FEUILLE
4
BCPST 2 - Lycée F1
Espaces probabilisés
Exercice 4: [Indications] [Correction] On procède à trois jets consécutifs d’un
dé parfait.
1. Construire un univers Ω qui décrit cette expérience.
2. On considère les deux évènements suivants :
A : " la somme des points amenés par les deux premiers jets est impaire " ;
B : " la somme des points amenés par les deux derniers jets est impaire " ;
C : "Le nombre 1 apparait au moins deux fois. "
¯ A ∩ B ∩ C.
a) Décrire précidément les événements : A ∩ B, A ∪ B, A ∩ B,
b) Donner un espace probabilisé minimal (triplet (Ω, T , P )) qui permet de
calculer les probabilités de ces différents événements, ainsi que les probabilités de A, B, C.
c) Calculer toutes ces probabilités.
Univers et tribu
Exercice 1: [Indications] [Correction] – Raisonner – Modéliser –
Déterminer un espace probabilisé adapté à chacune des expériences aléatoires suivantes. On se demandera à chaque fois si les événements élémentaires sont équiprobables.
1. On lance un dé cubique. On s’intéresse au numéro affiché
a) Si le dé est équilibré.
b) Si le dé n’est pas équilibré.
2. Un groupe de n personnes s’alignent en une rangée. On s’intéresse à l’ordre
dans lequel sont placées les personnes.
3. Dans un lycée, on propose trois sports aux élèves : le basket, le football et le
volley. On s’intéresse aux sports fait par les garçons et les filles.
4. Un sac contient 5 jetons numérotés de 1 à 5 et deux jetons portant le numéro
6. On extrait au hasard un jeton de l’urne. On s’intéresse au numéro obtenu.
a) Les événements élémentaires ne sont pas forcément équiprobables.
b) Les événements élémentaires sont équiprobables.
5. Une urne contient 15 boules dont 8 blanches, 3 rouges et 4 vertes. On tire au
hasard une poignée de 4 boules de l’urne.
a) On s’intéresse aux couleurs obtenues.
b) On s’intéresse aux nombre de boules de chaque couleur.
Exercice 5:
[Indications] [Correction] – Chercher – Soient A, B deux événements d’un espace probabilisé (Ω, T , P )
Montrer que
P (A) − P (B) 6 P (A ∩ B) 6 min(P (A), P (B))
Exercice 6:
[Indications] [Correction] – Chercher – Soient A, B deux événements d’un espace probabilisé (Ω, T , P ) tels que
P (A) = P (B) = 0, 5
Exercice 2: [Indications] [Correction] – Raisonner –
1. Soit Ω = {1, 2, 3}. On pose A = {1, 2} et B = {3}. Montrer que l’ensemble
T = {∅, Ω, A, B} est une tribu sur Ω (différente de T .)
2. Soit Ω = {1, 2, 3, 4}. On pose A = {1, 2} et B = {3}. Construire la plus petite
tribu T sur Ω contenant A et B.
Montrer que P (A ∩ B) = P (A ∩ B).
Exercice 7:
[Indications] [Correction] – Chercher – Soient A, B, C trois événements d’un espace probabilisé (Ω, T , P ) tels que A ∪ B ∪ C = Ω; P (B) =
2P (A); P (C) = 3P (A).
Montrer que P (A) > 16 .
Espaces probabilisés quelconques
Espaces probabilisés finis
Exercice 3: [Indications] [Correction]
Soient A et B deux événements d’un espace probabilisé (Ω, T , P ) tels que
P (A) = 0, 3
P (B) = 0, 2
Exercice 8: [Indications] [Correction] – Chercher –
On considère un jeu de fléchettes dont la cible comportes 3 zones numérotées de 1
à 3. On lance une fléchette sur la cible. On note
P (A ∩ B) = 0, 1
Calculer la probabilité pour que ni A ni B se produisent.
