Université de Rennes 1 Probabilités et statistiques L1 SVE année 2014-2015 Correction de la feuille d’exercices # 2 Exercice 1 Sur l’indépendance Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On en tire une hasard et on considère les évènements : A = “le numéro tiré est pair”, B = “le numéro tiré est un multiple de 3”. 1. Les évènements A et B sont-ils indépendants ? 2. Reprendre la question avec une urne contenant 13 boules. Correction : On modélise l’expérience par l’espace de probabilité Ω = {1, . . . , 12}, muni de la tribu des parties F = P(Ω) et de la mesure uniforme P. On a alors P(A) = |{2, 4, 6, 8, 10, 12}| 6 1 = = , |Ω| 12 2 P(B) = |{3, 6, 9, 12}| 4 1 = = . |Ω| 12 3 Par ailleurs A ∩ B = {6, 12} de sorte que P(A ∩ B) = 2/12 = 1/6 et l’on a bien P(A ∩ B) = P(A)P(B), et les événements sont bien indépendants. Si l’on fait le calcul avec Ω = {1, . . . , 13}, on constate que les événements ne sont plus indépendants. Exercice 2 Union, intersection, indépendance Soient X et Y deux individus dont les durées de vie sont indépendantes et sont telles que P(X vive encore 9 ans) = 2/5, P(Y vive encore 9 ans) = 3/5. Calculer les probabilités que : 1. X et Y vivent encore 9 ans ; 2. l’un des 2 au moins vive encore 9 ans ; 3. X seulement vive encore 9 ans ; 4. Y seulement vive encore 9 ans ; 5. X vive encore 9 ans sachant que l’un des 2 au moins vivra encore 9 ans. Correction : On définit A := {X vit encore neuf ans } et B := {Y vit encore neuf ans }. Par hypothèse, A et B sont indépendants. Alors P(A ∩ B) = P(A)P(B) = 2 3 6 × = , 5 5 25 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 2 3 6 19 + − = , 5 5 25 25 2 2 4 3 3 9 × = , P(Ac ∩ B) = P(Ac )P(B) = × = , 5 5 25 5 5 25 P(A ∩ (A ∪ B)) P(A) 10 P(A|A ∪ B) = = = . P(A ∪ B) P(A ∪ B) 19 P(A ∩ B c ) = P(A)P(B c ) = Exercice 3 Inversion de conditionnement Une urne contient b boules blanches et n boules noires. Quand une boule est tirée, on la remet dans l’urne, avec ` boules de la même couleur. On effectue ainsi deux tirages au hasard. Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit noire sachant que la seconde est blanche ? Correction : On note (X1 , X2 ) les résultats des deux tirages, n pour "noire" et b pour "blanche". On a P(X1 = n | X2 = b) = = P(X1 = n ∩ X2 = b) P(X2 = b) P(X2 = b | X1 = n)P(X1 = n) P(X2 = b | X1 = b)P(X1 = b) + P(X2 = b | X1 = n)P(X1 = n) P(X1 = n | X2 = b) = b n n+b+l n+b b+l b n b n+b+l n+b + n+b+l n+b = n . (b + l) + n Exercice 4 Formule de Bayes Le quart d’une population est vacciné contre le choléra. Au cours d’une épidémie, on constate qu’il y a parmi les malades un vacciné pour 4 non-vaccinés, et qu’il y a un malade sur 12 parmi les vaccinés. Quelle est la probabilité qu’un non-vacciné tombe malade ? Correction : On note V pour vacciné, N V pour non vacciné, M pour malade, S pour sain. D’après les hypothèses, 1 1 4 1 P(V ) = , P(V | M ) = , P(N V | M ) = , P(M | V ) = . 4 5 5 12 On a P(N V ∩ M ) P(N V | M )P(M ) 16 P(M | N V ) = = = P(M ). P(N V ) 1 − P(V ) 15 Or P(M | V ) = P(V ∩ M ) P(V ∩ M ) 1 = = P(V ) 1/4 12 P(V | M ) = P(V ∩ M ) = 1/5 P(M ) Finalement P(M | N V ) = donc P(V ∩ M ) = 1/48, donc P(M ) = 5 48 16 5 1 = . 15 48 9 Exercice 5 Formule de Bayes, le retour Le gérant d’un magasin d’informatique a reçu un lot de boîtes de CD-ROM. 5% des boîtes sont abîmées. Le gérant estime que 60% des boîtes abîmées contiennent au moins un CD-ROM défectueux et que 98% des boîtes non abîmées ne contiennent aucun CD-ROM défectueux. Un client achète une boîte du lot. On désigne par A l’évènement : “la boîte est abîmée” et par D l’évènement “la boîte achetée contient au moins un disque défectueux”. 1. Donner les probabilité P(A), P(Ac ), P(D|A), P(D|Ac ), P(Dc |A) et P(Dc |Ac ). 2. Le client constate qu’un des CD-ROM acheté est défectueux. Quelle est a la probabilité pour qu’il ait acheté une boîte abîmée ? Correction : D’après l’énoncé, on a P(A) = 5 , 100 , P(D|A) = 60 , 100 P(Dc |Ac ) = dont on déduit 95 40 , P(Dc |A) = , 100 100 On cherche alors P(A|D), d’après la formule de Bayes P(Ac ) = P(A|D) = P(D|A)P(A) = P(D|A)P(A) + P(D|Ac )P(Ac ) P(D|Ac ) = 60 100 × 60 100 5 100 × + 98 , 100 2 . 100 5 100 2 100 × 95 100 ≈ 0.61. Exercice 6 Dépistage Vous êtes directeur de cabinet du ministre de la santé. Une maladie est présente dans la population, dans la proportion d’une personne malade sur 10000. Un responsable d’un grand laboratoire pharmaceutique vient vous vanter son nouveau test de dépistage : si une personne est malade, le test est positif à 99%. Si une personne n’est pas malade, le test est positif à 0, 1%. Autorisez-vous la commercialisation de ce test ? Correction : On note M pour malade et ⊕ pour testé positif. D’après l’énoncé, on a P(M ) = 1 , 10000 , P(⊕|M ) = 99 , 100 P(⊕|M c ) = 1 . 1000 Pour évaluer la qualité du vaccin, on peut estimer la probabilité des faux positifs qui pourraient être couteux pour la collectivité, cette probabilité est P(M c |⊕). D’après la formule de Bayes : P(M |⊕) = P(⊕|M )P(M ) = P(⊕|M )P(M ) + P(⊕|M c )P(M c ) On a donc P(M c |⊕) ≈ 91%, ce qui est très/trop élevé. 99 100 × 99 1 100 × 10000 1 1 9999 10000 + 1000 × 10000 ≈ 9 . 100