M2 T.D. n° 14 2013-2014 1. Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B (n ; p). Les résultats de X sont affichés par un compteur défaillant. - pour X ≠ 0, le compteur affiche la valeur correcte de X. - pour X = 0, le compteur affiche une valeur au hasard entre 1 et n. On note Y le résultat affiché par le compteur. Déterminer la loi de Y ; puis calculer E(Y) et vérifier que E(Y) ≥ E(X). 2. Une compagnie aérienne a réalisé du surbooking : pour 500 places, elle a effectué 540 réservations. Sachant que généralement 10% des réservations ne sont pas confirmées, quel est le risque qu’un passager ayant réservé se retrouve sans place ? 3. On lance une pièce de monnaie. Si l'on obtient « face » on jette un dé; si l'on obtient « pile » on lance à nouveau la pièce de monnaie. On suppose que la pièce et le dé sont tous les deux équilibrés, et que les jets son indépendants. On associe le nombre 1 à « face » et le nombre 2 à « pile »; on définit les variables aléatoires : X = nombre obtenu au premier lancé (pièce uniquement), Y = nombre obtenu au deuxième lancé (pièce ou dé). a) Calculer P(X = 1); P(Y = 2) ; P( Y = 2) ( X = 1) b) Déterminer la loi conjointe de X et Y . 4. On dispose de 5 boîtes numérotées de 1 à 5. La boîte k contient k boules numérotées de 1 à k. On choisit une boîte au hasard, puis on tire au hasard une boule dans la boîte. Soient X le numéro de la boîte choisie, et Y le numéro de la boule tirée. a) Déterminer la loi du couple (X ; Y ). b) Déterminer la loi de Y, et calculer son espérance. c) Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? d) Calculer P( X = Y ). e) Soit S = X + Y. Déterminer la loi de S, puis E(S). 5. Un laboratoire doit analyser N prélèvements pour déterminer ceux qui contiennent un corps C donné. On admet que pour un prélèvement quelconque, la probabilité qu'il contienne le corps C est p. On pose q = 1 – p et on suppose que les prélèvements sont indépendants. On répartit les prélèvements en g groupes d'effectif n (N = ng) et pour chaque groupe, on constitue un mélange à l'aide de quantités égales de chacun des n prélèvements. Si ce mélange ne contient pas le corps C, une seule analyse aura établi qu'aucun des n prélèvements du groupe ne contient le corps C. Si ce mélange contient le corps C, il faut alors analyser séparément les n prélèvements pour déterminer ceux qui contiennent le corps C : le nombre d'analyses faites pour le groupe est alors n+1. On désigne par X la variable aléatoire représentant le nombre total d'analyses effectuées. X −g ? a) Que représente Y = n b) Déterminer la loi de Y . c) Déterminer E(X) et Var(X). I1 - ICAM Toulouse T.S.V.P. Sophie Touzet 6. Une secrétaire effectue n appels téléphoniques vers n personnes distinctes (n ≥ 2). On admet que les n appels constituent n expériences indépendantes, et que pour chaque appel la probabilité d’obtenir le correspondant demandé est p ∈ ] 0 ; 1[. X est la variable aléatoire égale au nombre de personnes obtenues au téléphone. 1) Quelle est la loi de X ? 2) Ayant obtenu k personnes, la secrétaire rappelle une deuxième fois, dans les mêmes conditions, chacune des n − k personnes qu’elle n’a pas réussi à joindre la première fois. Soient Y le nombre de personnes obtenues dans la deuxième série d’appels, et Z = X + Y , le nombre total de personnes obtenues. Calculer les probabilités P(Z = 0) et P(Z = 1). 3) Soient k ∈ 0; n . Déterminer la loi conditionnelle de Y sachant (X = k). On note Yk = Y s 4) En remarquant que P(Z = s) = ∑ P( i=0 X =s −i ) (X =k ) ( Y = i ) × P(X = s − i) , déterminer la loi de Z. 7. Dans une fête foraine, un jeu consiste à faire tourner une roue pour tomber sur la case « Gagné ». La probabilité de tomber sur cette case est p. a) Déterminer la loi du nombre de joueurs gagnant à ce jeu avec au plus 2 tours de roue. b) Chaque joueur mise 1€. Il peut tourner la roue 2 fois au plus. S’il gagne, il reçoit 2€. Que doit valoir p au maximum pour que le forain soit sûr d’avoir un gain positif en moyenne ? 8. Une V.A.R. X suit une loi de Poisson de paramètre réel λ si : ∀k ∈ ℕ , P(X = k) = e − λ λk k! . 1) Déterminer E(X) lorsque X suit une loi de Poisson de paramètre λ . Indication : Se référer au TD 12 de M1 …. 2) Le patron d'un grand hôpital envisage de programmer la construction de nouvelles salles d'opérations de façon à réduire le délai d'attente des patients. Actuellement, son établissement compte 5 blocs opératoires. Les interventions étant lourdes, on compte une demi-journée d'occupation du bloc par intervention. Une enquête sur le nombre d'interventions souhaitées par les chirurgiens par demi-journée est menée sur un échantillon de 180 demi-journées, échantillon supposé représentatif du fonctionnement de l'hôpital. La distribution statistique issue de l'étude est donnée par le tableau suivant : i Fi 0 3 1 15 2 27 3 33 4 36 5 27 6 18 7 9 8 6 9 4 10 2 où xi est le nombre d'interventions souhaitées par les chirurgiens par demi-journée et Fi l’effectif. On suppose alors que le nombre d'interventions par demi-journée suit une loi de Poisson. a) Estimer le paramètre λ de cette loi, en calculant la moyenne. b) Quelle est la probabilité de n'avoir aucun patient en attente ? c) Combien faut-il de blocs opératoires supplémentaires au minimum pour que la probabilité précédente soit supérieure à 0,95 ? Pour ce dernier exercice de TD de l’année (avant révisions !), vous avez droit à la machine… ☺ I1 - ICAM Toulouse Sophie Touzet