Ak : "La fléchette atteint la zone k"
1
∀k = 1, 2, 3
— Feuille 4: Espaces probabilisés —
et
A4 : "la fléchette sort de la cible."
2.
k=0
On note pk la probabilité de l’événement Ak .
Exercice 13: [Indications] [Correction] – Calculer –
Soit p la probabilité définie sur (N∗ , P(N∗ )) par
Pour k ∈ {2, 3, 4} la probabilité pk d’atteindre la zone k est deux fois plus importante que celle d’atteindre la zone k − 1.
Déterminer l’espace probabilisé associé à cette expérience.
p ({n}) = α3−n .
1.
2.
3.
4.
Exercice 9:
[Indications] [Correction] – Calculer – Soient n ∈ N∗ et Ω =
{1, . . . , n}. On considère l’application p : Ω −→ R définie par
p=
n
X
pk δk
k=1
où
n−k
∀k = 2, . . . , n
n−1
tel que p soit une loi de probabilité sur l’espace probabilisable
p=
k=−n
1.
2.
λn
n!
Montrer qu’il s’agit bien d’une probabilité sur (N, P(N)).
Soit A l’ensemble des nombres pairs. Calculer p(A). (on exprimera le résultat
en fonction de λ).
Soit N un entier, Montrer que
Z λ
tN
p ({0, 1, . . . , N }) = 1 −
e−t
dt.
N!
0
P ({n}) = e−λ
1.
2.
Exercice 10:
[Indications] [Correction] – Calculer – Soient n ∈ N∗ et Ω =
{−n, . . . , n}. On considère l’application p : Ω −→ R définie par
n
X
Déterminer α tel qu’il s’agisse bien d’une probabilité sur (N∗ , P(N∗ )).
Calculer p({n > 2}).
Calculer la probabilité de l’ensemble des multiples de 2.
Calculer la probabilité de l’ensemble des nombres n dont le reste est 3 si on
le divise par 4.
Exercice 14:
[Indications] [Correction] – Calculer – Soit λ > 0. On définit
une probabilité p sur (N, P(N)) par
pk = p1
Existe-t-il p0
(Ω, P(Ω)) ?
soit une loi de probabilité ?
+∞
P 1+(−1)k α
δk .
Même question pour p =
k!
3.
(n + 1) − |k|
δk
(n + 1)2
Montrer que p est une probabilité sur l’espace probabilisable (Ω, P(Ω)).
Calculer p({−n, . . . , n − 1}).
Exercice 15:
[Indications] [Correction] – Calculer – Chercher – Soit Ω =
{wk | k ∈ N∗ }. On considère la suite (pn )n∈N définie par :
Exercice 11: [Indications] [Correction] – Chercher –
Une urne contient 6 boules numérotée de 1 à 6. On tire trois boules de suite avec
remise. Quelle est la probabilité :
1. de pouvoir former une suite croissante avec les boules obtenues ?
2. de pouvoir former une suite strictement croissante avec les boules obtenues ?
3. d’obtenir précisément une suite strictement croissante ?
4. d’obtenir précisément une suite croissante ?
4
pn
∀n ∈ N∗
n
Calculer p1 de manière à ce que l’application p : P(Ω) → R définie par
pn+1 =
p=
+∞
X
pk δwk
k=1
soit une loi de probabilité sur P(Ω).
Exercice 16: [Indications] [Correction] – Calculer – Soit a ∈ R. On considère
l’application p : N −→ R définie par
Espaces probabilisés discrets
p=
Exercice 12: [Indications] [Correction] – Calculer –
1. Existe-t-il une constante α telle que
+∞
X
(ak + 1)e−k δk
k=0
Supposons que p soit une loi de probabilités.
1. Calculer p({0}) et en déduire p({1}). Quelle est l’unique valeur de a possible ?
2. Avec la valeur de a trouvée en 1), déterminer p({2}). Qu’en déduit-on ?
+∞
X
(−1)k
p=
α
δk
k!
k=2
2
— Feuille 4: Espaces probabilisés —
3.
