si E et F sont deux évènements, on note p(E) la probabilité que E soit réalisé, et pp (E) la probabilité que E soit réalisé sachant que -F est réalisé. D'autre part, on notera 1. Déterminer : p(A), p(T), p(V), pa(V) et pr 2. 7 l'érèn.-ent contraire de E. (n. a) Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons professionnelles. b) Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons touristiques. c) En déduire 1a probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques. 3. Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles sachant qu'il a choisi la première classe. : 4. Soit un entier n supérieur ou égal à 2. On choisit n clients de cette compagnie aérienne d'une façon indépendante. On notepn la probabilité qu'au moins un de ces clients voyage en seconde classe. a) Prouver e.ue: pn= | 0,4n. b) Déterminer le plus petit entier n pour lequel p, > 0,9999 . - Préparation du DAEU par le CNED - Mathématiques Faculté Jean Monet de Sceaux Exercice 3 : Partie A : Lecture graphique définie et dérivable sur ,:'t dans le plan On donne ci-dessous, la courbe €y' représentative d'une fonction f muni d'un repère orthonormé. La tangente à 1a courbe E7 au point A d'abscisse l'axe des abscisses. -l est parallèle à 1 - .1!' / )' .''' I I ) tr. .\ t ,i I I û i I I Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiëe. def ' (-l). 2. Déterminer le signe def ' $). 1. Donner la valeur 3. Déterminer une valeur approchée à l'unité près de l'aire du domaine hachuré. Partie B : Étude d'une fonction 0'h. La fonction/est définie pour tout réelx parf(x) : (x + 6)eOn note/ ' ia fonction dérivée et on admet que pour tout réel x, on af 1. Étudier le sens de variation de la fonction 2. 3. ' (r) : (- O,2x - 0,21e- 0'L' . /sur Iî. Montrer que-f" (r) : (0,04x - 0,16)e-o'', por',ttoutréelx. b) Étudier la convexité de 1a fonction/. c) Montrer que la courbe représentative de/admet un point d'inflexion et déterminer ses coordonnées. a) Démontr., qrr. la fonction F définie pour tout réelx par F(x) = (-5x - 55;.-o'z' est une primitive de a) /sur l:Ï ' b) Calculer f intégrale t : I lpla*; J-) on donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au centième près. Préparation du DAEU par le CNED - Mathématiques Faculté Jean Monet de Sceaux Partie C : Application économique La fonction de demande d'un produit est modélisée sur f intervalle [1;8] par la fonction/étudiée dans la partie B. Le nombre/(x) représente la quantité demandée, exprimée en centaines de milliers d'objets, lorsque le prix unitaire est égal à x euros. millier près, lorsque le prix unitaire est fixé à 4 euros. 2. En utilisant les résultats de la partie B, déterminer la demande moyenne arrondie au millier d'objets près, lorsque le prix unitaire varie entre 3 et 5 euros. 3. L'élasticité E(x) de la demande par rapport au prix est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1 % du prix. On admet qu'une bonne approximation de E(x) est donnée par : 1. Calculer le nombre d'objets demandés, au E@):ffi*x Calculer E(4). Interpréter le résultat. sur [1;8] Préparation du DAEU par le cNED - Mathématiques Faculté Jean Monet de Sceaux Exercice 4 : Le tableau ci-dessous, donne l'évolution du montant de la dette publique de la France en milliards d'euros pour les années 2000 à 2010 7000 ,4nnée RanE -r; I'lontant 200 n 2003 ?004 20û5 4 7 427,3 ,r.,, Partie A 2002 1 1 9!7,{) 10t)4,9 L|47,6 107 9,5 1 2t}05 Ztt$7 20i)8 6 7 ô 1? I 1.6 1318,6 152,2 lûo9 2û 10 tû L492,7 1 59 1,2 : 1. Représenter le nuage de points Mi (xi ; y) associé à la série statistique dans le repère ci-dessous. tr6üü 150È t4ût uDir llDr 1tütj liltlil lj I 2. I I { :, 6 I s S t{} tl .ï: a; À I'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. (Les coefficients seront arrondis au dixième) b) Tracer cette droite dans le repère précédent. 3. Selon cet ajustement, quel serait le montant de la dette publique de la France en 2011 ? Compte tenu de l'évolution de la dette les années précédentes, cette estimation est-elle raisonnable Partie B ? : Dans cette partie, les pourcentages seront arrondis, si nécessaire, à 0,1,% près. 1. a) Calculer le pourcentage d'évolution du montant la dette publique de la France entre 2008 et 2010. b) Déterminer le taux annuel moyen d'évolution du montant de la dette publique de la France de 2008 à2010. c) En supposant que ce pourcentage annuel d'augmentation est valable pour I'année 2011, donner une estimation du montant de la dette publique de la France en 2011. 2. Selon une note de I'INSEE, à la fin du deuxième trimestre 201I, la dette publique de la France a augmenté de 6,4 Yopar rapport à 2010. Calculer le pourcentage d'évolution au deuxième semestre 2011 pour qu'en un an, la dette publique de la France n'augmente que de 9,9 Yo.