Indépendance et probabilités conditionnelles
4.
Exercice 17: [Indications] [Correction] – Raisonner – Chercher – Montrer que
si A et B sont des événements indépendants, alors Ac et B ainsi que Ac et B c sont
indépendants.
Quelques exercices de plus
Exercice 18: [Indications] [Correction] – Chercher – Soient A et B deux événements indépendants et incompatibles. Calculer min(p(A), p(B)).
Exercice 22: [Indications] [Correction] – Modéliser – Chercher – Joe élève des
alligators pour une fabrique de bracelets pour montres.
Il dispose de trois couveuses pour faire éclore les oeufs :
- La première est réglée sur une température de 33 degrés et donnera nécessairement des alligators mâles.
- La deuxième, à 31 degrés, donnera des mâles avec une probabilité de 0,5 pour
chaque oeuf
- et la troisième, à 29 degré, ne donnera que des femelles.
Il a placé 2 oeufs dans la première, 3 dans la deuxième et 1 dans la troisième.
Exercice 19: [Indications] [Correction] – Chercher – Raisonner – Calculer –
HP Soient p ∈]0; 1[, (An )n∈N une suite d’événements et (Bn )n∈N un système complet d’événements tels que, pour tout i ∈ N et tout k ∈ {0, . . . , i},
i 1
p(Bi ) = pi (1 − p),
pBi (Ak ) =
k 2i .
Montrer que, pour tout n ∈ N et tout k ∈ {0, . . . , n},
1 n−k
n
pAk (Bn ) =
p
(2 − p)k+1 .
k 2n+1
Après éclosion des oeufs, il regroupe dans le même vivarium les 6 nouveaux alligators.
1. On note Fk l’événement : il y a k alligators femelles dans le vivarium.
a) Quel est l’ensemble des k possibles ?
b) Déterminer la probabilité de Fk pour tout k possible.
2. Joe est maladroit, deux alligators le mordent à la main. Calculer la probabilité
pour que ce soient des femelles.
Exercice 20: [Indications] [Correction] – Chercher – Raisonner – Calculer –
Soient λ > 0, p ∈]0; 1[, (An )n∈N une suite d’événements et (Bn )n∈N un système
complet d’événements tels que, pour tout n ∈ N et tout k ∈ {0, . . . , n},
n
n k
−λ λ
p(Bn ) = e
, pBn (Ak ) =
p (1 − p)n−k .
n!
k
Exercice 23: [Indications] [Correction] – Modéliser – Chercher – Calculer –
Cendrillon veut aller au bal du prince. Totalement fan de Boney M, elle s’est
fabriqué une magnifique robe lamée or style disco, mais il lui manque quelques accessoires. Sa maraine, toujours prête à l’aider, lui ramène sa veille malle contenant
pèle mêle a accessoires divers et b broches à fleurs pas du tout adaptées au style
disco. Sa maraine est joueuse, Cendrillon n’a le droit de piocher dans la malle que
5 fois et, si elle tombe sur une broche, elle doit la remettre dans la malle avant de
retenter sa chance.
1. Calculer la probabilité que Cendrillon reparte avec au moins un accessoire.
2. Calculer la probabilité que Cendrillon trouve exactement un accessoire assorti
à sa tenue.
3. Reprendre la question précédente dans la cas où la malle est magique :
elle contient au total n objets, mais le nombre a d’accessoires disco est un
n−1
P
nombre aléatoire dans l’intervalle J1; n−1K. (On admettra que
k(n−k)4 =
Montrer que, pour tout k ∈ N,
p(Ak ) = e−λp
Exprimer A en fonction de (Ak )k∈{1,...,n} .
2n (n!)2
En déduire que p(A) =
(2n)!
(λp)k
k!
Exercice 21: [Indications] [Correction] – Chercher – Raisonner – Calculer –
Une urne contient 2n boules dont n blanches et n noires. On vide l’urne en effectuant n tirages au hasard de 2 boules simultanées.
On cherche à calculer la probabilité d’obtenir des boules de 2 couleurs différentes
à chaque tirage. On considère les événements A ="on obtient des boules de 2 couleurs différentes à chaque tirage" et, pour tout k ∈ {1, . . . , n}, Ak ="on obtient des
boules de 2 couleurs différentes au k ème tirage." On cherche donc à calculer p(A).
1. Calculer p(A1 ).
2. Montrer que, pour tout k ∈ {2, . . . , n},
!
k−1
\
2(n − k + 1)2
.
P Ak /
Ai =
2(n − k + 1)(2(n − k + 1) − 1)
i=1
k=1
n2 (n−1)(n+1)(2n2 −3)
.)
60
Exercice 24: [Indications] [Correction] – Modéliser – Chercher – Après le bal,
le Prince Charmant parcourt le royaume de son père sur sa Harley pour retrouver
3
— Feuille 4: Espaces probabilisés —
l’élue de son coeur qui pourra chausser sa charentaise en vair de pointure 34. Cendrillon et la fée Carabosse chaussent toutes les deux du 34. Il visite 14 chaumières
numérotées de 1 à 14. Cendrillon est est abritée dans la chaumière numéro 6. La
fée habite seule (et heureuse de l’être !) dans une chaumière au hasard.
Chacune des chaumières visitées a 17% de chances d’abriter, lorsque la fée ou la
princesse ne sont pas installées, une (et une seule jeune fille) permettant d’enfiler
la célèbre pantoufle. Les demi-soeurs de Cendrillon chaussent du 45.
Sachant que la longueur des pieds des demoiselles du royaume sont indépendantes
les unes des autres calculer la probabilité pour le prince d’épouser Cendrillon dans
les cas suivants :
1. Le prince visite les maisons dans l’ordre croissant des numéros.
2. Le prince visite les maisons dans un ordre totalement aléatoire.
4
— Feuille 4: Espaces probabilisés —
Lycée François 1er
Bcpst 2
FE 4
-
Espaces probabilisés
Indications
Exercice 11 [Correction]
2. On note S l’événement demandé, qui équivaut à dire que toutes les boules
sont différentes.
Exercice 14
2.
3.
[Correction]
+∞
+∞
X
X
λ2k
λ2k+1
Poser Pn =
et In =
. Former un système d’équation
(2k)!
(2k + 1)!
k=0
k=0
avec Pn et In pour en déduire Pn .
Penser à la récurrence.
5
— Feuille 4: Espaces probabilisés —
Lycée François 1er
Bcpst 2
FE 4
-
Exercice 1
1. a) Ω = {1, . . . , 6}, T = T .
b) C’est le même univers ... Ω = {1, . . . , 6}
2. Ω est l’ensemble des permutations de n éléments.
3. Ω = {G, F } × {B, F, V }.
4. a) Ω = {1, . . . , 6}
b) Ω = n
{1, . . . , 5, A, B}
5.
a)
b)
Exercice 4
1. Ω = J1; 6K, p étant la probabilité uniforme.
2. a) A∩B : "les premiers et derniers jets sont impair et le deuxième est pair."
A ∪ B : "il existe au moins un jet pair et un jet impair."
¯ : "la parité du premier jet est contraire à celle des deux derniers.".
A∩B
A ∩ B ∩ C :"le premier et dernier jet valent 1, alors que le deuxième est
pair."
c) Par équiprobabilité des événements de l’univers, on applique la formule :
o
Ω = {B}, {B, R}, {B, V }, {B, R, V }, {V }, {V, R}
On résume sous forme d’un tableau Remarque : les événements élémentaires ne sont pas équiprobables. Pour les rendre équiprobables, il faut
numéroter les boules.
P (E) =
=
P (A) =
2×3×3
1
=
63
12
{∅, Ω,
A
¯
A
B
P (A ∩ B) =
¯
B
P (A) = P (B) =
1
12
3×3×3
1
=
63
8
puis
¯ , A¯ , Ω }
{1, 2, 3}, {4} , B
| {z } |{z} |{z} |{z} |{z}
A∪B
;
puis, le plus simple :
{1, 2}, {3, 4}, {3} , {1, 2, 4},
| {z } | {z } |{z} | {z }
¯ ¯
¯ ¯
A∪B A∪B A∪B A∪B
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =
En bref,
2
1
1
− =
12 8
24
Pour les autres,
T = ∅, Ω, {1, 2}, {3, 4}, {3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3}, {4}
Exercice 3
On a
card(E)
card(E)
=
card (Ω)
63
D’où
Exercice 2
2. A chaque ensemble construit par réunion, on associe directement son complémentaire.
D’où
T
Solutions
Espaces probabilisés
¯ = P (A) − P (A ∩ B) = 1 − 1 = 1
P (A ∩ B)
12 24
24
P (A ∩ B ∩ C) =
¯
P (A¯ ∩ B)
=
=
=
=
1
3
=
63
72
P (A ∪ B))
1 − P (A ∪ B)
1 − (P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
1 − (0, 3 + 0, 2 − 0, 1) = 0, 6.
6
— Feuille 4: Espaces probabilisés —
Exercice 5
P (A) − P (B) 6 P (A ∩ B) 6 min(P (A), P (B)) :
•
Exercice 8
Si Ω est l’univers des possibilités Ω = {A1 , A2 , A3 , A4 }, alors la famille (Ak )k=1,...,4
constitue clairement un système complet de Ω. Ainsi
Inégalité de droite :
+∞
X
C’est la plus simple, elle est quasi triviale, puisque
A∩B ⊂A
A∩B ⊂B
Sachant que
pk = 2pk−1
d’où
∀k = 2, 3, 4
on trouve
P (A ∩ B) 6 P (A) P (A ∩ B) 6 P (B)
p1 + 2p1 + 4p1 + 8p1 = 1
|{z} |{z} |{z}
CQFD
•
pk = 1
k=1
p2
p3
p4
2k−1
15
∀k = 1, . . . , 4
Donc
Inégalité de gauche :
pk =
Ceci revient à montrer que P (A) 6 P (A ∩ B) + P (B).
¯ et A ∩ B)
¯ ⊂ B. D’où
Or, A = (A ∩ B) t (A ∩ B)
Exercice 9
p est une loi de probabilité si et seulement si p1 =
¯ 6 P (A ∩ B) + P (B)
¯
P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B)
2
n.
Exercice 10
1. • p(k) ∈ [0; 1] : Il suffit de montrer que c’est positif.
Le reste est conséquence de la suite.
Ou alors on utilise :
Exercice 6
P (A ∩ B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = P (A ∩ B).
Exercice 7
De manière générale,
(n + 1) − |k|
(n + 1)
1
61
6
=
(n + 1)2
(n + 1)2
n+1
• p(Ω) = 1 : Facile, télescopage.
(n + 1) − |n|
1
p({−n, . . . , n − 1}) = 1 − p({n} = 1 −
=1−
(n + 1)2
(n + 1)2
Comme n > 1, 0 6
P (A ∪ B ∪ B) 6 P (A) + P (B) + P (C)
Ici, P (A ∪ B ∪ C) = 1 et P (A) + P (B) + P (C) = 6P (A). D’où le résultat.
2.
Exercice 11
1. Événement certain.
6×5×4
5
2. p(S) =
=
3
6
9
3.
4.
7
3
6
63
3
6+2
63
— Feuille 4: Espaces probabilisés —
Exercice 12
1. p ne peut être une loi de probabilités, sinon, il existerait des probabilités
négatives.
+∞
P 1+(−1)k = e + e−1 . En posant α = e+e1−1 , p sera une loi de
2. On a
k!
Exercice 16
1. • p({0}) = 1. On en déduit que p({1}) = 0, sinon, p({0; 1}) > 1, ce qui est
impossible.
• Calcul de a :
k=0
probabilité.
p({1}) = 0
Exercice 13
1. α = 2.
1
2. p(N∗ ) − {1, 2} = .
9
1
3. p(2N) = .
4
3
4. p({4q + 3 | q ∈ N}) =
40
Exercice 14
2.
On pose Pn =
a = −1
2.
k=0
Si a = −1, on obtient p({2}) = (−2 + 1)e−2 6= 0, ce qui est contradictoire
avec le fait que p est une proba.
Conclusion :
p n’est pas une proba
Exercice 17
• p(A ∩ B c ) = p(A)p(B c ) :
On a A = A ∩ (B ∪ B) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B), d’où
k=0
(
Pn + I n = e λ
Pn − In = e−λ
p(A ∩ B) + p(A ∩ B) = p(A)
et donc
D’où
eλ + e−λ
Pn =
2
p(A ∩ B) = p(A) − p(A ∩ B) = p(A) − p(A)p(B) = p(A)p(B)
En bref,
p(A) = e−λ Pn =
3.
a×1+1=0
et donc
+∞
+∞
X
X
λ2k
λ2k+1
et In =
.
(2k)!
(2k + 1)!
On a
⇔
• p(Ac ∩ B c ) = p(Ac )p(B c ) :
Il suffit de réapliquer la première partie en remplaçant A et B par B et Ac .
1 − e−2λ
2
Exercice 18
Les informations de l’énoncé nous donnent
On peut le montrer par récurrence. On fera une IPP pour passer du cas N
au cas N + 1.
0
Exercice 15
Le calcul de pn en fonction de n donne
=
|{z}
incompatibilité
P (A ∩ B) |{z}
= P (A)P (B)
ind.
D’où P (A) = 0 ou P (B) = 0. Autrement dit,
n−1
pn =
D’où
+∞
X
k=1
pn = p1
4
p1
(n − 1)!
min(p(A), p(B)) = 0
+∞
X
4n−1
= p1 e4
(n − 1)!
k=1
p1 = e−4
8
— Feuille 4: Espaces probabilisés —
Exercice 19
Tout d’abord, on constate, d’après leurs probabilités, que
Exercice 20
Même principe que pour l’exercice 19 :
∀k > i
pBi (Ak ) = 0
(Bn )n∈N est un système complet d’événements, on a
Soit k, n ∈ N.
p(Ak )
pAk (Bn )
pBn (Ak )p(Bn )
p(Ak ∩ Bn )
=
p(Ak )
p(Ak )
n 1 n
k 2n p (1 − p)
p(Ak )
=
=
=
+∞
P
=
j=0
+∞
P
=
j=k
+∞
P
j=k
=
+∞
P
=
j=0
+∞
P
=
j=k
+∞
P
p(Ak ∩ Bj ) =
pBj (Ak )p(Bj )
pBj (Ak )p(Bj )
j 1 j
k 2j p (1
(1 − p)
+∞
P
j
k
j=k
p(Ak )
p j
2
j=k
j
k
pk (1 − p)j−k e−λ
λj
j!
+∞
P
P 1
1 +∞
(1 − p)r λr+k
k! r=0 r!
P 1
1 +∞
r
e−λ (λp)k
(λ(1 − p))
k! r=0 r!
e−λ pk
=
=
Or, on a vu dans le cours que, si x ∈] − 1; 1[,
+∞
X
pBj (Ak )p(Bj )
un changement de variable dans la somme donne :
− p)
pBj (Ak )p(Bj )
j=0
= e−λ pk
j=0
j=k
=
+∞
P
+∞
P
λj
j!
(1 − p)j−k
j!
j=k k!(k − j)!
+∞
P
1
1
= e−λ pk
(1 − p)j−k λj
k! j=k (k − j)!
Or, comme (Bn )n∈N est un système complet d’événements, on a
p(Ak )
p(Ak ∩ Bj ) =
grâce à la somme totale d’une série exponentielle, on obtient
n!
k!
xj−k =
(n − k)!
(1 − x)k+1
p(Ak )
= e−λ (λp)k
1 λ(1−p)
e
k!
et donc
D’où
+∞ j
X
j
p
j=k
k
2
=
p k
1
(1 −
2
p k+1
2)
=
p k
2
2k+1
p(Ak ) = e−λp
1
(2 − p)k+1
Exercice 21
1. Pour A1 , on peut supposer qu’on ne fait qu’un seul tirage. Il y a donc encore
équiprobabilité.
Il y a n2 tirages possibles contenant une boule de chaque espèce. (choix de
chaque boule et permutation des deux boules.)
et donc
p(Ak ) = (1 − p)
p k
2
2k+1
(λp)k
k!
1
1
= 2(1 − p)pk
(2 − p)k+1
(2 − p)k+1
En réinjectant, on trouve
Il y a
2n
2
choix possible de 2 boules parmi les 2n. On a donc
n
pAk (Bn )
=
=
1 n
k 2n p (1 − p)
1
2(1 − p)pk (2−p)
k+1
2−n−1 (2 − p)k+1 pn−k nk
p(A1 ) =
n2
2n =
2
9
n
2n − 1
— Feuille 4: Espaces probabilisés —
3.
Dans le cas
k−1
T
Ai , il reste n − k + 1 boules de chaque espèce. Tout se passe
Exercice 23
1. C’est l’événement contraire de ne trouver aucun accessoire :
5
b
1−
a+b
i=1
donc comme dans le cas A1 avec n − k + 1 à la place de n, d’où
!
k−1
\
2(n − k + 1)2
2(n − k + 1)2
P Ak /
=
.
Ai =
2(n−k+1)
2(n − k + 1)(2(n − k + 1) − 1)
i=1
2
4.
Comme A =
n−1
T
2.
i=1
P (A)
=
p(Ak ) =
p(A1 )
n
Q
PA1 ∩...∩Ak−1 P (Ak )
n2
2n =
2
b
a+b
k−1
n
Q
2n2
2(n − k + 1)2
2n(2n − 1) k=2 2(n − k + 1)(2(n − k + 1) − 1)
P (A)
D’où
2n n!
p(A) =
(2n)!
Exercice 22
1. a)
2.
3
k−1
=
3.
k−1 3−(k−1)
1
1
=
2
2
3
k−1
4
X
k=1
P (F ∩ Fk ) =
4
X
b
a+b−1
5−k
=
(a +
ab4
+ b − 1)5−k
b)k (a
p(Ak )
ab4
(a+b)k (a+b−1)5−k
ab4
(a+b−1)5
k
5 P
a+b−1
k=1
a+b
5
a+b−1
a + b − 1 1 − a+b
ab4
(a + b − 1)5 a + b
1 − a+b−1
5 a+b
4
ab
a+b−1
1 − a+b
(a + b − 1)4
On procède par proba totales, avec Ba l’événement : il y a a accessoires disco
dans la malle.
P (A)
3
1
2
=
n−1
P
pBa (A)p(Ba )
a=1
=
(choix de l’alligator femelle parmi les trois alligators.)
On note F l’événement : "il a été mordu par des femelles."
On dispose du système complet d’événements (Fk )k=1,...,4 . D’où, comme p(Fk )
est non nul pour k = 1, . . . , 4, on a
P (F ) =
=
k=1
5
P
=
Pour k ∈ {1, 2, 3, 4}, p(Fk ) correspond à la probabilité d’avoir k − 1
femelles dans le deuxième vivarium, donc
p(Fk ) =
5
P
=
Étant donné que la première donne obligatoirement des mâles et la dernière une femelle, on peut avoir de 1 à 4 alligatoirs femelles. i.e.
=
k=1
k ∈ {1, . . . , 4}
b)
a
a+b
D’où, si A est l’événement : trouver exactement un accessoire,
k=2
=
On note Ak trouver exactement un accessoire au rang k.
Ai , la formule des probabilités composées donne
=
=
=
PFk (F )p(Fk )
=
k=1
Après calcul, on obtient
=
P (F ) = 0, 15
10
5 ab4
a+b−1
1 − a+b
4
a=1 (a + b − 1)
4
n−1
P
ab
1
n−1 5
1
−
n−1
n
4
a=1 (n − 1)
n−1
P
1
5
1 − n−1
ab4
n
(n − 1)5
a=1
P
n5 − (n − 1)5 n−1
a(n − a)4
5
5
n (n − 1) a=1
n5 − (n − 1)5 n2 (n − 1)(n + 1)(2n2 − 3)
n5 (n − 1)5
60
5
n − (n − 1)5 (n + 1)(2n2 − 3)
n3 (n − 1)4
60
1
n−1
n−1
P
— Feuille 4: Espaces probabilisés —
2.
Exercice 24
1. On note Ek l’événement : "n’avoir croisé ni la fée, ni de fille taille 34 à la k ème
maison".
Ainsi, on cherche p(E5 ). On a clairement
On note Ck l’événement : "Cendrillon est à la k ème place sur la liste." et E :
"épouser Cendrillon".
Alors
14
14
X
X
p(E) =
p(E ∩ Ck ) =
p(Ck ) pCk (E)
| {z }
k=1
E5 = E1 ∩ E2 ∩ . . . , E5
D’après la formule des probabilités composées, on a donc
k=1
Le calcul de pCk (E) est similaire à celui fait dans la question précédente, où
l’on avait k = 6. De la même manière, on a donc
p(E5 ) = p(E1 )pE1 (E2 ) . . . pE1 ∩...∩E3 (E4 )pE1 ∩...∩E4 (E5 )
ou de manière plus courte
pCk (E) = 0, 83k−1
p(E5 ) = p(E1 )pE1 (E2 ) . . . pE4 (E5 )
Fk : " ne pas avoir la fée dans la maison k.
p(E)
=
Tk : " ne pas avoir de taille 34 dans la maison k.
=
? Calcul de p(E1 ) :
p(E1 ) = p(F1 ∩ T1 ) = pF1 (T1 )p(F1 ) = 0, 83 ×
12
13
1
14
1
13
14
P
k=1
14
P
0, 83k−1 14−k
13
0, 83k−1 −
k=1
14
X
pEk (Ek+1 ) = pEk ∩Fk (Ek+1 )pEk (Fk ) = 0, 83 × pEk (Fk )
qk =
k=1
visite, on a déjà vu que la fée n’était pas dans les k premières.
14
P
k0, 83k−1
k=1
q − q 15
1−q
et
14
X
12 − k
pEk (Fk ) =
13 − k
k=1
Aussi,
pEk (Ek+1 ) = pEk ∩Fk (Ek+1 )pEk (Fk ) = 0, 83 ×
1
13×14
Or,
? Calcul de pEk (Ek+1 ) :
À la k + 1
On a donc
12 − k + 2
13
Donc
Pour simplifier les notations, on pose
ème
1/14
kq
k−1
=
1 − q 15
1−q
0
=
−15q(1 − q) + (1 − q 15 )
(1 − q)2
Donc
12 − k
13 − k
p(E) =
? Conclusion : Après simplification, on trouve
1
−15 × 0, 83 × 0, 17 + (1 − 0, 8315 )
1 0, 83 − 0, 8315
−
' 0, 5718
13
0, 17
13 × 14
0, 172
8
p(E5 ) = 0, 835 13
' 0, 2424
p(E) = 0, 5718
11
— Feuille 4: Espaces probabilisés —
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